Векторная алгебра

1. Векторная алгебра

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Вектор – направленный отрезок.
а
1

2.

АВ а
А
В
Модуль вектора –
длина направленного отрезка АВ a .
Векторы, которые лежат на одной прямой
или на параллельных прямых называются
коллинеарными.
Векторы, лежащие
в одной или параллельных плоскостях
называются компланарными.
2

3. Сложение векторов

а
а
b
c
а b c
а
b
b
а b c
c
3

4. Умножение вектора на число

а
а
b
b 1,4 а ( 0)
b
b 0,7 а (k 0)
4

5.

Множество всех векторов на плоскости, в
котором определены операции сложения
векторов и умножения на число называется
векторным пространством R2.
Множество всех векторов в пространстве, в
котором определены операции сложения
векторов и умножения на число называется
векторным пространством R3.
5

6. Проекция вектора на ось

B
A
A1
B
A
B1
L
B1
A1
L
Проекцией вектора АВ на ось L пр L АВ
называется длина вектора А1В1, взятая со
знаком «+», если направление вектора А1В1
совпадает с осью L, и со знаком «-», если
направление А1В1 противоположно оси L.
прL AB AB cos
6

7. Ортонормированный базис в пространстве R3. Декартовы прямоугольные координаты.

z
Mz
M
k
i
x
Mx
j
0
My
М - точка в пространстве.
Проекции вектора ОМ на координатные
оси ОX, OY, OZ называются
координатами точки М
y и обозначаются М(x, y, z).
Координаты радиус-вектора ОМ
равны координатам точки М.
OM x, y, z .
OM x 2 y 2 z 2
i, j , k базис в пространстве R 3 , длина базисных векторов равна 1.
OM OM x OM y OM z
OM x i y j z k
7

8.

Координаты вектора, заданного
координатами начала и конца
М1 x1; y1; z1
z
M2
M1
М 2 x2 ; y2 ; z2
OM 1 M 1M 2 OM 2
OM 1 x1 i y1 j z1 k ,
0
x
y
OM 2 x2 i y2 j z 2 k .
M 1M 2 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z 2 z1 )k ,
M 1M 2 x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 .
Расстояние d между двумя точками:
d ( x 2 x1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 ( z 2 z1 ) 2 .
8

9. Линейные операции над векторами в координатной форме

a a x , a y , a z , b bx , b y , bz .
a b ax bx , a y by , az bz
b a, b ax , a y , az
Следствие.
Координаты коллинеарных векторов пропорциональны.
by
bx
bz
k
ax
ay
az
9

10.

Деление отрезка в заданном отношении
М 2 x2 ; y2 ; z2
M 1M
M 2M
М x; y; z
М1 x1; y1; z1
x x1 ( x2 x)
x x1 x2 x
x 1 x1 x2
M 1M MM 2
M 1M ( x x1 ); ( y y1 ); ( z z1 )
MM 2 ( x2 x); ( y2 y ); ( z2 z )
x1 x2
x
,
1
y1 y2
y
,
1
z1 z 2
z
.
1
Следствие.
Координаты
середины отрезка:
x1 x2 y1 y2 z1 z 2
;
;
2
2
2
10

11. Скалярное произведение векторов

a
a b a b cos .
b
Условие перпендикулярности векторов a b a b 0.
11

12.

Формула скалярного произведения
в координатной форме
a a x , a y , a z , b bx , by , bz ,
a b a x b x a y b y a z bz .
Задача.
Даны вершины четырехугольника А(1; 2; 3), В(7; 3; 2), C(-3; 0; 6), D(9; 2; 4).
1) Найти величину внутреннего угла при вершине С.
2) Доказать, что диагонали перпендикулярны.
1) CB 10;3; 4
2) AC 4; 2;3
CD 12;2; 2
CB CD CB CD cos C
cos C
CB CD
CB CD
C arccos 0,9721
BD 2; 1;2
AC BD 0 AC BD
134
0,9721
125 152
12

13.

Векторное пространство Rn, в котором определено
скалярное произведение называется Евклидовым
пространством и обозначается En .
13

14. Векторное произведение векторов

Векторным произведением векторов а и b называется
вектор с , определяемый условиями:
1) c a , c b ,
с
2) векторы a, b, c образуют правую тройку.
b
3) c a b sin Sпар. ,
а
Если векторы заданы координатами, то координаты
векторного произведения вычисляются по формуле:
a y
a b
by
az ax
;
bz bx
az ax
;
bz bx
a y
.
by
14

15.

Задача.
Найти площадь треугольника с вершинами А(1; 2; 0), В(3; 0; -3), С(5; 2; 6).
1
S ABC AB AC
2
AB 2; 2; 3
AC 4; 0; 6
2 3 2 3 2 2
AB AC
;
;
.
6 4 6 4 0
0
AB AC 12; 24;8
S ABC
1
1
AB AC
144 576 64
2
2
1
784 14 кв.ед.
2
15

16. Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением трёх векторов называется
a b c (a b) c a (b c ).
Свойства:
а) Модуль смешанного произведения численно
равен объёму параллелепипеда, построенного
на перемножаемых векторах.
с
b
a
б) Необходимым и достаточным условием
компланарности трёх векторов является
равенство нулю их смешанного произведения.
Если векторы заданы своими координатами, то их смешанное произведение
вычисляется по формуле:
ax a y az
a b с bx by bz .
сx с y сz
16

17.

Задача. Доказать, что векторы a 2i j 2k , b i 2 j 3k , c 3i 4 j 7k
компланарны.
2
abс 1
1 2
2 3 28 8 9 12 24 7 29 29 0
3 4
7
17

18. Линейная зависимость векторов. Базис векторного пространства.

Векторы a1 , a2 , , ak называются линейно-зависимыми,
если существуют числа 1 , 2 , , k , из которых хотя бы
одно отлично от нуля, такие, что 1 a1 2 a2 k ak 0.
В противном случае векторы называются линейнонезависимыми.
Совокупность n линейно-независимых векторов в
пространстве Rn называется базисом.
Теорема. Любой вектор пространства Rn можно разложить
по базису единственным образом.
18

19.

Доказательство:
a1 , a2 , , an - базис x 1 a1 2 a2 n an 0
0 x
a a
1
1
1
2
2
n an .
Пусть разложение не единственное
x k1 a1 k 2 a2 k n an ,
x l1 a1 l2 a2 ln an .
0 k1 l1 a1 k 2 l2 a2 k n ln an
k1 l1 ; k 2 l2 ; ....; k n ln .
19

20.

Для любого вектора x в пространстве Rn
имеет место разложение по базису a1 , a2 , , an .
x 1 a1 2 a2 n an .
1 , 2 , , n - координаты вектора относительно базиса.
20

21.

a1 1;2;3 ,
Задача. Найти координаты вектора с 8;5;11 в базисе a2 3;2;1 ,
a3 3;1;2 .
Решение:
с 1 а1 2 а2 3 а3
1 2,
1 3 2 3 3 8,
2 1,
2 1 2 2 3 5, из решения
системы
3 2 11.
3 3.
3
1 2
21

22.

22