Similar presentations:
Лекция 4 Векторы
1.
2.
План.1. Основные понятия.
2. Линейные операции над векторами.
3. Решение типовых задач.
3.
Вектор –это направленный отрезок.Обозначается: a ; AB
a
A
B
4.
Длиной или модулем вектора называетсярасстояние между его началом и концом.
Обозначается:
a ; AB
Векторы, лежащие на одной прямой или
на параллельных прямых, называются
коллинеарными.
Если начало и конец вектора совпадают,
то вектор называется нулевым.
5. Компланарные векторы лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях
Единичным вектором называется вектор длинакоторого равна единице.
Векторы называются равными, если они
1)коллинеарны,
2)имеют одинаковые длины,
3)одинаковое направление.
6.
В любой системе отсчета вектор характеризуетсясвоими координатами.
Пусть в системе отсчета XYZ заданы координаты
начала и конца вектора:
A( x1 , y1 , z1 ) B( x2 , y2 , z2 )
Тогда координаты вектора будут:
AB ( x2 x1; y2 y1; z2 z1 )
Где:
x x2 x1 Или:
y y2 y1
z z2 z1
AB x i y j z k
7.
zB
z2
A
z1
i
x1
x2
x
k
j
y1
y2
y
8.
Длина вектора определяется по формуле:AB ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
2
2
x y z
2
2
2
2
9.
Пусть два вектора заданы своими координатами:a (a1 , a2 , a3 ) b (b1 , b2 , b3 )
Если
эти
вектора
коллинеарны,
то
их
соответствующие
координаты
должны
быть
пропорциональны:
a1 a2 a3
b1 b2 b3
10. 2. Линейными операциями над векторами называются сложение векторов и умножение вектора на число.
1.Сложение векторов: правило треугольника, правилопараллелограмма, сложение координат векторов.
2.Умножение вектора на действительное число: если число
положительное, то векторы направлены одинаково, если
число отрицательное, то векторы противоположны.
11.
Для построения суммы векторов, нужно совместитьконец первого вектора с началом второго. Тогда
вектор их суммы будет направлен от начала первого
вектора к концу второго:
b
a
c a b
Аналогично определяется сумма нескольких векторов.
12.
В параллелограмме, построенном на двух векторах,одна диагональ представляет собой сумму этих
векторов, а другая – разность:
a b
b
a
a b
13.
Суммой двух векторов будет вектор,координаты которого равны суммам
соответствующих координат исходных
векторов.
a (a1 , a2 , a3 ) b (b1 , b2 , b3 )
c a b
c (c1 , c2 , c3 )
c1 a1 b1 c2 a2 b2
c3 a3 b3
14.
Произведением вектора на число будетвектор, координаты которого равны
произведению соответствующих
координат исходного вектора на это
число.
a (a1 , a2 , a3 )
a c
c1 a1
c (c1 , c2 , c3 )
c2 a2
c3 a3
15.
Геометрически смысл умножения векторана число заключается в увеличении его
длины в λ раз, если lλl>1, и в ее сокращении
во столько же раз при lλl<1.
16.
Скалярным произведением двухвекторов называется число, равное
произведению длин этих векторов на
косинус угла между ними.
(a, b ) a b cos a ; b
17.
Если два вектора заданы своими координатами:a (a1 , a2 , a3 ) b (b1 , b2 , b3 )
То скалярное произведение выразится следующим
образом:
(a , b ) a1b1 a2b2 a3b3
Отсюда можно
векторами:
выразить
угол
(a , b )
cos a ; b
a b
между
двумя
18.
Если два вектора перпендикулярны, то их скалярноепроизведение должно быть равно нулю:
(a, b ) a1b1 a2b2 a3b3 0
19. Векторное произведение векторов
20. Геометрический смысл векторного произведения
21. Смешанным произведением трех векторов называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор
сСмешанным произведением трех векторов
называется число, равное скалярному произведению вектора
на вектор
с
a b
22. 3. Решение задач
Пример: Даны координаты вершин пирамиды АВСD: А(0; 0; 1),В (2; 3; 5) С (6; 2; 3), D (3; 7; 2).
Найти: 1) записать векторы в системе орт и найти
модули этих векторов;
2) найти угол между векторами;
3)найти проекцию вектора на вектор ;
4) найти площадь грани АВС;
5)найти объем пирамиды АВСD.
23. Решение
1. Если М(х, у, z) и М(х, у, z), то:M 1M 2 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 )k
AB (2 0)i (3 0) j (5 1)k 2i 3 j 4k ;
AC (6 0)i (2 0) j (3 1)k 6i 2 j 2k ;
AD (3 0)i (7 0) j (2 1)k 3i 7 j k .
24. Модуль вектора
22
2
Модуль вектора a ax a y az
АВ 2 2 32 4 2 29
АС 6 2 2 2 2 2 2 11
АD 32 7 2 12 59.
25. 2. Угол между векторами
АВ АС2 6 3 2 4 2
13
cos cos АВ, АС
0,7279
2 29 11
319
АВ АС
26. 3. Проекция вектора AD на вектор AB
прAB
AD
AB AD 2 3 3 7 4 1 31
5,76
29
29
AB
27. 4. Площадь грани АВС
5 64. Площадь грани АВС
1
S ABC
AB AC
2
i j k
AB AC 2 3 4 2i 20 j 14k
6 2 2
1
S ABC
2
2 20 7 5 6
2
2
2
28. 5. Обьем пирамиды
1V
a b c
6
V
1
6
AB AC AD
2 3 4
AB AC AD 6 2 2 2 2 14 3 6 6 4 42 6 120
3 7 1
1
V 120 20
6