Глава 4. Векторная алгебра. §1. Векторы

1.

2. Глава 4. Векторная алгебра

3. § 1. Векторы

4.

Определение.
Вектором называется направленный
отрезок.

5.

Вектор с началом А и концом В
обозначается AB (или AB); векторы
также обозначаются: a , b , c , ... (или
a, b , c , ...).

6.

Определение.
Длиной (или модулем) вектора
называется расстояние между его
началом и концом.
Модули векторов AB и a
обозначаются AB и a
соответственно.

7.

Вектор нулевой длины
называется нулевым вектором
(обозначается 0), вектор длины 1 –
единичным вектором (ортом).

8.

Векторы a и b называются
коллинеарными векторами
(обозначаются a || b ), если они лежат
на одной прямой или на
параллельных прямых.

9.

Если a и b имеют одинаковое
направление, то их называют
сонаправленными (обозначаются
a b ), а если противоположное –
противоположно направленными
(обозначаются a b ).

10.

Векторы называются
компланарными, если они
параллельны некоторой плоскости.
Векторы a и b называются
равными, если a b и a b .

11.

Из определения равенства
векторов следует, что начало
вектора можно помещать в любую
точку пространства. Такие векторы
называют свободными.

12.

Единичным вектором (или
ортом) вектора a называется
вектор a0 такой, что a0 1 и
a
a0 a , причем a0 .
a

13.

Угол между векторами a, b
(обозначается (a , b )) – наименьший
угол между направлениями векторов
a и b , 0 (a , b ) π.

14.

π
Если (a , b ) , то векторы
2
называются ортогональными
(обозначаются a b ).

15.

К линейным операциям над
векторами относятся произведение
вектора на число и сумма векторов.

16.

Определение.
Произведением вектора a на число λ
(λ R) называется вектор,
обозначаемый λa, такой, что:

17.

1) λa λ a ;
2) λa a при λ > 0,
λa a при λ < 0,
λa 0 при λ 0 или a 0.

18.

Вектор a называется
противоположным вектору a :
a 1 a.

19.

Определение.
Суммой конечного числа векторов
расположенных так, что конец
каждого предыдущего вектора
является началом следующего,
называется замыкающий вектор,
направленный из начала первого
вектора в конец последнего.

20.

Правило треугольника
Правило параллелограмма

21.

Правило ломаной

22.

Правило параллелепипеда

23.

Разностью векторов a и b
называется вектор a b a ( b ).

24.

Линейные операции над
векторами обладают свойствами:
1) a b b a;
2) (a b ) c a (b c );
3) a 0 a;
4) a ( a ) 0;

25.

5) λ(μa ) (λμ)a (λ, μ R);
6) (λ μ)a λa μa (λ, μ R);
7) λ(a b ) λa λb (λ R);
8) 1 a a;
9) 0 a λ 0 0 (λ R).

26.

Осью называется прямая, на
которой задано положительное
направление.

27.

Определение.
Проекцией вектора a на ось l
называется число
прl a a cos φ,
где φ (0 φ π) – угол между
положительным направлением оси l
и направлением вектора a.

28.

29.

Очевидно, что
π
прl a > 0 при 0 φ < ,
2
π
прl a 0 при φ ,
2
π
прl a < 0 при
< φ π.
2

30.

Проекция вектора на ось
обладает свойствами:
1) прl (a b ) прl a прl b ;
2) прl (λa ) λпрl a (λ R);
3) если a b , то прl a прl b .

31.

Определение.
Векторы a1, a2 , , an называются
линейно зависимыми, если
существуют числа λ1,λ 2 , ,λ n , не
все равные нулю, такие, что
λ1a1 λ2a2 ... λnan 0.

32.

В противном случае векторы
a1, a2 , , an называются линейно
независимыми.

33.

Два коллинеарных вектора
линейно зависимы, а два
неколлинеарных вектора на
плоскости линейно независимы.

34.

Три компланарных вектора
линейно зависимы, а три
некомпланарных вектора в
пространстве линейно независимы.

35.

Определение.
Базисом на плоскости называются
два упорядоченных неколлинеарных
вектора.

36.

Если {e1, e2} – базис в R2, то
любой вектор a плоскости можно
представить единственным образом
в виде линейной комбинации
a x1e1 x2e2 ,

37.

Числа x1, x2 называются
координатами вектора a в базисе
{e1, e2}; пишут: a ( x1, x2 ).

38.

Определение.
Базисом в пространстве
называются три упорядоченных
некомпланарных вектора.

39.

Если {e1, e2 , e3} – базис в R3, то
любой вектор a пространства можно
представить единственным образом
в виде линейной комбинации
a x1e1 x2e2 x3e3 ,

40.

Числа x1, x2, x3 называются
координатами вектора a в базисе
{e1, e2 , e3}; пишут: a ( x1, x2 , x3 ).

41.

Базис называется
ортонормированным, если базисные
векторы попарно ортогональны и
имеют единичную длину.

42.

Координаты вектора в
ортонормированном базисе
называются прямоугольными
декартовыми координатами.

43.

44. § 2. Прямоугольная декартова система координат

Прямоугольная
декартова
система
координат

45.

Декартовой системой
координат на плоскости называется
совокупность фиксированной точки
O и некоторого базиса {e1, e2}.

46.

Определение.
Прямоугольной декартовой
системой координат на плоскости
(обозначается Oxy) называется
декартова система координат на
плоскости с ортонормированным
базисом {i , j }, где
i (1, 0), j (0,1).

47.

Здесь O – начало координат;
Ox – ось абсцисс; Oy – ось ординат;
xOy – координатная плоскость.

48.

Декартовой системой
координат в пространстве
называется совокупность
фиксированной точки O и
некоторого базиса {e1, e2 , e3}.

49.

Определение.
Прямоугольной декартовой
системой координат в пространстве
(обозначается Oxyz) называется
декартова система координат в
пространстве с ортонормированным
базисом {i , j , k }, где
i (1, 0, 0), j (0,1, 0), k (0, 0,1).

50.

51.

Здесь O – начало координат;
Ox – ось абсцисс; Oy – ось ординат;
Oz – ось аппликат; xOy, yOz, zOx –
координатные плоскости.

52.

Если a x1i y1 j z1k ,
b x2i y2 j z2k , то:
λa λx1i λy1 j λz1k (λ R),
a b ( x1 x2 )i ( y1 y2 ) j ( z1 z2 )k .

53.

Теорема.
Для коллинеарности ненулевых
векторов a и b необходимо и
достаточно, чтобы
x1 y1 z1
.
x2 y2 z2

54.

Радиус-вектор точки M
в рассматриваемой системе
координат – вектор OM .
Координатами точки M
называются координаты радиусавектора точки M.

55.

Если в прямоугольной системе
координат M1(x1; y1; z1) и
M2(x2; y2; z2), то:
M1M 2 ( x2 x1, y2 y1, z2 z1),
M1M 2 ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1) .
2
2
2

56.

Если отрезок M1M2 делится
точкой M в отношении λ
(т.е. M1M λMM 2 ), где λ > 0, то
координаты точки M находятся по
формулам
y1 λy2
x1 λx2
z1 λz2
, z
x
, y
.
1 λ
1 λ
1 λ

57.

В частности, при λ 1 точка M –
середина отрезка и
y1 y2
z1 z2
x1 x2
, z
.
x
, y
2
2
2

58.

Определение.
Направляющими косинусами
вектора a xi yj zk называются
косинусы углов α, β, γ,
образованных вектором a с
положительными направлениями
осей Ox, Oy, Oz соответственно:

59.

x
x
cosα
,
a
x2 y 2 z 2
y
y
cosβ
,
2
2
2
a
x y z
z
z
cos γ
.
a
x2 y 2 z 2

60.

Очевидно, что
cos2α cos2β cos2γ 1.
Если a – единичный вектор, то
a (cosα, cosβ, cos γ).

61.

62. § 3. Скалярное произведение

63.

Определение.
Скалярным произведением векторов
a и b (обозначается (a , b ), или a b
или ab ) называется число
(a , b ) a b cos(a, b ).

64.

Если a ( x1, y1, z1), b ( x2 , y2 , z2 )
в базисе {i , j , k }, то
(a, b ) x1x2 y1 y2 z1z2.

65.

Число (a, a ) (a ) называется
скалярным квадратом. Очевидно,
a (a, a ).
2

66.

Теорема.
Для перпендикулярности ненулевых
векторов a и b необходимо и
достаточно, чтобы (a , b ) 0.

67.

Скалярное произведение
векторов обладает свойствами:
1) (a, b ) (b , a );
2) (a b , c ) (a, c ) (b , c );
3) (λa, b ) (a, λb ) λ(a, b ) (λ R);
4) (a, b ) a пр a b b пр b a.

68.

Рассмотрим приложения
скалярного произведения.

69.

Если a ( x1, y1, z1), b ( x2 , y2 , z2 )
в базисе {i , j , k }, то:
x1x2 y1 y2 z1z2
(a , b )
cos(a , b )
,
a b
x12 y12 z12 x22 y22 z22
x1x2 y1 y2 z1z2
(
a
,
b
)
пр a b
.
a
x12 y12 z12

70.

Работа A силы F по
перемещению материальной точки
на вектор s :
A ( F , s ) F s cos( F , s ).

71.

72. § 4. Векторное произведение

73.

Упорядоченная тройка
некомпланарных векторов a, b , c
с общим началом называется
правой, если кратчайший поворот от
вектора a к вектору b наблюдается
из конца вектора c происходящим
против хода часовой стрелки.

74.

В противном случае тройка
векторов называется левой.

75.

Определение.
Векторным произведением векторов
a и b (обозначается [a, b ] или a b )
называется вектор,
удовлетворяющий условиям:

76.

1) [a , b ] a b sin (a , b );
2) [a, b ] a и [a, b ] b ;
3) тройка векторов a , b , [a, b ] –
правая.

77.

78.

Если a ( x1, y1, z1), b ( x2 , y2 , z2 )
в базисе {i , j , k }, то
i
j k
[a , b ] x1 y1 z1
x2 y2 z2
( y1z2 y2 z1)i ( x2 z1 x1z2 ) j ( x1 y2 x2 y1)k .

79.

Теорема.
Для коллинеарности ненулевых
векторов a и b необходимо и
достаточно, чтобы [a, b ] 0.

80.

Векторное произведение
векторов обладает свойствами:
1) [a, b ] [b , a ];
2) [a b , c ] [a, c ] [b , c ];
3) [λa,b ] [a,λb ] λ[a,b ] (λ R).

81.

Рассмотрим приложения
векторного произведения.

82.

Площадь S параллелограмма,
построенного на векторах a и b :
S [a , b ] .

83.

Площадь S треугольника,
построенного на векторах a и b :
1
S [a , b ] .
2

84.

Вращающий момент M силы F ,
приложенной в точке B тела,
закрепленного в точке A:
M [ AB, F ].

85.

86. § 5. Смешанное произведение

87.

Определение.
Смешанным произведением
векторов a , b и c (обозначается
(a , b , c ) или abc ) называется число,
равное ([a, b ], c ).

88.

Если a ( x1, y1, z1), b ( x2 , y2 , z2 ),
c ( x3 , y3 , z3 ) в базисе {i , j , k }, то
x1 y1 z1
(a , b , c ) x2 y2 z2 .
x3 y3 z3

89.

Теорема.
Для компланарности ненулевых
векторов a , b , c необходимо и
достаточно, чтобы (a, b , c ) 0.

90.

Смешанное произведение
векторов обладает свойствами:
1) ([a, b ], c ) (a,[b , c ]);
2) (a, b , c ) (b , c , a ) (c , a, b )
(b , a, c ) (c , b , a ) (a, c , b ).

91.

Тройка векторов a, b , c является
правой тогда и только тогда, когда
(a, b , c ) > 0, и левой, когда
(a, b , c ) < 0.

92.

Рассмотрим приложения
смешанного произведения.

93.

Объем V параллелепипеда,
построенного на векторах a, b , c :
V (a , b , c ) .

94.

Объем V пирамиды,
построенной на векторах a, b , c :
1
V (a , b , c ) .
6

95.

96. § 6. Полярная система координат

97.

98.

Здесь O – полюс, Op – полярная
ось, ρ – полярный радиус,
φ – полярный угол.

99.

В полярной системе координат
положение точки M определяется
парой чисел (ρ, φ) – полярными
координатами точки M, где
ρ OM , φ (Op, OM ).

100.

101.

Формулы перехода к декартовым
координатам (полюс O совпадает с
началом координат системы Oxy,
полярная ось Op – с осью Ox) имеют
вид:

102.

x ρ cos φ,
y ρsin φ,
где 0 ρ < , 0 φ < 2π
(или π < φ π).

103.

104. § 7. Цилиндрическая система координат

105.

В цилиндрической системе
координат положение точки M
определяется тройкой чисел
(ρ, φ, z) – цилиндрическими
координатами точки M, где (ρ, φ) –
полярные координаты проекции
точки M на плоскость xOy,
z – аппликата точки M.

106.

107.

Формулы перехода к декартовым
координатам имеют вид:
x ρcosφ,
y ρsin φ,
z z,
где 0 ρ < , 0 φ < 2π,
–∞ < z < ∞.

108.

109. § 8. Сферическая система координат

110.

В сферической системе
координат положение точки M
определяется тройкой чисел
(r, θ, φ) – сферическими
координатами
точки
M,
где
r
OM
,
θ (Oz, OM ), φ – полярный угол
проекции точки M на плоскость xOy.

111.

112.

Формулы перехода к декартовым
координатам имеют вид:
x r cosφsin θ,
y r sin φsin θ,
z r cosθ,
где 0 r < , 0 φ < 2π, 0 θ π.

113.

Высшее назначение математики
как раз и состоит в том, чтобы
находить скрытый порядок в
хаосе, который нас окружает.
Н. Винер