Разложение векторов по трем некомплонарным векторам

1.

Вариант 1 ..angem
N1
Разложить вектор s = −9 c − 3 a по трем некомплонарным векторам: p =
c − 3 b, q = 6 c − 3 b − 3 a, r = b.
N2
Найти линейную зависимость между данными четырьмя некомпланарными
векторами: p = 7 c−2 b+5 a, q = −5 c−6 b−2 a, r = 5 c+b+3 a, s = 2 c+3 b+ a.
N3
Заданы векторы: a1 = 2, 1, −2 , a2 = 2, −4, 2 , a3 = −1, −2, −2 и a =
4
1
2 a3 + 5 a2 − 2 a1 . Вычислить:
a)|a3 | и координаты орта вектора a3 ;
б) cos(a3 ,k);
в) Координату X вектора a;
г) прk a
N4
Заданы векторы: e = −2, −1, 4 , a = 8/3, 4/3, −16/3 . Убедиться, что
они колинеарны, и найти разложение вектора a по базису B = (e)
N5
−4,
2
−3,
−3
На плоскости
заданы
векторы
e
=
,
e
=
, и a =
1
2
55/12, 67/12 . Убедиться, что B = (e1 , e2 ) – базис в множестве всех векторов на плоскости. Построить заданные векторы и найти разложение вектора a
по базису B.
N6
9,
6,
8
1,
9,
−5
Показать, что
тройка
векторов
e
=
,
e
=
и
1
2
e3 = 2, 1, 2 образуют базис в множестве всех векторов пространства. Вычислить координаты вектора a = −5 k − 53j + 3i в базисе B = (e1 , e2 , e3 ) и
написать соотвтетствующее разложение по базису.
N7
Заданы векторы: a = 2 k − 4 j − i, b = −k − 2 j + i, c = k + 2 j − i. Найти:
а) координаты орта ao ;
б) координаты вектора − 75 c − 32 b + 5 a;
в) разложение вектора 12 c + 67 b + 5 a по базису B = (i, j, k);
г) прj (9 c + 79 b + 32 a).
N8
Найти координаты орта a0 , если a = −2, −5, −5 .
N9
√
Найти X(a), если Y (a) = 2, Z(a) = 3 и |a| = 62.
N 10
Найти длину и направляющие косинусы вектора p = −1 c − 4 b − 6 a, если
a = 2 k − 3 j − 2 i, b = −3 k + 3 j + 2 i, c = −k + 4 j − 2 i.
N 11
Найти вектор x, колинеарный вектору a = −2 k−j−i, образующий с ортом
k тупой угол и имеющий длину |x| = 44.
N 12
1

2.

Найти вектор x, образующий со всеми тремя базисными ортами равные
тупые углы, если |x| = 41.
N 13
При каких значениях α и β векторы a = k − 2 j + α i и b = β k − 8 j + 8 i
колинеарны?
N 14
−2,
3,
−2
−3,
−7,
1
−4,
9,
−5
Заданы векторы:
a
=
,
b
=
,
c
=
иd=
−17, −6, −6 . Требуется подобрать числа α, β и γ так, чтобы вектора αa,
βb, γc и d образовывали замкнутую ломаную линию, если "начало"каждого
последющего вектора совместить с "концом"предыдущего.
N 15
Даны три вешрины: A (−2, 3, −2), C (4, −8, 4), D (4, −5, 3), параллелограма
ABCD. Найти его вершину B противоположную D.
N 16
Даны две смежные вершины параллелограмма D (−3, 1), A (8, −3) и точка
пересечения его диаганалей M (8, −3). Найти две другие вершины.
N 17
Определить координаты вершин
треугольника,
если известны середины его
3
9
сторон: K (0, −5), M − 2 , −3 , N − 2 , −4 .
N 18
На√оси абсцисс найти точку M , расстояние от которой до точки A (−1, −4)
равно 41.
N 19
На оси аппликат найти точку M , равноудаленную от точек A 1, −3, 1 и
B 3, −8, 6 .
N 20
Даны вершины треугольника A 5, −7, 7 , B −1, 3, −5 , C 6, −3, −3 . Найти длину медианы, проведенной из вершины C.
N 21
Отрезок с концами в точках A 2, 1 и B 9, 5 разделен на три равные
части. Найти координаты точек деления.
N 22
−2,
23/3,
−7
Определить координаты
концов
отрезка,
который
точками
C
и D −2, 25/3, −8 разделен на три равные части.
N 23
Даны вершины треугольника A 4, 5, 3 , B 2, 4, 5 и C −2, 5, 3 . Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине A.
N 24
Треугольник
задан
координатами
своих
вершин A −4, −5, −4 , B −3, −1, −1 , C −4, 5, 3 . Вычислить расстояние от
начала координат до точки пересечения медиан этого треугольника.
N 25
|a1 | = 4, |a2 | = 1, (ad
1 a2 ) = 0. Вычислить:
2
a) a1 = a1 a1 ;б) (a2 − 2 a1 )(4 a2 + 2 a1 ); в) (a2 − a1 )2 ;
2

3.

N 26
π
|a1 | = 4, |a2 | = 1, (ad
1 a2 ) = 4 . Вычислить:
(a1 − 4 a2 )(3 a2 − 2 a1 );
N 27
|a1 | = 1, |a2 | = 2. Определить, при каком значении α векторы a1 + αa2 и
a1 − αa2 будут перпендикулярны.
N 28
Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах
d
p = 3 b + 3 a, q = b − 2 a, если известно, что |a| = 1, |b| = 1 и (a,
b) = π3 .
N 29
√
d
Вычислить Пр−3 b−4 a (a − b), если |a| = 5, |b| = 3 и (a,
b) = 56π .
N 30
¯ = 2 e1 − 3 e2 , BC
¯ = e1 − 2 e2 , где e1 и e2 – взаимно
Известно, что AB
перпендикулярные орты. Определить углы треугольника.
N 31
Найти угол, образованный единичными векторами e1 и e2 , если известно,
что векторы a = 2 e1 − 2 e2 , b = 5 e2 + 3 e1 перпендикулярны.
N 32
Даны векторы a1 = 2, −4, 5 и a2 = 3, −2, 6 . Вычислить:
а) a1 a2 ; б) (−9 a2 − a1 ) (9 a1 − 8 a2 );в) (2 a2 − 2 a1 )2 ;
г) |2 a1 − a2 |; д) прa1 a2 ; е) прa2 a1 ;
ж) направляющие косинусы вектора a2 ;
з) пр3 a1 −2 a2 6 a2 − 6 a1 ; и) cos a[
1 , a2 .
N 33
Найти длины сторон и величины углов треугольника с вершинами
A (2, 3, −4), B (2, −4, 1) и C (−1, −3, 2),
N 34
Для заданных векторов a, b, c, вычислить Прc (5 b − 4 a):
a = −2 k − 4 j + 4 i, b = −4 k − 4 j + 5 i, c = 2 k + 3 j − i;
N 35
3π
|a1 | = 1, |a2 | = 1, (ad
1 a2 ) = 4 . Вычислить:
a) |[a1 , a2 ]|;б) |[−2 a2 − a1 , 4 a2 + a1 ]|; в) |[a2 + 2 a1 , 3 a2 + 2 a1 ]|.
N 36
π
|a1 | = 4, |a2 | = 4, (ad
1 a2 ) = 6 . Вычислить:
|[a1 − 4 a2 , 2 a1 − 3 a2 ]|;
N 37
Даны векторы a1 = 1, −1, 2 и a2 = 3, 1, 3 . Найти координаты вектора:
а) [a1 , a2 ]; б) [8 a2 + 6 a1 , 2 a2 + 2 a1 ];в) [a2 − 2 a1 , 3 a2 − a1 ];
N 38
Вычислить площадь треугольника с вершинами A (3, 1, −2), B (−5, −4, 1)
и C (−6, −4, 1).
N 39
В треугольнике с вершинами A (−2, 7, −1), B (−2, 5, −1) и C (−4, 2, −3)
найти высоту h = |CD|.
3

4.

N 40
Определить, при каких значениях
β k + α j + 2 i будет колли α и β вектор
неарен вектору [a, b], если a 9, 2, 2 , b 9, 1, 3 .
N 41
Векторы a1 , a2 , a3 образуют левую тройку, взаимно перпендикулярны и
|a1 | = 2, |a2 | = 6 |a3 | = 2. Вычислить a1 a2 a3 .
N 42
d
Векторы a, b, c образуют правую тройку, |a| = 8, |b| = 4 |c| = 8 и a, b =
2π
3 ; c ⊥ a, c ⊥ b. Найти abc.
N 43
Установить, образуют ли векторы a1 , a2 и a3 базис в множестве векторов,
если:
a1 = 5 k + 3 j − 6 i, a2 = −6 k + j + 9 i, a3 = −5 k + 4 j + 9 i.
N 44
Вычислить объем тетраэдра OABC, если OA = 8 k − 5 j − 9 i, OB = −6 k +
7 j + 7 i, OC = 9 k + 7 j − 9 i.
N 45
Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A (1, 3, −1), B (2, 11, 13),
C (1, 2, −3) и D (4, 7, 5).
N 46
В тетраэдре с вершинами в точках A (7, 2, 5), B (3, 3, 2), C (4, 4, 3) и
d
D (1, −1, −2), вычислить высоту h = |AE|.
N 47
Проверить, компланарны ли данные вектора:
a = 6 k − 6 j − 8 i, b = −8 k + 8 j − 9 i, c = −9 k + 9 j − 5 i.
N 48
Доказать, что четыре точки:
A (0, −5, 3), B (13, 0, −2), C (6, −7, 5) и D (9, −1, −1), лежат в одной плоскости.
N 49
Найти координаты четвертой вершины тетраэдра ABCD, если известно,
что она лежит на оси Oy, а объем тетраэдра равен V : A (3, −1, 7), B (4, 5, 9),
C (3, 9, 7), V = 35 .
N 50
Требуется:
1) написать уравнение прямой, привести его к общему виду и построить
прямую;
2) привести общее уравнение к нормальному виду и указать расстояние от
начала координат до прямой.
Прямая L задана точкой M0 (x0 , y0 ) ∈ L и нормальным вектором n = {A, B}:
M0 (−8, −5), n = 3, −4 ;
N 51
Требуется:
4

5.

1) написать уравнение прямой, привести его к общему виду и построить
прямую;
2) привести общее уравнение к нормальному виду и указать расстояние от
начала координат до прямой.
Прямая L задана точкой M0 (x0 , y0 ) ∈ L и направляющим вектором q =
{l, m}:
M0 (7, −9), q = 7, 4 ;
N 52
Требуется:
1) написать уравнение прямой, привести его к общему виду и построить
прямую;
2) привести общее уравнение к нормальному виду и указать расстояние от
начала координат до прямой.
Прямая L задана двумя своими точками M1 (x1 , y1 ) и M2 (x2 , y2 ):
M1 (−4, 6), M2 (6, −3).
N 53
Задана прямая L и точка M . Требуется:
1) вычислить расстояние ρ(M, L) от точки M до прямой L; 2) написать
0
уравнение прямой L , проходящей через точку M перпендикулярно заданной
00
прямой L; 3) написать уравнение прямой L , проходящей через точку M параллельно заданной прямой L.
Исходные данные:
L: 5 y − x − 36 = 0, M (4, 8);
N 54
0
Задана прямая L и точка M . Написать уравнение прямой L , проходящей
через точку M перпендикулярно заданной прямой L; Исходные данные:
L: −7 y − 3 x + 35 = 0, M (−7, 8);
N 55
Исследовать взаимное расположение заданных прямых L1 и L2 . При этом в
случае параллельных прямых найти расстояние ρ(L1 , L2 ) между прямыми, а в
\
случае их пересечения – косинус угла (L
1 , L2 ) и точку M0 пересечения прямых.
y−4
x+7
L1 : 4 y − 4 x − 44 = 0, L2 : 12 = 12 .
N 56
Треугольник ABC задан координатами своих вершин. Напишите уравнение
стороны CA. Если A (−3, 1), B (−1, 7), C (7, −4).
N 57
Треугольник ABC задан координатами своих вершин. Написать уравнение
высоты AD. Если A (1, −1), B (−5, −5), C (1, −8).
N 58
Треугольник ABC задан координатами своих вершин. Написать уравнение
высоты AD и вычислить ее длину. Если A (−9, −7), B (2, −10), C (−3, 5).
N 59
По-
5

6.

x = −2 t − 3,
казать, что точка (−15, −14, −43) принадлежит прямой L: y = 4 − 3 t, .
z = −7 t − 1.
Найти соответствующее этой точке значение параметра t.
N 60
В равнобедренном треугольнике ABC заданы вершина B (−2, 1), уравнение
−3 y − 3 x − 3 = 0 основания AB, уравнение 6 x − 24 = 0 боковой стороны AC.
Написать уравнение стороны CB.
N 61
Составить уравнение прямой, которая проходит через точку M (−5, 1) и
отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 8.
N 62
Написать уравнение прямой, параллельной двум заданным прямым L1 и
L2 и проходящей посередине между ними, если
L1 : −
x+7 y+1
x+2 y−4
=
и L2 : −
=
4
4
4
4
.
N 63
Написать уравнение прямой, параллельной двум заданным прямым L1 и
L2 и проходящей посередине между ними, если
x = 1 − 6 t,
x+6
z−4
L1 : y = t + 6, и L2 : −
=y+5=
6
6
z = 6 t − 3.
.
N 64
0
Заданы плоскость P и точка M . Написать уравнение плоскости P , проходя0
щей через точку M параллельно плоскости P , и вычислить расстояние ρ(P, P ),
если:
P : 4 z + y + 8 x + 26 = 0, M (−7, −1, 2).
N 65
0
Написать уравнение плоскости P , проходящей через заданные точки M1 и
M2 перпендикулярно заданной плоскости P , если:
P : −4 z − y + 6 x + 25 = 0, M1 (−9, 9, 5), M2 (3, 8, −3).
N 66
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M параллельно
векторам a1 и a2 , если:
M (2, 2, 1), a1 = 1, −4, −4 , a2 = 2, 1, −1 .
N 67
Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1 и M2 параллельно вектору a, если:
M1 (−5, 2, 4), M2 (−6, 1, 5), a = 5, 6, 2 .
N 68
6

7.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1 и M2 и M3 ,
если:
M1 (−8, 9, 4), M2 (5, −1, 1), M3 (9, 1, 4).
N 69
Исследовать взаимное расположение заданных плоскостей P1 и P2 . При
этом в случае параллельных плоскостей найти расстояние ρ(P1 , P2 ) между плос\
костями, а в случае их пересечения – косинус угла (P
1 , P2 ) и каноническое уравнение прямой, образованной их пересечением.
P1 : −4 z + y + x − 8 = 0, P2 : −6 z + 2 y + x − 16 = 0.
N 70
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
A (−2, −5, 4) и перпендикулярной к плоскостям 2 z + 7 y − 3 x − 25 = 0 и
−5 z − 5 y − x + 34 = 0.
N 71
Прямая L задана общим уравнением. Написать каноническое уравнение
для этой прямой:
L:
(
−2 z − 5 y + 7 x + 36 = 0,
−2 z − 4 y + 4 x + 28 = 0.
N 72
Написать каноническое уравнение
прямой, проходящей через точку
(
−2 z + 2 y + 7 x − 3 = 0,
M (−4, 2, 1) параллельно прямой:
.
5 z − 4 y + 6 x − 18 = 0.
N 73
Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M1 и
M2 , если:
M1 (−4, 4, 6), M2 (−4, 4, −6).
N 74
x = 1 − t,
Заданы прямая L : y = 3 t − 1, и точка M (−2, −8, 1). Проверить, что
z = 5 − 2 t.
M 6∈ L и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки M на
прямую L.
N 75
=
Заданы плоскость P : −3 z + 4 y − 3 x − 7 = 0 и прямая L : − x−6
7
y+4
d
− 2 = z−5
3 . Проверить, что L 6∈ P и вычислить sin(L, P ) и координаты точки
пересечения прямой и плоскости.
N 76
Убедиться, что прямые L1 и L2 принадлежат одной плоскости, и написать
уравнение этой плоскости. Исходные данные:
x+22
L1 :− x−4
5 = y + 6 = −z − 3, L2 :− 7 = y + 2 = −z − 7.
N 77
Найти расстояние между параллельными прямыми:
7

8.

y+4
x−3
z+5
L1 :− x+1
2 = y + 2 = z + 2, L2 : 6 = − 3 = − 3 .
N 78
Найти расстояние от точки :
y−1
A (1, 6, −5) до заданной прямой L:− x−5
2 = 3 = z + 7.
N 79
Составить уравнение проекции прямой
y+1
x−1
z+8
3 = − 4 = 2 на плоскость 5 z + 4 y + 2 x + 42 = 0.
N 80
Вычислить расстояние между скрещивающимися прямыми
x+2
z−7
x+2 y−1 z−8
=
=
и −
=5−y =−
4
5
3
4
3
.
N 81
Написать уравнение
общего перпендикуляра к прямым L1 и L2 . L1 : − x−4
2 =
x = 3 t + 5,
− y−3
3 = z + 4 L2 : y = 7 − 5 t, .
z = t + 1.
N 82
Установить, что следующее уравнение определяет окружность, найти ее
центр C и радиус R: y 2 + 14 y + x2 + 10 x = 0.
8