Коллинеарные и компланарные векторы. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

1. Векторы в пространстве

вход

2. Содержание

I.
II.
III.
IV.
Понятие вектора в пространстве
Коллинеарные векторы
Компланарные векторы
Разложение вектора
Выход

3. Признак коллинеарности

Если существует такое число k при котором
выполняется равенство a k b и при том
вектор b 0 , то векторы a и b коллинеарн ы.
Доказательство

4. Доказательство признака коллинеарности

Два вектора a и b коллинеарн ы тогда и
только тогда, когда имеет место равенство
a kb
вектор k a b, если k 0
( следует из определения
вектор k a b, если k 0
произведения вект ора на число)
Значит вектор b и k a коллинеарн ы,
т.к. сонаправленные и противоложно
направленные векторы лежат на одной
или параллельных прямых.
ч.т.д.

5. Определение компланарных векторов

Компланарные векторы – векторы, при
откладывании которых от одной и той же точки
пространства, они будут лежать в одной
плоскости.
Пример:
B1
A1
C1
D1
B
А
C
D
BB1 , AC,AC 1 компланарн ы, т.к.
BB1 AA1 , а векторы AA1 , AC , AC1
лежат в плоскости (AA1C)

6. О компланарных векторах

Любые два вектора всегда компланарны.
α
a
b
a
b
a
b
a и b компланарн ы
Три вектора, среди которых имеются два
коллинеарных, компланарны.
a, b и c
компланарн ы
если
a, b, c
a kb

7. Признак компланарности

Если вектор c можно разложить по векторам
а и b, т.е. представить в виде
с xa yb
где х и у некоторые числа, то векторы a, b
и c компланарн ы.
Доказательство
Задачи

8. Задачи на компланарность

1)
2)
Компланарны ли векторы:
а) a, b, 2a, 3b;
б) a, b, a b, a b ?
Справка
Решение
Известно, что векторы a , b и c компланарны.
Компланарны ли векторы:
а) a, 2b, 3c;
б) a b, a 2c, 2b 3c ?
Справка
Решение

9. Решение

а )векторы a и 2a коллинеарн ы,
векторы b и 3b коллинеарн ы,
значит векторы a, b, 2a и 3b компланарн ы
б )векторы a, b и a b компланарн ы,
векторы a, b и a b компланарн ы,
значит векторы a, b, a b и a b компланарн ы

10. Решение

a) если векторы a , 2b , 3c компланарн ы,
то существуют такие х и у,что
a xb y c
проверяем существуют ли такие т и п,что
a m 2b n 3c
имеем :
x
2m x m
2
y
3n y n
3
m и п определяют ся единственным образом,
значит векторы компланарн ы

11. Решение

б)если векторы a b , a 2c , 2b 3c
компланарн ы, то существуют такие х и у,что
a b x( a 2c ) y(2b 3c )
a b x a 2xc 2yb 3y c
a(1 x) b(1 2y) c( 2x 3y) 0
1 x 0 x 1
1
1 2y 0
y
3y 2x 0
2
1
a b a 2c (2b 3c )
2
искомые х и у существуют,
значит векторы компланарн ы

12. Доказательство признака компланарности

B1 OC x OA y OB
С
c
b B
A
A1
O
a
Дано :
с x a yb
x, y некоторые числа
Доказать :
a, b и с компланарны
Доказательство :
Пусть a и b не коллинеарны
О произвольная точка
OA a , OB b
OA ,OB ,OA1 ,OB1 (OAB)
OA1 x OA OB1 y OB
OC c OA1 OB1 x OA y OB
OA a ,OB b ,OC c лежат в одной плоскости
a ,b , c компланарн ы ч.т.д

13. Свойство компланарных векторов

Если векторы a, b и c компланарн ы, то один из них
можно выразить линейным образом через два других,
т.е. представить в виде :
с xa yb
причем коэффициен ты разложения
определяют ся единственным образом.

14. Скалярное произведение

Скалярным произведением двух векторов
называется произведение их длин на косинус угла
между ними.
ab a b cos( a ; b )
Справедливые утверждения
Вычисление скалярного произведения в координатах
Свойства скалярного произведения

15. Справедливые утверждения

• скалярное произведение ненулевых векторов
равно нулю тогда и только тогда, когда эти
векторы перпендикулярны
a b 0 a 0 b 0 a b
• скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное
произведение вектора на себя) равен квадрату
его длины
2
a
а
2
а
2

16. Вычисление скалярного произведения в координатах

Скалярное произведен ие векторов a x1 ; y1 ; z1
и b x 2 ; y 2 ; z 2 выражается формулой
a b x 1 x 2 y1 y 2 z 1 z 2
Доказательство

17. Доказательство формулы скалярного произведения

Доказатель ство :
I . при a 0 или b 0, равенство
ab x1 x2 y 1 y2 z1 z 2 справедливо, т.к . 0 0;0;0
II . при a 0, b 0
О произвольн ая точка
B
b
OA a, OB b
если a и b неколлинеа рны, то
α a
AB 2 OA 2 OB 2 2 OA OB cosα ( по т еоремOекосинусов)
A
это равенство верно и в том случае когда векторы
a и b коллинеарн ы
O
B
A
2
2
cosα 1, AB (OA OB)
2
2
OA OB 2OA OB
2
2
OA OB 2OA OBcosα
B
b
O
a
A
2
2
cosα 1, AB (OA OB)
2
2
OA OB 2OA OB
2
2
OA OB 2OA OBcosα

18. Доказательство формулы скалярного произведения

Так как AB b a , OA a , OB b , то
2
2
2
1
ab ( a b b a )
2
a x1 ; y1 ; z1 b x2 ; y2 ; z 2 b a x2 x1 ; y2 y1 ; z 2 z1
2
2
a x y z , b x22 y22 z 22 ,
2
1
2
1
2
1
2
b a (x2 x1 )2 (y 2 y1 )2 (z 2 z1 )2
1
ab (x12 y12 z12 x22 y22 z 22 (x2 x1 )2 (y 2 y1 )2
2
1
(z 2 z1 )2 ) (x12 y12 z12 x22 y22 z 22 x22 2x1 x2
2
x12 y22 2y1 y2 y12 z 22 2z1 z 2 z12 ) x1 x2 y1 y2 z1 z 2

19. Свойства скалярного произведения

Для любых векторов a , b и с и любого
числа k справедливы равенства :
10.
2
a 0 причем a 0 при a 0
20. a b ba (переместительный закон)
(распределительный
0
a
b
c
a
c
b
c
3.
закон)
40. k a b k a b (сочетательный закон)

20. Разложение вектора

• По двум неколлинеарным векторам
• По трем некомпланарным векторам

21. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Теорема.
Любой вектор можно разложить по двум
данным неколлинеарным векторам, причем
коэффициенты разложения определяются
единственным образом.
Доказательство

22. Доказательство теоремы

Дано :
b
a, b неколлинеа рные
векторы
Доказать :
p
a
P
B
p
a
A
p коллинеарен b .
p yb , где y –
1)Пусть
Тогда
некоторое число.
Следовательно,
b
O
p x a yb
Доказатель ство :
A1
p 0 a y b
т.е. p разложен по
векторам a и b .

23. Доказательство теоремы

2) p не коллинеарен ни вектору a , ни вектору b .
Отметим О – произвольную точку.
OA a OB b OP p
PA1 BO PA1 OA A1
p OA1 A1 P(пп правилу треугольника)
но : OA1 и A1 P коллинеарн ы a и b соответственно,
значит OA1 x a , A1 P yb ,
следовательно p x a yb , т.е. p разложен по a и b
ч.т.д.

24. Доказательство теоремы

Докажем, что коэффициенты разложения
определяются единственным образом.
Допустим: p x1 a y1 b
Тогда: p x a y b z c
1
1
-
1
p x a yb z c
0 (x x1 )a (y y1 )b
x x1 0, y y1 0,
если бы x x1 0 то a
y y1
b
x x1
а значит a , и b коллинеарн ы, что
противоречит условию теоремы
значит x x1 0, y y1 0, откуда
x x1 и y y1 .

25. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Если вектор p представлен в виде
p xa yb z c
где x, y, z – некоторые числа, то говорят, что вектор
p разложен по векторам a , b и c .
Числа x, y, z называются коэффициентами разложения.
Теорема
Любой вектор можно разложить по трем данным
некомпланарным векторам, причем коэффициенты
разложения определяются единственным образом.
Доказательство

26. Доказательство теоремы

С
с
P
pB
b P2
O
P1
aA
Доказательство :
О произвольн ая точка
Дано :
abc
некомпланр ные
векторы
p x a yb z c
OA a OB b OC c OP p
AP OC AP (AOB) P1 P2 P1 OB
OP OP2 P2 P1 P1 P
OP2 , и OA , PP1 и OB , P1 P , OC коллинеарны
OP2 x OA , P2 P1 y OB , P1 P z OC
OP x OA y OB z OC
p x a yb z c ч.т.д.

27. Доказательство теоремы

Докажем, что коэффициенты разложения
определяются единственным образом.
Допустим: p x1 a y1 b z1 c
Тогда: p x a y b z c
1
p x a yb z c
1
-
1
0 (x x1 )a (y y1 )b (z z1 )c
x x1 0, y y1 0, z z1 0
x x1
y y1
если бы z z1 0 то с
a
b
z z1
z z1
а значит a , b , и с компланарн ы, что
противоречит условию теоремы
значит x x1 , y y1 , z z1