Занятие №26(1)

1. Тема: «Понятие вектора. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора по трем некомпланарным

векторам»

2. Понятие вектора в пространстве

Вектор(направленный отрезок) –
отрезок, для которого указано какой из его
концов считается началом, а какой – концом.
В
А
AB
a
M
MM 0
Длина вектора AB – длина отрезка AB.
AB AB
0 0

3. Коллинеарные векторы

Два ненулевых вектора называются
коллинеарными, если они лежат на одной
прямой или параллельных прямых.
Среди коллинеарных различают:
• Сонаправленные векторы
• Противоположно направленные векторы

4. Сонаправленные векторы

Сонаправленные векторы - векторы, лежащие
по одну сторону от прямой, проходящей через их
начала.
a
a b
b
Нулевой вектор считается сонаправленным с
любым вектором.
• Равные векторы

5. Равные векторы

Равные векторы - сонаправленные векторы,
длины которых равны.
a
a b a b, a b
b
От любой точки можно отложить вектор,
равный данному, и притом только один.

6. Противоположно направленные векторы

Противоположно направленные векторы –
векторы, лежащие по разные стороны от прямой,
проходящей через их начала.
a
a b
b
Противоположные векторы

7. Противоположные векторы

Противоположные векторы – противоположно
направленные векторы, длины которых равны.
a
a b a b, a b
b
Вектором, противоположным нулевому,
считается нулевой вектор.

8. Признак коллинеарности

Если существует такое число k при котором
выполняется равенство a k b и при том
вектор b 0, то векторы a и b коллинеарн ы.
Доказательство

9. Определение компланарных векторов

Компланарные векторы – векторы, при
откладывании которых от одной и той же точки
пространства, они будут лежать в одной
плоскости.
Пример:
B1
A1
C1
D1
B
А
C
D
BB1 , AC,AC 1 компланарн ы, т.к.
BB1 AA1 , а векторы AA1 , AC , AC1
лежат в плоскости (AA1C)

10. О компланарных векторах

Любые два вектора всегда компланарны.
α
a
b
a
b
a
b
a и b компланарн ы
Три вектора, среди которых имеются два
коллинеарных, компланарны.
a, b и c
компланарн ы
если
a, b, c
a kb

11. Решение

a) если векторы a , 2b , 3c компланарн ы,
то существуют такие х и у,что
a xb y c
проверяем существуют ли такие т и п,что
a m 2b n 3c
имеем :
x
2m x m
2
y
3n y n
3
m и п определяют ся единственным образом,
значит векторы компланарн ы

12. Свойство компланарных векторов

Если векторы a, b и c компланарн ы, то один из них
можно выразить линейным образом через два других,
т.е. представить в виде :
с xa yb
причем коэффициен ты разложения
определяются единственным образом.

13. Действия с векторами

Сложение
Вычитание
Умножение вектора на число
Скалярное произведение

14. Сложение векторов

Правило треугольника
Правило параллелограмма
Правило многоугольника
Правило параллелепипеда
Свойства сложения

15.

16.

17. Правило треугольника

Для сложения двух векторов необходимо :
1. отложить от какой нибудь точки А вектор
AB, равный а
2. от точки В отложить вектор BC , равный b
3. вектор AC называется суммой векторов a и b
B
a
a
b
А
b
a b
C

18. Правило треугольника

B
a
А
b
a b
C
Для любых трех точек А, В и С справедливо равенство:
AB BC AC

19. Правило параллелограмма

Для сложения двух векторов необходимо :
1. отложить от какой нибудь точки А
вектор AB, равный а
2. от точки А отложить вектор AC, равный b
3. достроить фигуру до параллелограмма , проведя
дополнительные линии параллельно данным
векторам
4. диагональ параллелограмма сумма векторов
B
a
a
b
А
с
b C
с a b

20. Свойства сложения

Для любых векторов a , b и c справедливы
равенства :
a b b a
переместительный закон
a b с а b с сочетательный закон

21. Правило многоугольника

Сумма векторов равна вектору, проведенному
из начала первого в конец последнего(при
последовательном откладывании).
a
B
b
C
A
a b c d e
e
c
E
d
Пример
D
AB BC C D DE AE

22. Пример

B1
A1
C1
D1
B
A
C
D
AA1 D1C1 A1 D BA CB 0

23. Правило параллелепипеда

Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда,
равен сумме векторов, проведенных из той же
точки и лежащих на трех измерениях
параллелепипеда.
B
A1 1
C1
d
AB b
D1
с bB
C
А
a
AD a
D
AC1 AD AB AA1
AA1 c
AC1 d

24. Свойства

B1
A1
C1
d
D1
с aB
А
C
b
D
d a b c для любого параллелепипеда
d 2 a 2 b 2 c 2 для прямоуголь ного
параллелепипеда

25. Вычитание векторов

• Вычитание
• Сложение с противоположным

26. Вычитание

Разностью векторов a и b называется такой
вектор, сумма которого с вектором b равна
вектору a .

27. Вычитание

Для вычитания одного вектора из другого необходимо :
1. отложить от какой нибудь точки А
вектор AB, равный а
2. от этой же точки А отложить вектор AC,
равный b
3. вектор CB называется разностью векторов a и b
B
a
b
Правило трех точек
a
a b
A
b
C

28. Правило трех точек

Любой вектор можно представить как разность
двух векторов, проведенных из одной точки.
B
BK AK AB
А
BK
K

29. Сложение с противоположным

Разность векторов a и b можно представить
как сумму вектора a и вектора,
противоположного вектору b.
a b a b
a
B
b
a b
b
O
А
a

30. Умножение вектора на число

Произведением ненулевог о вектора a на число k
называется такой вектор b , длина которог о
равна к а , при чем векторы a и b сонаправле ны
при k 0 и противоположно направлены при k 0.
a
2a
b
1
b
3

31. Свойства

• Произведением нулевого вектора на любое число
считается нулевой вектор.
0 n 0
• Произведение любого вектора на число нуль есть
нулевой вектор.
n 0 0

32. Скалярное произведение

Скалярным произведением двух векторов
называется произведение их длин на косинус угла
между ними.
ab a b cos( a ; b )
Справедливые утверждения
Вычисление скалярного произведения в координатах
Свойства скалярного произведения

33. Справедливые утверждения

• скалярное произведение ненулевых векторов
равно нулю тогда и только тогда, когда эти
векторы перпендикулярны
a b 0 a 0 b 0 a b
• скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное
произведение вектора на себя) равен квадрату
его длины
2
a
а
2
а
2

34. Вычисление скалярного произведения в координатах

Скалярное произведение векторов a x1 ; y1 ; z1
и b x 2 ; y2 ; z 2 выражается формулой
a b x 1 x 2 y1 y 2 z 1 z 2
Доказательство