Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

1.

Разложение вектора по трем
некомпланарным векторам

2.

Цели урока
• Рассмотреть теорему о разложении
вектора по трем некомпланарным
векторам.

3.

Новый материал
Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным
векторам.
Любой вектор можно разложить по трем данным
некомпланарным векторам, причем коэффициенты
разложения определяются единственным образом.
Дано : а , b , c некомпланарны
р
Доказать : 1 ) p x a y b z c ,
2 )коэффициенты x , y , z определяют ся
единственн ым образом .

4.

Доказательство
1 )Отложим векторы а , b , c и р от одной точки .
Через точку Р , проведем РР1 || ОС , Р1 ( АОВ ).
Р
С
а
О
ОР1 х а у b , т .к . ОР1 , а и b компланарны .
р
Тогда по правилу треугольни ка ОР ОР1 Р1 Р .
с
Р1 Р z c , т .к . Р1 Р || c .
А
Р1
b
В
Следовател ьно , р х а у b z c .
Если р || c , то р 0 а 0 b z c .

5.

Доказательство
Докажем единственн ость коэффициентов разложения .
Пусть р х а у b z c и р х1 а у1 b z1 c ,
следовател ьно , х а у b z c х1 а у1 b z1 c .
х х1 а у у1 b z z1 c 0
Пусть х х1 0.
Делим на х х1 обе части равенства :
у у1 z z1
а
b
c 0
х х1
x x1
у у1 z z1
Откуда а
b
c;
х х1
x x1
т .е . а , b и c компланарны , что противореч ит условию ,
значит , х х1 , у у1 , z z1 , ч .т .д .

6.

Решение задач
361
D1
C1
B1
О
D
A
C
B
Ответ:
СD AB 0 АА1 AB 0 АD ;
1
1
D1О D1 B D1 A1 D1C1 D1 D
2
2
1
АD АВ АА1
2
1 1 1
АА1 АВ АD .
2
2
2
A1

7.

Решение задач
О
363
а
с
b
В
С
ОD ОА ОС ОB ;
ОD ОА ОС ОB ;
M
А
АD BС , так как АВСD параллелограмм ;
D
ОD а b c ;
1
ОМ ОА ОС , так как М середина отрезка АС ;
2
1
1
ОМ а 0 b c .
2
2
Ответ:

8.

Решение задач
367
Дано : АВСD тетраэдр
АА1 медиана грани АВС ,
А
K
К АА1 ,
В
АК 3
.
КА1 7
A1
D
С
Разложить : вектор DK по векторам DA , DB , DC .
Решение : 7 АК 3 КА1 ; 7 DК DA 3 DА1 DK ;
10 DK 7 DA 3 DA1 ;
1
DA1 DB DС , так как A1 середина отрезка BС ;
2
1
10 DK 7 DA 3 DВ DC ;
2
3
3
DK 0 ,7 DA
DB
DC ;
20
20
3
3
Ответ : DK 0 ,7 DA
DB
DC ;
20
20