Векторы. Действия над векторами

1.

Колледж космического машиностроения и технологий
Векторы.
Действия над векторами.

2.

• Величины, которые полностью определяются
своим численным значением, называются
скалярными:
площадь,
длина,
объём,
температура, работа, масса.
• Другие величины, которые определяются не
только своим числовым значением, но и
направлением, называются векторными: сила,
скорость, ускорение, перемещение точки.
Векторная величина геометрически изображается с
помощью вектора.

3.

• Вектор – направленный отрезок.
В
a
конец вектора
AB
А начало вектора
b
a b - одинаково направленные
a c - противоположно направленные
c

4.

• Нулевой вектор – вектор, начало и конец
которого совпадают.
0
• Длина вектора (длина∼модуль∼абсолютная
величина) – расстояние между началом и
концом.
обозначение:
a или AB ;
0 0

5.

• Векторы, противоположно направленные и
имеющие одинаковые длины, называются
противоположными.
a
a
• Вектор, длина которого равна единице,
называется единичным.
обозначение: e

6.

• Векторы называются коллинеарными, если они
лежат на одной прямой или на параллельных
прямых.
a
k
b
c
a
b
b
c
k
c
a
k

7.

• Два вектора называются равными, если они
коллинеарны, одинаково направлены и равны
по абсолютной величине.
a b a
b, a b,
a b
b
a
k
c
m

8.

• Векторы называются компланарными, если
они лежат в одной плоскости или на
параллельных плоскостях.

9.

Линейные операции над векторами.
• Сумма векторов.
С
a b
b
b
А
a
a
В
AB BC AC
правило треугольника
Чтобы сложить два вектора, надо от конца первого вектора
отложить второй вектор. Тогда вектор, начало которого
совпадает с началом первого, а конец с концом второго и
будет суммой векторов.

10.

b
b
a
a
a b
правило параллелограмма
Чтобы сложить два вектора, надо оба вектора отложить из
одной
общей
точки.
Построить
на
векторах
параллелограмм.
Тогда
одна
из
диагоналей
параллелограмма, имеющая началом общую точку и будет
суммой векторов.

11.

Аналогично
векторов.
определяется
сумма
трёх
и
более
c
b
c
a
b
m
m
a b c m
a
Каждый последующий вектор отложен из конца
предыдущего. Тогда вектор, начало которого совпадает с
началом первого, а конец с концом последнего и будет
суммой векторов. Указанный способ построения суммы
называется правилом замыкающей.

12.

• Разность векторов.
a b a b
правило треугольника
b
a b
a
b
a
b
правило параллелограмма
a
b
a b

13.

b
b
a b
a
a
b
b a
a
Чтобы вычесть один вектор из другого, надо оба вектора
отложить из одной общей точки, соединить их концы.
Результирующий вектор направлен к тому вектору, от
которого вычитают.

14.

• Умножение вектора на число (скаляр).
Произведением вектора a на число λ называется
вектор a , удовлетворяющий условиям:
1)
a a
2) a
a
3a
a
3) a a, 0
a a, 0
2a

15.

• Свойства линейных операций.
a, b, c V
, 1 , 2 R
1)
a b b a
закон коммутативности
2)
a b c a b c
закон ассоциативности
3) a 0 V : a 0 0 a a
4) a b : a b b a 0
b a
противоположный вектор

16.

5)
1 2 a 1 a 2 a
6) a b a b
7) 1 2 a 1 2 a
8) a 1 a a
закон дистрибутивности
относительно сложения
чисел
закон дистрибутивности
относительно сложения
векторов
закон
ассоциативности
относительно умножения
чисел

17.

1. Построить векторы:
1
1
m a b 2c, n 2b a 3c, k c 3b a
2
2
c
m
b
2c
a
b
a

18.

1
1
m a b 2c, n 2b a 3c, k c 3b a
2
2
c
b
a
a
2b
n
1
a
2
3c
k
3b
1
c
2

19.

2. ABCDA1B1C1D1- куб. Найти вектор, равный AB B1C1 C1C
B1
A1
C1
D1
DB C1C DB D1 D
B
A
AB B1C1 C1C AB AD C1C
C
D1 D DB D1 B
D
Ответ:
AB B1C1 C1C D1 B

20.

3. ABCDA1B1C1D1- куб.
AA1 a,
Выразить через векторы
К- середина DD1.
B1
A1
B
c
C1 K
, если
1
C1 K C1 D1 D1 K b a
2
K
C
b
A
a , b, c вектор
AD c
C1
D1
a
AB b,
D
Ответ:
1
C1 K b a
2

21.

4. Дан параллелограмм ABCD. Точка О- точка пересечения
его диагоналей. Выразить вектор ОР через векторы a, b
если AC a, BD b
Р- середина ВС.
Р
B
C
О
b
A
D
Ответ:
1
1
OP DC OC OD
2
2
a
1
1
OP a b
4
4
1 1
1 1
1
a b a b
2 2
2 4
4

22.

5. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. AB a,
Выразить через векторы a, b векторы:
C
B
D
A
DA
1
1
1
1
BC AD a b a b
2
2
2
2
1
1
1
1
CD BE b a b a
2
2
2
2
a
b
BC , CD,
AE b
E
DA AD a b a b
F
Ответ:
1
1
BC a b
2
2
1
1
CD b a
2
2
DA a b

23.

Признак коллинеарности векторов.
• Два ненулевых вектора a и b коллинеарны
тогда и только тогда, когда один из них есть
произведение другого на некоторое число, т.е.
b a

24.

Пример. Коллинеарны ли векторы c и d ?
c a 2 3 b ,
d 3 a 6 b
Решение. d k c
3 a 6 b k a 2 3 b
3 a 6 b k a k 2 3 b
k 3
То есть
d 3 c
d c
Ответ: векторы c и d коллинеарны и
противоположно
направленные.

25.

Координаты вектора

26.

• Базисом
на
плоскости
неколлинеарных
вектора,
определенном порядке.
назовём
взятых
два
в
• Базисом в пространстве
некомпланарных
вектора,
определённом порядке.
назовём
взятых
три
в
• Базис называется ортонормированным, если
его векторы взаимно перпендикулярны и
имеют единичную длину.
Обозначение: i, j, k

27.

Разложение вектора по ортам
координатных осей.
z
1) Рассмотрим прямоугольную
систему координат Оxyz;
M
k
i 0 j
x
a
2) Выделим
единичные
векторы (орты) i, j, k.
y
3) Выберем
произвольный
вектор a с началом (0;0):
a OM

28.

z
M3
M
a
k
M1
i
M2
0
y
j
N
x
- проведем через конец вектора OM
координатным плоскостям.
4) Найдем проекции вектора
a на координатные оси:
плоскости,
параллельные
- получим прямоугольный параллелепипед, где OM
- диагональ.

29.

Формула является основной в векторном исчислении и
называется разложением вектора по ортам координатных
осей.
a xi y j zk
координаты вектора
Т.е. координаты вектора есть его
соответствующие координатные оси.
a x; y; z
проекции
на

30.

Действия над векторами, заданными своими
координатами (проекциями).
Пусть
a x1 i y1 j z1 k
или
a x1 ; y1 ; z1
b x2 i y2 j z2 k
или
b x2 ; y2 ; z2
• Сумма (разность):
a b x1 x2 ; y1 y2 ; z1 z2
• Умножение вектора на скаляр:
a х1; у1; z1 х1; у1; z1

31.

• Равенство векторов:
xa xb
a b ya yb
z z
b
a
Два вектора равны тогда и только тогда, когда
равны их соответствующие координаты.

32.

• Коллинеарность векторов: a
b a b
xa ; ya ; za xb ; yb ; zb
xa ; ya ; za xb ; yb ; zb
xa xb
xa
ya
za
ya yb ; ;
xb
yb
zb
za zb
a
b
xa ya za
xb yb zb

33.

• Координаты точки:
z
r OM
- радиус-вектор точки М.
M
Координаты точки- это координаты её
радиус-вектора
r
k
i
0
j
y
r x i y j z k
или
r x, y , z
x
То есть
M x, y, z - координаты точки

34.

• Координаты вектора:
z
Пусть
А
a
xB xA ; yB y A ; zB z A
k
x
B xB ; yB ; zB
AB OB OA xB ; y B ; z B x A ; y A ; z A
В
i
A xA ; y A ; z A
0
j
y
a AB xB x A ; y B y A ; z B z A
Чтобы найти координаты вектора, необходимо из координат
конца вычесть соответствующие координаты его начала.

35.

1).
ABCD- параллелограмм. A(1; -2; 3), B(3; 2; 1),
C(6; 4; 4). Найти координаты точки D.
Решение.
Пусть D(x; y; z)
BC AD
B
BC 6 3; 4 2; 4 1 3; 2; 3
C
AD x 1; y 2; z 3
A
x 1 3
x 4
y 2 2 y 0
z 6
z 3 3
Ответ. D(4; 0; 6)
D

36.

2).
При каких значениях , векторы
a 2 i 3 j k и b i 6 j 2 k
коллинеарны?
Решение.
a
b
находим
находим
a
b
3
6 2
2
:
:
2
3
6
4
3
6 2
1
Ответ. Векторы a
b , если 4
ax a y az
bx b y bz
и 1