Векторы и действия над ними. Скалярное произведение векторов

1.

2.

1. Векторные и скалярные величины
Скалярные (числовыми)
величины при выбранной
единице измерения вполне
характеризуются одним
числовым значением:
длина,
площадь,
объем,
масса,
плотность,
температура и т. д.
Векторные величины
определяются не только
числовым значением, но и
направлением в
пространстве:
сила,
скорость,
ускорение и т. д.

3.

2. Векторы
Любой отрезок прямой имеет две концевые точки.
Если одна из них принята за начало отрезка, а другая –
за конец, то такой отрезок называется направленным.
В
С
а
А
D
Два направленных отрезка считаются равными,
если они имеют равные длины, параллельны и
направлены в одну сторону.
Направленные отрезки с введенным понятием
равенства называются векторами.
Обозначение: а = АВ, длина вектора |а|=|AВ|
Нулевой вектор: о = АА

4.

3. Сумма векторов
Пусть даны два вектора а и b. Найти сумму векторов.
b
Правило треугольника
сложения двух векторов
a
Правило параллелограмма
сложения двух векторов
О
А
Сложение векторов обладает следующими свойствами:
1. Свойство коммутативности: a + b = b + a
2. Свойство ассоциативности: (a + b) + c = a + (b + c)

5.

3. Сумма векторов
Если требуется найти сумму трех или большего числа
векторов, то применяют так называемое правиле
многоугольника.
Пусть даны векторы а, b, с, d и требуется найти их
сумму.
а + b + c + d = ОА + АВ + ВС + СD = ОD

6.

4. Разность векторов
Два вектора называются противоположными, если их
сумма равна нулевому вектору.
Обозначение: - а
Ненулевые противоположные векторы имеют равные
длины и противоположные направления.
Чтобы вычесть из вектора а вектор b, достаточно
прибавить к вектору а вектор, противоположный
вектору b, т.е. а – b = a + (- b)

7.

5. Произведение вектора на число
Произведением ненулевого вектора а на число m
называется вектор, имеющий направление вектора а,
если m>0, и противоположное направление, если m<0.
Длина этого вектора равна произведению длины
вектора а на модуль числа m.
Обозначение: ma

8.

6. Коллинеарные векторы
Два ненулевых вектора, направления которых
совпадают или противоположны, называются
коллинеарными.
(Допустим синоним «параллельные векторы)
Например: коллинеарны векторы:
АВ || СD
DA || СВ

9.

6. Коллинеарные векторы
Теорема (признак коллинеарности).
Для того чтобы вектор а был коллинеарен ненулевому
вектору b, необходимо и достаточно, чтобы
существовало число k, удовлетворяющее условию:
a = kb.
Нулевой вектор считается коллинеарным любому
вектору

10.

7. Угол между двумя векторами
Углом между двумя направлениями называется
величина наименьшего угла между любыми лучами этих
направлений с общим началом.
По определению угол между двумя направлениями
находится в промежутке [0°; 180°].
Углом между двумя ненулевыми векторами
называется угол между направлениями этих векторов.
Обозначается: (а; b).

11.

7. Угол между двумя векторами
Если угол между векторами a и b равен 90°, то эти
векторы называют перпендикулярными (или
ортогональными) и пишут: a b.
Отметим, что:
(а; b) = 0°, когда векторы являются сонаправленными ,
(a; b) = 1800когда векторы противоположнонаправлены
Если хотя бы один из векторов является нулевым, то
угол между векторами не определен.

12.

8. Компланарные векторы
Вектор АВ назовем параллельным плоскости, если
прямая АВ параллельна этой плоскости.
Нулевой вектор считается параллельным любой
плоскости.
Векторы a1, а2, . . . , аn называются компланарными,
если каждый из них параллелен одной и той же
плоскости.
Любые два вектора всегда компланарны.
Очевидно, если три вектора компланарны, то их можно
изобразить направленными отрезками, лежащими в
одной плоскости

13.

9. Координаты вектора
Даны координаты точек в прямоугольной декартовой
системе координат: А(хА; уА) и В(хВ; уВ)
Тогда длина вектора АВ вычисляются так:
Если рассмотреть вектор в пространстве, то формула
будет выглядеть следующим образом:
AB (xB-xA; yB-yA; zB-zA)

14.

10. Длина вектора
Даны координаты точек в прямоугольной декартовой
системе координат: А(хА; уА) и В(хВ; уВ)
Тогда длина вектора АВ вычисляются так:
AB
xB x A y B y A
2
2
Если рассмотреть вектор в пространстве, то формула
будет выглядеть следующим образом:
AB
xB x A 2 yB y A 2 z A z B 2

15.

11. Действия над векторами,
заданными своими координатами
Пусть даны два вектора, заданные своими координатами:
а(х1; y1; z1) и b(x2; y2; z2)
1) при сложении двух и большего числа векторов их
одноименные координаты складываются:
a + b = (х1 + x2; y1 + y2; z1 + z2)
2) при вычитании векторов их одноименные координаты
вычитаются:
a - b = (х1 - x2; y1 - y2; z1 - z2)
3) при умножении вектора на число каждая координата
вектора умножается на это число:
k*a = (k*x1; k*y1; k*z1)

16.

11. Действия над векторами,
заданными своими координатами
Пример:
Дано: а = ( 3; 4; 6) и в = ( -1; 4; -3)
Найти: 1) а + в
3) 5а
2) а – в
4) 2а – 3в
Решение:
1) а + в = ( 3 + ( -1); 4 + 4; 6 + (-3)) = ( 2; 8; 3)
2) а – в = (3 - ( -1); 4 - 4; 6 - (-3)) = ( 4; 0; 9)
3) 5а = (5*3; 5*4; 5*6) = (15; 20; 30)
4) 2а – 3в = (2*3; 2*4; 2*6) – (3*(-1); 3*4; 3*(-3)) =
= (6; 8; 12) – (-3; 12; -9) = (6 - (-3); 8 – 12; 12 – (-9)) =
= (9; -4; 21)

17.

Скалярное произведение
векторов

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

Вычислите, какую работу A производит сила (3,4),
когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно,
перемещается из положения B(5, -1) в положение C(2, 1).

25.

Использование скалярного
произведения
Удобно использовать скалярное произведение
векторов для определения углов между прямыми и
между прямой и плоскостью.
Угол между прямыми
Вектор называют направляющим вектором прямой,
если он находится на прямой или параллелен этой
прямой.

26.

Векторное произведение