ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
Основные понятия
Равные векторы
Нулевой вектор
Взаимное расположение векторов
Взаимное расположение векторов
Линейные операции над векторами
Линейная зависимость векторов
Декартова система координат
Основные формулы
Примеры:
НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
Скалярное произведение двух векторов
Свойства скалярного произведения
Координатная форма скалярного произведения
Векторное произведение двух векторов
Свойства векторного произведения
Смешанное произведение трех векторов
Свойства смешанного произведения
Спасибо за внимание
3.55M
Category: mathematicsmathematics

Векторы и действия над ними

1. ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

1.
2.
3.
4.
5.
Основные понятия.
Линейные операции над векторами.
Векторное пространство.
Разложение вектора по базису.
Нелинейные операции над векторами.

2. Основные понятия

вектор;
длина вектора;
свободные векторы;
равные векторы;
нулевой вектор;
коллинеарные векторы;
компланарные векторы;
n – мерный вектор и его координаты;
векторное пространство;
линейная комбинация векторов;
линейно-зависимая и линейно-независимая
система векторов;
базис векторного пространства;
проекция вектора на ось;
проекция точки на ось;
координаты вектора в ДСК;
направляющие косинусы вектора

3.

4.

5. Равные векторы

6. Нулевой вектор

7. Взаимное расположение векторов

8. Взаимное расположение векторов

9.

10. Линейные операции над векторами


Геометрический образ
1.
СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
а) правило треугольника:
в
а
а
+ в
б) правило
параллелограмма:
а
а
в
+ в
Координатная форма записи
а + в = (х1 + х2; y1 + y2 ; z1 + z2)

11.


Геометрический образ
2.
ВЫЧИТАНИЕ
ВЕКТОРОВ
а
а
в
Координатная форма записи
а в = (х1 х2; y1 y2 ; z1 z2)
в
3.
УМНОЖЕНИЕ
ВЕКТОРА НА
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ
ЧИСЛО k
k a
a
k a = (kх1; ky1; kz1)

12.

13. Линейная зависимость векторов

14.

15. Декартова система координат

16.

17. Основные формулы

Если вектор
a xi yj zk , то:
a x2 y2 z 2 ;
длина
x
y
z
;
cos ; cos ; cos
a
a
a
прl a a cos , где - угол между вектором a
и положительным направлением оси l

18. Примеры:

№1. Найти длины диагоналей параллелограмма,
построенного на векторах: a = (3; -5; 8)
и
b = (-1; 1; -4).
№2. Вектор , заданный в трехмерном пространстве
составляет с координатными осями Ох и Оу углы =60˚,
β=120˚. Вычислить его координаты если a = 2.
№3. Даны четыре точки A 5; 6; 8 , B(8;10; 3) ,
C
. 1; 2; 4 , D 7; 6;14 . Выяснить, коллинеарны ли
векторы АВ
и СD ?

19.

20. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

скалярное произведение двух векторов;
векторное произведение двух векторов;
смешанное произведение трех векторов

21. Скалярное произведение двух векторов

a b (a , b ) a b cos число
a
b

22. Свойства скалярного произведения

1.
a b b a (переместительное);
2.
a b ( a) b a ( b) (сочетательное);
3.
a b c a c b c (распределительное);
2
4.
a a a ;
5.
a b a b 0 ;

23. Координатная форма скалярного произведения

Если
a=(ax, ay, az), b =(bx, by, bz),то
a b a x bx a y by a z bz

24.

25. Векторное произведение двух векторов

Векторным произведен ием вектора а на вектор b
называется вектор с a b a , b , удовлетвор яющий условиям :
1) c a b sin ;
2) c a ; c b ;
3) тройка векторов a , b , c правая
a
c
b
a
c
b

26. Свойства векторного произведения

1.
a b b a ;
2.
a b a b a b
3.
a b c a b a c ;
4.
a a 0
5.
;
a b 0 a b (условие коллинеарности)
S a b

27.

Если a=(ax, ay, az), b =(bx, by, bz),то
i
j
k
a b ax
ay
az
bx
by
bz

28.

29. Смешанное произведение трех векторов

(a b ) c a , b , c
a b c a b c это число

30. Свойства смешанного произведения

1.
2.
3.
4.
5.
a b c (a c) b (c b) a (c a) b (b c) a ;
если три данных вектора компланарны,
то (a b ) c 0 (и наоборот);
a b c a (b c) ;
a ( b ) c a b ( c ) ( a b c ) ;
если три вектора заданы координатами
a=(x1; y1; z1), b=(x2; y2; z2), c=(x3; y3; z3), то
смешанное произведение вычисляется по
формуле:
х1 y1 z1
a b c x2
y2
z2
x3
y3
z3

31.

32.

Приложения
нелинейных
операций над
векторами
Скалярное произведение
cos a, b
Геометрические
приложения
Физические
приложения
a b
a b
Прb a
a b
b
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
x1x2 y1 y2 z1z2
x22 y22 z22
A W F S

33.

Приложения
нелинейных
операций над
векторами
Векторное произведение
c a b Sпараллелограмма
Геометрические
приложения
Физические
приложения
1
1
c a b S треуольника
2
2
mA F AM F

34.

Приложения
нелинейных
операций над
векторами
Геометрические
приложения
Смешанное произведение
x1
y1
z1
Vпарал-да abc x2
y2
z2
x3
y3
z3
Vпирамиды
Физические
приложения
1
a b c
6
English     Русский Rules