В е к т о р ы. О с н о в н ы е п о н я т и я.
Линейные операции над векторами
Сложение векторов
Правило параллелограмма
Сумма нескольких векторов
Вычитание векторов
Свойства
Умножение вектора на число
Умножение вектора на число
Свойства
Пример
Угол между двумя векторами
Проекция вектора на ось и составляющая вектора на оси
Линейная зависимость векторов
Базис на плоскости и в пространстве
Прямоугольный декартовый базис
Линейные операции над векторами в координатной форме
Направляющие косинусы
Координаты единичного вектора
Пример
Деление отрезка в данном отношении
Скалярное произведение векторов
Условие перпендикулярности векторов
Проекция вектора на вектор
Угол между векторами
Физический смысл скалярного произведения
Физический смысл скалярного произведения
Свойства скалярного произведения
Пример
Векторное произведение векторов
Понятие «правой» тройки векторов
Обозначение векторного произведения векторов
Свойства векторного произведения
Свойства векторного произведения
Физический смысл векторного произведения
Физический смысл векторного произведения
Векторные произведения координатных векторов
Векторное произведение в координатной форме
Пример
Площадь параллелограмма
Площадь треугольника
Пример
Смешанное произведение
Смешанное произведение
Компланарные векторы
Условие компланарности трёх векторов
Объём параллелепипеда
Объём тетраэдра
733.00K
Category: mathematicsmathematics

Векторы. Основные понятия

1. В е к т о р ы. О с н о в н ы е п о н я т и я.

2.

a
Вектором
отрезок.
называется
направленный
Обозначают векторы символами a
или AB , где А- начало, а B-конец
направленного отрезка .
В
А
a

3.

• Нулевым вектором (обозначается 0 )
называется вектор, начало и конец
которого совпадают.
• Расстояние между началом и концом
вектора называется его длиной, или
модулем или абсолютной величиной.
• Векторы называются коллинеарными,
если они расположены на одной прямой
или на параллельных прямых

4.

• Векторы называются
компланарными, если они параллельны
одной плоскости.
• Векторы называются равными,
если они сонаправлены и имеют
равные длины.
• Два вектора, имеющие равные длины,
коллинеарные и противоположно
направленные, наз. противоположными.

5.

• Вектор, длина которого равна 1,
называется единичным вектором или
ортом.
• Ортом вектора a называется
соноправленный ему вектор и
обозначается
a0

6. Линейные операции над векторами

7.

Линейными операциями называют
операции сложения и вычитания
векторов и умножения вектора на
число.

8. Сложение векторов

c a b
Правило треугольника.
c
b
a
c

9. Правило параллелограмма

a
c
b

10. Сумма нескольких векторов

b
c
a
a b c d
d

11. Вычитание векторов

a
c
b
c a b

12. Свойства

a b b a
a 0 a

13.

a (b c) (a b) c
a ( a) 0

14. Умножение вектора на число

Произведением вектора
aна
действительное число называется
b a
b
вектор
(обозначают
),
определяемый следующими условиями:
b a
1.
,
2. b a при
0 .

b aпри

15. Умножение вектора на число

a
1
b
2
3a
c
c
b

16. Свойства

( )a ( a) ( a)
( )a a a

17.

( a b) a b
1 a a
( 1) a a

18.

• Отсюда вытекает условие коллинеарности
векторов: два ненулевых вектора
коллинеарны тогда и только тогда, когда
имеет место равенство
b a, 0.
Если a 0 орт вектора a , то
a a a0
и тогда
a0
1
a
a

19. Пример

В треугольнике ABC сторона AB разделена на три равные
части точками M и N.
Пусть CA a , CB b, выразить вектор
CM
через
a
b.
и
Решение
А
M
N
С
В

20.

1
AM AB,
3
AB b a,
1
1
1
2
1
CM CM AM a b a a b a a b
3
3
3
3
3

21. Угол между двумя векторами

22.

• Углом между векторами наз-ся
наименьший угол 0 , на который
надо повернуть один из векторов до его
совпадения со вторым.
• Под углом между вектором и осью понимают
угол между вектором и единичным вектором,
расположенным на оси
a
l0
l

23. Проекция вектора на ось и составляющая вектора на оси

24.

B
A
l0
A1
)
B1
l

25.

l
• Проекцией вектора AB на ось
называется разность x2 x1 между
координатами проекций конца и начала
вектора на эту ось.
Обозначается
прl AB .

26.

• Если - острый, то прl AB 0;
если - тупой, то прl AB 0;
если , то прl AB 0.
2

27.

• Вектор A1 B1 наз. составляющей вектора
AB по оси l и обозначается
A1 B1 состl AB прl AB l0 x2 x1 l0

28.

1) пр l AB АВ cos AB, l ;
3) пр a пр a.
2) прl a b прl a прl b;
l
l

29. Линейная зависимость векторов

30.

• Векторы
a1 , a2 ,..., an
наз-ся линейно
зависимыми, если существуют числа
1 , 2 ,..., n
не все равные 0, для
которых имеет место равенство
1 a1 2 a2 ... n an 0 (*)

31.

3
n
2
a1 a2 a3 ... an
1
1
1
a1 2 a2 3 a3 ... n an
2 a2 3 a3 ... n an линейная
комбинация векторов

32.

• Векторы
a1 , a2 ,..., an
наз-ся
линейно независимыми, если равенство
1 a1 2 a2 ... n an 0
выполняется только при
1 2 ... n 0

33.

• Для того чтобы векторы были линейно
зависимы, необходимо и достаточно,
чтобы хотя бы один из этих векторов
можно было представить в виде
линейной комбинации остальных.
• Всякие три вектора на плоскости
линейно зависимы.

34.

• Рассмотрим три вектора на плоскости
a, b, c
C
B1
B
A
D
D1

35.

AC AB1 AD1
AB1 1 AB
AD1 2 AD
AC 1 AB 2 AD

36.

• Для того чтобы два вектора были
линейно независимы, необходимо и
достаточно, чтобы они были
неколлинеарны.
• Для того чтобы три вектора в
пространстве были линейно
независимы, необходимо и достаточно,
чтобы они были некомпланарны.

37.

• Максимальное число линейно
независимых векторов на плоскости
равно двум.
• Максимальное число линейно
независимых векторов в пространстве
равно трём.

38. Базис на плоскости и в пространстве

39.

• Базисом на плоскости называют
два любых линейно независимых
вектора.
Т. Разложение любого вектора
на плоскости по базису b, c
является единственным
a

40.

• Базисом в пространстве называют
три любых линейно независимых
вектора.
Т. Разложение любого вектора a
в пространстве по базису b, c, d
является единственным

41. Прямоугольный декартовый базис

42.

Z
i j k,
i j k 1.
i
k
Y
j
X

43.

Z
k
A
a
Y
O
i
X
j

44.

Z
D
A
k
i
X
B
Y
a
O
j
C
E

45.

OA OB BE EA
OA OB OD OC
OB прox a i
прox a a x
OC прoy a j
прoy a a y
OD прoz a k
прoz a a z
a ax i a y j az k

46. Линейные операции над векторами в координатной форме

47.

• Пусть
a ax i a y j az k
b b x i b y j bz k
тогда:
1) a b (a x
2)
bx ) i ( a y b y ) j ( a z bz ) k
a a x i a y j a z k
ax a y az
3) a || b
bx b y bz
4)
a a a a
2
x
2
y
2
z

48.

A x1 ; y1 ; z1
B x2 ; y 2 ; z 2
AB x2 x1 i y 2 y1 j z 2 z1 k
AB
x
x1 y 2 y1 z 2 z1
2
2
2
2

49. Направляющие косинусы

50.

Z
M
a
))
O
X
Y

51.

• Пусть дан вектор
a ax i a y j az k
a x прox a a cos
a y прoy a a cos
a z прoz a a cos

52.

ax
cos
a
cos
ay
a
az
cos
a

53.

2
2
2
cos cos cos 1

54. Координаты единичного вектора

a 0 cos , cos , cos ,

55. Пример

Найти косинусы углов, которые, вектор AB составляет с
осями координат, если А (1,2,3) и В (2,4,5).
Решение.
AB 2 1;4 2;5 3 1;2;2 ,
AB 12 22 22 3,
тогда
1
2
2
cos , cos , cos
3
3
3

56. Деление отрезка в данном отношении

57.

A2
M
A1

58.

A1 x1 ; y1 ; z1
A2 x2 ; y 2 ; z 2
M x; y; z
A1 M
MA2

59.

x1 x 2
x
1
y1 y 2
y
1
z1 z 2
z
1

60.

• Если
1,
т.е.
A1 M MA2
x
1 x2
x
2
y1 y2
y
2
z
1 z2
z
2
, то

61. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов
называется
произведение
их
модулей на косинус угла между
ними.

62.

a b a b cos

63. Условие перпендикулярности векторов

a b a b 0

64.

a b a прa b
a b b прb a

65. Проекция вектора на вектор

a b
прb a
b

66. Угол между векторами

cos
a b
a b
x1 x2 y1 y 2 z1 z 2
.
2
x y z x y z2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2

67. Физический смысл скалярного произведения

Работа постоянной силы на
прямолинейном участке пути равна
скалярному произведению вектора
силы на вектор перемещения.

68. Физический смысл скалярного произведения

F
l
A F l

69. Свойства скалярного произведения

1) a b b a
2) (a b) ( a) b a ( b)

70.

2
3) a a
a
2
a
2

71.

• Пусть даны два вектора
a ax i a y j az k
b bx i b y j b z k

72.

Найдем скалярное произведение этих
векторов
(ax i a y j az k ) (bx i by j bz k )
= a x bx
a y by az bz
2
2
i i i i 1
2
2
2
2
j j j j 1
k k k k 1
i j 0
j k 0
i k 0

73. Пример

Дан вектор
угол
c 2a 3b , причем a 4
между векторами
Найти модуль вектора
c.
a
и
b
равен
,
b 5
60 0.
,

74.

Решение
с
a a
2a 3b
2
2
с
2
2
4a 12a b 9b .
2
4 16
2
2
2
b b 5 25,
a b a b cos 4 5 cos 60
то
2
c
4 16 12 10 9 25
2
0
10,
409 .

75. Векторное произведение векторов

76.

• Векторным произведением вектора a
на вектор b наз. вектор c a b,
удовлетворяющий следующим условиям:
1)
2)
c a b sin
c
a
c
b
3)векторы образуют правую тройку

77. Понятие «правой» тройки векторов

a , b, c
Тройку векторов
называют правой, если
направление вектора c таково, что, смотря из его конца
вдоль вектора, кратчайший поворот от вектора
a
к вектору b будет виден против движения часовой
стрелки.
с
a , b, с
b
- правая тройка
a

78. Обозначение векторного произведения векторов

c
c a b
b
a

79. Свойства векторного произведения

a b b a
a b 0 a 0
или
b 0 или a b
a a 0

80. Свойства векторного произведения

( a b) c a c b c
( a b ) ( a ) b a ( b )

81. Физический смысл векторного произведения

F
O
M

82. Физический смысл векторного произведения

Если F – сила, приложенная к точке М,
то момент этой силы относительно точки
О равен векторному произведению
векторов F и OM .

83. Векторные произведения координатных векторов

k
j
i
i j k,
j i k ,
k i j,
i k j,
j k i.
k j i.

84.

a b ax i a y j az k bx i by j bz k
axbx i i axby i j axbz i k a ybx j i
a yby j j a ybz j k az bx k i az by k j
az bz k k

85.

axby k axbz j a y bx k a y bz i az bx j az by i
a y bz az by i axbz az bx j axby a y bx k
ay
by
az
ax
i
bz
bx
ax
az
j
bx
bz
ay
k
by

86. Векторное произведение в координатной форме

i
a b ax
bx
j
k
ay
az
by
bz

87. Пример

Найти векторное произведение векторов
a 2i 3 j k ,
b 3i j 4k .
Решение
i
a b 2
k
3 1
1
i
1 4
3 1 4
2
1
3 4
j
3
j
2
3
3 1
k 13i 5 j 11k .

88.

B
a
A
b
C
S a b sin

89. Площадь параллелограмма

S пар a b

90. Площадь треугольника

1
S a b
2

91. Пример

Найти
2a 3b a 2b ,
если
Решение
a 2, b 1, 900.
2a 3b a 2b
2 a a 3 b a 4 a b 6 b b
7 b a 7 b a sin
7 1 2 sin 90 14.
0

92. Смешанное произведение

Смешанным произведением трёх
векторов называется произведение
вида :
( a b) c

93.

a b
ay
by
az
ax
i
bz
bx
ax
az
j
bx
bz
ay
by
k
c cx i c y j cz k
ay
abc
by
az
ax
cx
bz
bx
ax
az
cy
bx
bz
ay
cz
by

94. Смешанное произведение

ax a y az
abc b x b y b z
cx c y cz

95. Компланарные векторы

Три вектора называются компланарными, если
они лежат в одной или параллельных плоскостях.
p
a
n
b
c
a, b, c компланарн ы,
m
m, n, p некомплана рны.

96. Условие компланарности трёх векторов

Если
a, b, c
компланарны, то
ax
bx
ay
by
az
bz 0.
cx
cy
cz
Элементами определителя являются координаты
векторов
a , b, c

97.

c
a
b

98. Объём параллелепипеда

V abc

99. Объём тетраэдра

Vтет
1
abc
6
English     Русский Rules