Векторы. Основные понятия

1. В е к т о р ы. О с н о в н ы е п о н я т и я.

2.

a
Вектором
отрезок.
называется
направленный
Обозначают векторы символами a
или AB , где А- начало, а B-конец
направленного отрезка .
В
А
a

3.

• Нулевым вектором (обозначается 0 )
называется вектор, начало и конец
которого совпадают.
• Расстояние между началом и концом
вектора называется его длиной, или
модулем или абсолютной величиной.
• Векторы называются коллинеарными,
если они расположены на одной прямой
или на параллельных прямых

4.

• Векторы называются
компланарными, если они параллельны
одной плоскости.
• Векторы называются равными,
если они сонаправлены и имеют
равные длины.
• Два вектора, имеющие равные длины,
коллинеарные и противоположно
направленные, наз. противоположными.

5.

• Вектор, длина которого равна 1,
называется единичным вектором или
ортом.
• Ортом вектора a называется
соноправленный ему вектор и
обозначается
a0

6. Линейные операции над векторами

7.

Линейными операциями называют
операции сложения и вычитания
векторов и умножения вектора на
число.

8. Сложение векторов

c a b
Правило треугольника.
c
b
a
c

9. Правило параллелограмма

a
c
b

10. Сумма нескольких векторов

b
c
a
a b c d
d

11. Вычитание векторов

a
c
b
c a b

12. Свойства

a b b a
a 0 a

13.

a (b c) (a b) c
a ( a) 0

14. Умножение вектора на число

Произведением вектора
aна
действительное число называется
b a
b
вектор
(обозначают
),
определяемый следующими условиями:
b a
1.
,
2. b a при
0 .
0и
b aпри

15. Умножение вектора на число

a
1
b
2
3a
c
c
b

16. Свойства

( )a ( a) ( a)
( )a a a

17.

( a b) a b
1 a a
( 1) a a

18.

• Отсюда вытекает условие коллинеарности
векторов: два ненулевых вектора
коллинеарны тогда и только тогда, когда
имеет место равенство
b a, 0.
Если a 0 орт вектора a , то
a a a0
и тогда
a0
1
a
a

19. Пример

В треугольнике ABC сторона AB разделена на три равные
части точками M и N.
Пусть CA a , CB b, выразить вектор
CM
через
a
b.
и
Решение
А
M
N
С
В

20.

1
AM AB,
3
AB b a,
1
1
1
2
1
CM CM AM a b a a b a a b
3
3
3
3
3

21. Угол между двумя векторами

22.

• Углом между векторами наз-ся
наименьший угол 0 , на который
надо повернуть один из векторов до его
совпадения со вторым.
• Под углом между вектором и осью понимают
угол между вектором и единичным вектором,
расположенным на оси
a
l0
l

23. Проекция вектора на ось и составляющая вектора на оси

24.

B
A
l0
A1
)
B1
l

25.

l
• Проекцией вектора AB на ось
называется разность x2 x1 между
координатами проекций конца и начала
вектора на эту ось.
Обозначается
прl AB .

26.

• Если - острый, то прl AB 0;
если - тупой, то прl AB 0;
если , то прl AB 0.
2

27.

• Вектор A1 B1 наз. составляющей вектора
AB по оси l и обозначается
A1 B1 состl AB прl AB l0 x2 x1 l0

28.

1) пр l AB АВ cos AB, l ;
3) пр a пр a.
2) прl a b прl a прl b;
l
l

29. Линейная зависимость векторов

30.

• Векторы
a1 , a2 ,..., an
наз-ся линейно
зависимыми, если существуют числа
1 , 2 ,..., n
не все равные 0, для
которых имеет место равенство
1 a1 2 a2 ... n an 0 (*)

31.

3
n
2
a1 a2 a3 ... an
1
1
1
a1 2 a2 3 a3 ... n an
2 a2 3 a3 ... n an линейная
комбинация векторов

32.

• Векторы
a1 , a2 ,..., an
наз-ся
линейно независимыми, если равенство
1 a1 2 a2 ... n an 0
выполняется только при
1 2 ... n 0

33.

• Для того чтобы векторы были линейно
зависимы, необходимо и достаточно,
чтобы хотя бы один из этих векторов
можно было представить в виде
линейной комбинации остальных.
• Всякие три вектора на плоскости
линейно зависимы.

34.

• Рассмотрим три вектора на плоскости
a, b, c
C
B1
B
A
D
D1

35.

AC AB1 AD1
AB1 1 AB
AD1 2 AD
AC 1 AB 2 AD

36.

• Для того чтобы два вектора были
линейно независимы, необходимо и
достаточно, чтобы они были
неколлинеарны.
• Для того чтобы три вектора в
пространстве были линейно
независимы, необходимо и достаточно,
чтобы они были некомпланарны.

37.

• Максимальное число линейно
независимых векторов на плоскости
равно двум.
• Максимальное число линейно
независимых векторов в пространстве
равно трём.

38. Базис на плоскости и в пространстве

39.

• Базисом на плоскости называют
два любых линейно независимых
вектора.
Т. Разложение любого вектора
на плоскости по базису b, c
является единственным
a

40.

• Базисом в пространстве называют
три любых линейно независимых
вектора.
Т. Разложение любого вектора a
в пространстве по базису b, c, d
является единственным

41. Прямоугольный декартовый базис

42.

Z
i j k,
i j k 1.
i
k
Y
j
X

43.

Z
k
A
a
Y
O
i
X
j

44.

Z
D
A
k
i
X
B
Y
a
O
j
C
E

45.

OA OB BE EA
OA OB OD OC
OB прox a i
прox a a x
OC прoy a j
прoy a a y
OD прoz a k
прoz a a z
a ax i a y j az k

46. Линейные операции над векторами в координатной форме

47.

• Пусть
a ax i a y j az k
b b x i b y j bz k
тогда:
1) a b (a x
2)
bx ) i ( a y b y ) j ( a z bz ) k
a a x i a y j a z k
ax a y az
3) a || b
bx b y bz
4)
a a a a
2
x
2
y
2
z

48.

A x1 ; y1 ; z1
B x2 ; y 2 ; z 2
AB x2 x1 i y 2 y1 j z 2 z1 k
AB
x
x1 y 2 y1 z 2 z1
2
2
2
2

49. Направляющие косинусы

50.

Z
M
a
))
O
X
Y

51.

• Пусть дан вектор
a ax i a y j az k
a x прox a a cos
a y прoy a a cos
a z прoz a a cos

52.

ax
cos
a
cos
ay
a
az
cos
a

53.

2
2
2
cos cos cos 1

54. Координаты единичного вектора

a 0 cos , cos , cos ,

55. Пример

Найти косинусы углов, которые, вектор AB составляет с
осями координат, если А (1,2,3) и В (2,4,5).
Решение.
AB 2 1;4 2;5 3 1;2;2 ,
AB 12 22 22 3,
тогда
1
2
2
cos , cos , cos
3
3
3

56. Деление отрезка в данном отношении

57.

A2
M
A1

58.

A1 x1 ; y1 ; z1
A2 x2 ; y 2 ; z 2
M x; y; z
A1 M
MA2

59.

x1 x 2
x
1
y1 y 2
y
1
z1 z 2
z
1

60.

• Если
1,
т.е.
A1 M MA2
x
1 x2
x
2
y1 y2
y
2
z
1 z2
z
2
, то

61. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов
называется
произведение
их
модулей на косинус угла между
ними.

62.

a b a b cos

63. Условие перпендикулярности векторов

a b a b 0

64.

a b a прa b
a b b прb a

65. Проекция вектора на вектор

a b
прb a
b

66. Угол между векторами

cos
a b
a b
x1 x2 y1 y 2 z1 z 2
.
2
x y z x y z2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2

67. Физический смысл скалярного произведения

Работа постоянной силы на
прямолинейном участке пути равна
скалярному произведению вектора
силы на вектор перемещения.

68. Физический смысл скалярного произведения

F
l
A F l

69. Свойства скалярного произведения

1) a b b a
2) (a b) ( a) b a ( b)

70.

2
3) a a
a
2
a
2

71.

• Пусть даны два вектора
a ax i a y j az k
b bx i b y j b z k

72.

Найдем скалярное произведение этих
векторов
(ax i a y j az k ) (bx i by j bz k )
= a x bx
a y by az bz
2
2
i i i i 1
2
2
2
2
j j j j 1
k k k k 1
i j 0
j k 0
i k 0

73. Пример

Дан вектор
угол
c 2a 3b , причем a 4
между векторами
Найти модуль вектора
c.
a
и
b
равен
,
b 5
60 0.
,

74.

Решение
с
a a
2a 3b
2
2
с
2
2
4a 12a b 9b .
2
4 16
2
2
2
b b 5 25,
a b a b cos 4 5 cos 60
то
2
c
4 16 12 10 9 25
2
0
10,
409 .

75. Векторное произведение векторов

76.

• Векторным произведением вектора a
на вектор b наз. вектор c a b,
удовлетворяющий следующим условиям:
1)
2)
c a b sin
c
a
c
b
3)векторы образуют правую тройку

77. Понятие «правой» тройки векторов

a , b, c
Тройку векторов
называют правой, если
направление вектора c таково, что, смотря из его конца
вдоль вектора, кратчайший поворот от вектора
a
к вектору b будет виден против движения часовой
стрелки.
с
a , b, с
b
- правая тройка
a

78. Обозначение векторного произведения векторов

c
c a b
b
a

79. Свойства векторного произведения

a b b a
a b 0 a 0
или
b 0 или a b
a a 0

80. Свойства векторного произведения

( a b) c a c b c
( a b ) ( a ) b a ( b )

81. Физический смысл векторного произведения

F
O
M

82. Физический смысл векторного произведения

Если F – сила, приложенная к точке М,
то момент этой силы относительно точки
О равен векторному произведению
векторов F и OM .

83. Векторные произведения координатных векторов

k
j
i
i j k,
j i k ,
k i j,
i k j,
j k i.
k j i.

84.

a b ax i a y j az k bx i by j bz k
axbx i i axby i j axbz i k a ybx j i
a yby j j a ybz j k az bx k i az by k j
az bz k k

85.

axby k axbz j a y bx k a y bz i az bx j az by i
a y bz az by i axbz az bx j axby a y bx k
ay
by
az
ax
i
bz
bx
ax
az
j
bx
bz
ay
k
by

86. Векторное произведение в координатной форме

i
a b ax
bx
j
k
ay
az
by
bz

87. Пример

Найти векторное произведение векторов
a 2i 3 j k ,
b 3i j 4k .
Решение
i
a b 2
k
3 1
1
i
1 4
3 1 4
2
1
3 4
j
3
j
2
3
3 1
k 13i 5 j 11k .

88.

B
a
A
b
C
S a b sin

89. Площадь параллелограмма

S пар a b

90. Площадь треугольника

1
S a b
2

91. Пример

Найти
2a 3b a 2b ,
если
Решение
a 2, b 1, 900.
2a 3b a 2b
2 a a 3 b a 4 a b 6 b b
7 b a 7 b a sin
7 1 2 sin 90 14.
0

92. Смешанное произведение

Смешанным произведением трёх
векторов называется произведение
вида :
( a b) c

93.

a b
ay
by
az
ax
i
bz
bx
ax
az
j
bx
bz
ay
by
k
c cx i c y j cz k
ay
abc
by
az
ax
cx
bz
bx
ax
az
cy
bx
bz
ay
cz
by

94. Смешанное произведение

ax a y az
abc b x b y b z
cx c y cz

95. Компланарные векторы

Три вектора называются компланарными, если
они лежат в одной или параллельных плоскостях.
p
a
n
b
c
a, b, c компланарн ы,
m
m, n, p некомплана рны.

96. Условие компланарности трёх векторов

Если
a, b, c
компланарны, то
ax
bx
ay
by
az
bz 0.
cx
cy
cz
Элементами определителя являются координаты
векторов
a , b, c

97.

c
a
b

98. Объём параллелепипеда

V abc

99. Объём тетраэдра

Vтет
1
abc
6