Векторное произведение векторов

1. Векторное произведение векторов

2.

Векторным произведением вектора a
на вектор b наз. вектор c a b,
удовлетворяющий следующим условиям:
1)
c a b sin
2) c
a
c
b
3)векторы образуют правую тройку

3. Понятие «правой» тройки векторов

a, b , c
Тройку векторов
называют правой, если
направление вектора c таково, что, смотря из его конца
вдоль вектора, кратчайший поворот от вектора
a
к вектору b будет виден против движения часовой
стрелки.
с
b
a, b, с - правая тройка
a

4. Обозначение векторного произведения векторов

c
c a b
b
a

5. Физический смысл векторного произведения

Если F – сила, приложенная к точке М,
то момент этой силы относительно точки
О равен векторному произведению
векторов F и OM .

6. Физический смысл векторного произведения

F
O
M

7. Пример

Найти векторное произведение векторов
a 2i 3 j k ,
b 3i j 4 k .
Решение
i
j
k
3 1
a b 2 3 1
i
1 4
3 1 4
2 1
2 3
j
k 13i 5 j 11k .
3 4
3 1

8. Векторные произведения координатных векторов

k
j
i
i j k,
j i k ,
k i j,
i k j,
j k i.
k j i.

9. Векторное произведение в координатной форме

i
j
k
a b ax ay
bx by
az
bz

10. Площадь параллелограмма

Sпар a b

11. Площадь треугольника

1
S a b
2

12. Свойства векторного произведения

a b b a
a b 0 a 0 или b 0 или a b
a a 0

13. Свойства векторного произведения

( a b) c a c b c
(a b) ( a) b a ( b)

14. Пример

Найти
2a 3b a 2b ,
0
a
2
,
b
1
,
90
.
если
Решение
2a 3b a 2b
2 a a 3 b a 4 a b 6 b b
7 b a 7 b a sin
7 1 2 sin 90 14 .
0

15. Смешанное произведение

Смешанным произведением трёх
векторов называется произведение
вида :
( a b) c

16. Смешанное произведение

ax ay az
a bc b x b y b z
cx c y cz

17. Компланарные векторы

Три вектора называются
компланарными, если они лежат в
одной или параллельных плоскостях.
p
a b
n
c
a, b, c компланарн ы,
m
m, n, p некомплана рны.

18. Условие компланарности трёх векторов

Если
a , b, c
компланарны, то
ax
bx
cx
ay
by
cy
az
bz 0.
cz
Элементами определителя являются координаты
векторов
a , b, c

19. Объём параллелепипеда

V abc

20. Объём тетраэдра

1
Vтет abc
6