Действия с векторами

1.

ДЕЙСТВИЯ
С
ВЕКТОРАМИ

2.

Что такое «вектор»?
AB
B
конец
A
начало
Направленный отрезок
(вектор)

3.

Модуль вектора
B
AB
A
AB
Длина вектора

4.

Коллинеарные векторы
f
b
a
M
c
d

5.

Сонаправленные
векторы
с
a
b
a
b
b
с

6.

Противоположно
направленные векторы
a
b
a
b

7.

Равные векторы
с
a
b
a
b
b
с
&
a = b
b = c

8.

Сложение
Правило треугольника
b
B
a
b1
A
a+b
C
параллельный
перенос

9.

Сложение
Правило параллелограмма
B
a
b1 диагональ
a+b
A
C
b
a1
D

10.

Вычитание
B
A
a
b1
b
a-b
C

11.

Вычитание
C
a
-b
a-b
b
-b
a
A
B
a+(-b)=a-b

12.

Переместительный закон
сложения
a
a+b
=
b
b+a
12

13.

Сочетательный закон
сложения
a
(a + b)+c
b
=
a +(b+c)
c
13

14.

Умножение
c=k∙a
a
Например: k=3
c=3∙a
с

15.

Умножение
c=ak
a
Например: k=-½
c
c=a∙(-½)

16.

Пример №1
1
х 2а 3b c
2
с
2a
½с
-3b
x
b
a
-b
½с

17.

Пример №2
1
х а 3b c
2
b
с
a
-с
x
½a
3b
½a
-с

18. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

* Разложение
вектора по двум
неколлинеарным
векторам

19. Лемма: Если векторы а и b коллинеарны и а  0, то существует такое число k, что b = ka

*
Лемма:
Доказательство:
b
b
1) a b . Возьмём число k
a
; т.к. k 0,
ka
a
то векторы
k a и b сонаправлены. Кроме
того их длины равны k a k a
b
a
Поэтому
b k a
a b.

20.

b
a
ka
b
2) a b .Возьмём число k
, т.к. k 0, то векторы
a
k a и b снова сонаправлены. Их длины также равны
ka k a
b
a
a b Поэтому b k a

21.

Пусть а и b – данные вектора. Вектор p=ха + уb ,
х и у – некоторые числа ,то говорят р разложен по
векторам а и b . х и у – коэффициенты разложения.
y
b
p
a
j
0
i
x

22.

Теорема: Любой вектор
можно разложить по двум
данным неколлинеарным
векторам, причём
коэффициенты разложения
определяются единственным
образом.

23.

Доказательство: Пусть а и b - неколлинеарные
векторы. Докажем , что любой вектор р можно
разложить по векторам а и b.
1. Пусть р коллинеарен b .
Тогда р = уb , где у – некоторое число
р = 0· а + у·b ,т.е. р разложен по векторам
а иb.

24. Координаты вектора

*Координаты вектора
p x; y
y
ð
j
0
i
p x i y j
В
А
x

25.

y
a 7 i 3 j
a 7; 3
a
j
0
i
x

26.

y
a 4 i 2 j
a
a 4; 2
a
j
0
i
x

27.

y
a 4 i 3 j
a
j
0
i
a
x
a 4; 3

28.

* 10. Каждая
координата суммы двух или более
векторов равна сумме соответствующих координат
этих векторов. а¯+b¯=(х₁+х₂)i¯ + (у₁+у₂)j¯
* 20.
Каждая координата разности двух векторов равна
разности соответствующих координат этих векторов.
а¯-b¯=(х₁-х₂)i¯ + (у₁-у₂)j¯
* 30.
Каждая координата произведения вектора на
число равна произведению соответствующей
координаты вектора на это число. ка¯ =кхi¯ +куj¯

29.

Самостоятельная работа. Вариант 1
1. Чему равны координаты вектора à i 3 j
2. Запишите разложение вектора d 4;2 по
координатным векторам i и j .
3. Даны два вектора à 2;3 , b 1;1 :
1) найдите координаты вектора à b , а b
4. Найдите координаты вектора ñ 3à 2b , если
à 1;3 , b 2;7 .
5. Запишите координаты векторов и их
разложение по векторам i и j