2.86M

Category: $mathematics$ mathematics

Компланарные векторы. Правило параллелепипеда

1.

Компланарные
векторы.
Правило
параллелепипеда

Векторы называются компланарными, если при
откладывании их от одной и той же точки они будут
лежать в одной плоскости.
Другими словами, векторы называются
компланарными, если имеются равные им векторы,
лежащие в одной плоскости.
c
a
Любые два вектора
компланарны.
2

3.

Три вектора, среди которых имеются два
коллинеарных, также компланарны.
k
c
a
3

4.

Являются ли векторы AD, А1С1 и D1B компланарными?
D1
A1
C1
Векторы А1D1, A1C1 лежат в
плоскости А1D1C1.
B1
Вектор D1В не лежит в этой
плоскости.
D
C
A
B
Векторы AD, А1С1 и D1B не компланарны.
6

5.

№355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Компланарны ли векторы?
АА1, СС1, ВВ1
Три вектора, среди которых имеются
два коллинеарных, компланарны.
В1
С1
А1
D1
В
А
С
D
8

6.

№355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Компланарны ли векторы?
АВ, АD, АА1
Векторы АВ, АD и АА1 не компланарны, так
как вектор АА1 не лежит в плоскости АВС.
В1
С1
А1
D1
В
А
С
D
9

7.

№355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Компланарны ли векторы?
В1В, АС, DD1
Три вектора, среди которых имеются
два коллинеарных, компланарны.
В1
С1
А1
D1
В
А
С
D
10

8.

№355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Компланарны ли векторы?
АD, CC1, А1B1 Векторы АВ, АD и АА1 не компланарны, так
как вектор АА1 не лежит в плоскости АВС.
В1
С1
А1
D1
Векторы АD, CC1, А1B1
не компланарны
В
А
С
D

9.

Любые два вектора компланарны.
Три вектора, среди которых имеются два
коллинеарных, также компланарны.
Признак компланарности
c можно разложить по векторам
a и b , т.е. представить в виде c = xa + yb
где x и y – некоторые числа, то векторы a, b и c
Если вектор
компланарны.
12

10.

С
c = xa + yb
a
В1
Докажем, что
векторы
компланарны.
А1
В
О
c
b
А
Векторы ОА и ОВ лежат в одной плоскости ОАВ.
ОА1 = х ОА
ОВ1 = у ОВ
Векторы ОА1 и ОВ1 также лежат плоскости ОАВ.
А следовательно, и их сумма – вектор ОС = х ОА + у ОВ,
13
равный вектору .
c

11.

Справедливо и обратное утверждение.
Признак компланарности
ca b c
Если векторы ,
и
компланарны, а векторы
Если вектор
можно разложить по векторам
a
коллинеарны, то вектор cc =
можно
a ии b
xa + yb
b не, т.е.
представить в виде
разложить по векторам a и
где x и y – некоторые числа, то b
векторы a, b и c
c = xa + yb , причем
компланарны.
коэффициенты разложения определяются
единственным образом.
14

12.

П
О
В
Т
О
Р
И
М
Сложение векторов.
Правило треугольника.
АВ + ВС = АС
a+b
b
a
b
a
15

13.

Сложение векторов. Правило параллелограмма.
П
О
В
Т
О
Р
И
М
АВ + АD = АС
a+b
В
b
b
a+b
А
C
a
a
D
16

14.

Сложение векторов.
Правило многоугольника.
П
О
В
Т
О
Р
И
М
АВ + ВС + СD + DO = АO
n
m
a
m
c
c
n
a
17

15.

Правило параллелепипеда. OA + OB + OC = OD
из OED
из OAE
OD = OE + ED = (OA + AE) + ED = OA + OB + OC =
D
=a+b+c
В1
С
c
Е
A
В
О
a
b

16.

Разложение вектора по трем некомпланарным
векторам. Если вектор представлен в виде
p = xa + yb + zc
x , y и z - некоторые числа, то говорят, что вектор p
разложен по векторам a , b и c . Числа x , y и z
где
называются коэффициентами разложения.
Теорема о разложении вектора по трем
некомпланарным векорам.
Любой вектор можно разложить по трем данным
некомпланарным векторам, причем коэффициенты
разложения определяются единственным образом.
19

17.

По правилу многоугольника ОР = ОР2 + Р2Р1 + Р1Р
Докажем,
что любой вектор можно представить в виде
ОР
2 = x OA
ОР = x OA + y OB + z OC
Р2Р1= у OВ
p = xa + yb + zc
p
p = xa + yb + zc
Р1Р = z OC
a
P
b
c
C
p
B
P1
P2
O
a
A
20

18.

Докажем теперь, что коэффициенты разложения
определяются единственным образом. Допустим, что это
не так и существует другое разложение вектора
–
p = xa
x1a++yb
y1b+ +zcz1c
Это равенство выполняется
только тогда,
когда
o = (x – x1)a + (y – y1)b + (z – z1)c
Если предположить, например, что z z1 0, то из этого
o
o
o
x x1 y y1
a
b
равенства можно найти с
z z1
z z1
Тогда векторы a , b и c компланарны. Это противоречит
условию теоремы. Значит, наше предположение не верно,
и x x1 , y y1 , z z1. Следовательно,
коэффициенты
разложения p xa yb zc определяются
единственным образом.
21

19.

№358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов:
АВ + АD + АА1 = AC1
D1
A1
C1
B1
D
A
С
В
22

20.

№358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов:
DА + DC + DD1 = DB1
D1
A1
C1
B1
D
A
С
В
23

21.

№358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов:
A1B1 + C1B1 + BB1
D1
A1
C1
B1
D
A
DC + DA + DD1 = DB1
С
В
24

22.

№358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов:
A1A + A1D1 + AB
D1
A1
C1
B1
D
A
A1A + A1D1 + A1B1 = A1C
С
В
25

23.

№358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов:
B1A1 + BB1 + BC
D1
A1
C1
BB1 + BC
B1
D
A
BA +
С
В
26
= BD1

24.

№359 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Разложите вектор BD1 по векторам BA, ВС и ВВ1.
По правилу параллелепипеда ВD1 = BA + BC + BB1
D1
A1
C1
B1
D
A
С
В
27

25.

№359 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Разложите вектор B1D1 по векторам А1A, А1В и А1D1.
По правилу треугольника из А1В1D1:
D1
A1
C1
В1D1 = B1A1+ А1D1 =
из А1В1B
B1
= (В1B + BA1)+ А1D1 =
= (A1A – A1B)+ А1D1 =
D
A
С
В
= A1A – A1B+ А1D1

26.

Правило параллелепипеда
a
c
b
Пусть даны некоторые
некомпланарные векторы
a , b, c

27.

Правило параллелепипеда
С
Отложим от некоторой
точки О пространства
векторы ОА=a , ОВ=b,
ОС=c и построим паралле-
c
В
О
А
b
a
лепипед так, чтобы
отрезки ОА,ОВ,ОС
были его рёбрами.

28.

Правило параллелепипеда
D
Диагональ OD этого
С
параллелепипеда изображает сумму векторов
a ,b ,иc
c
О
А
b
a

29.

Правило параллелепипеда
D
OD=a + b +c .
С
Действительно,
OD=OE + ED=(OA +AE)+
+ ED= OA+ 0B + OC =
= a +b +c
В
О
Е
А

30.

Решение задач
№ 379 Дан тетраэдр АВСD. Найдите сумму
векторов:
а) АВ+ВD+DC
A
D
B
C

31.

Решение задач
№ 379 Дан тетраэдр АВСD. Найдите сумму
векторов:
а) АВ+ВD+DC
A Решение.
AB+BD= AD, AD+DC=AC
D
B
C
Ответ: АС

32.

Решение задач
№ 379 Дан тетраэдр АВСD. Найдите сумму
векторов:
б) АD+CВ+DC
A
D
B
C

33.

Решение задач
№ 379 Дан тетраэдр АВСD. Найдите сумму
векторов:
б) АD+CВ+DC
A Решение.
AD+DC= AC, AC+CB=AB
D
B
C
Ответ: АB

34.

Решение задач
№ 379 Дан тетраэдр АВСD. Найдите сумму
векторов:
в) АB+CD+BC+DA
A
D
B
C

35.

Решение задач
№ 379 Дан тетраэдр АВСD. Найдите сумму
векторов:
в) АB+CD+BC+DA
A Решение.
AB+BC= AC, AC+CD=AD, AD+DA=0
D
B
C
Ответ:
0

36.

Решение задач
№ 358. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов :
а) AB+AD+A А1
С1
B1
А1
D1
B
А
С
D

37.

38.

Решение задач
№ 358. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов :
б) DA+DC+D D1
С1
B1
А1
D1
B
А
С
D

39.

40.

Решение задач
№ 358. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов :
в) А1B1+С1B1 +ВВ1
С1
B1
А1
D1
B
А
С
D

41.

42.

Решение задач
№ 358. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов :
г) А1А+A1D1 +AВ
С1
B1
А1
D1
B
А
С
D

43.

44.

Решение задач
№ 358. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов :
д) B1А 1 +BB1 +BC
С1
B1
А1
D1
B
А
С
D

45.

46.

Решение задач
№ 380. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Найдите сумму
векторов :
а) АB +B1C1 +DD1+CD
С1
B1
А1
D1
B
А
С
D

47.

Решение задач
№ 380. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Найдите сумму
векторов :
а) АB +B1C1 +DD1+CD
С1
B1
А1
D1
Решение
AB +B1C1 = AB +BC = AC
AC + CD + DD1 = AD1
B
А
С
D
Ответ : AD1

48.

Решение задач
№ 380. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Найдите сумму
векторов :
б) B1C1 + АB + DD1+CB1+ BC + AA1
С1
B1
А1
D1
B
А
С
D

49.

Решение задач
№ 380. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Найдите сумму
векторов :
б) B1C1 + АB + DD1+CB1+ BC + AA1
С1
B1
А1
D1
AB +B1C1 = AB +BC = AC
AC + CB1 = AB1
BC + AA1 = BA1 ; AB1 + BA1 = AC1
С
Ответ : AС1
B
А
Решение
D

50.

Решение задач
№ 380. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Найдите сумму
векторов :
в) BА + АC + CB+DC + DA
С1
B1
А1
D1
B
А
С
D

51.

Решение задач
№ 380. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Найдите сумму
векторов :
в) BА + АC + CB+DC + DA
С1
B1
А1
D1
Решение
DC+DA+BA +AC + CB = DB
B
А
С
D
Ответ : DB

52.

Решение задач
№ 384 Точки А1, B1, С1 – середины сторон ВС, АС и АВ
треугольника АВС, точка О- произвольная точка
пространства. Докажите , что ОА1 +ОВ1+ОС1=ОА+ОВ+ОС
В
С1
А
А1
В1
С

53.

Решение задач
№ 384 Точки А1, B1, С1 – середины сторон ВС, АС и АВ
треугольника АВС, точка О- произвольная точка
пространства. Докажите , что ОА1 +ОВ1+ОС1=ОА+ОВ+ОС
В
С1
А
Доказательство ОС+СА1 =ОА1 ; ОА1 +А1В=ОВ;
СА1+А1В=1/2СВ, значит ОС - ОА1=ОА1-ОВ
отсюда следует, что ОС+ОВ=2ОА1
Аналогично, ОС+ОА=2ОВ1 и ОВ+ОА=2ОС1
А1 Складывая почленно три полученные
равенства, получим равенство,
которое необходимо доказать.
В1
С

English Русский Rules