Компланарные векторы. Правило параллелепипеда

1.

Компланарные
векторы.
Правило
параллелепипеда

2.

Векторы
компланарными,
если при
Другиминазываются
словами, векторы
называются
Определение
компланарных
векторов
откладывании
их
от
одной
и
той
же
точки они
компланарными, если имеются равные
им будут
лежать
в одной
плоскости.
векторы,
лежащие
в одной плоскости.
Любые два вектора компланарны.
c
a

3.

Вывод:
k
Три вектора, среди которых имеются
Компланарность трёх векторов
два коллинеарных, также компланарны.
c
a

4.

На рисунке изображен параллелепипед.
Являются ли векторы ВВ1,
ОD и ОЕ компланарными?
B1
D
Да, векторы
ВВ1,
ОD и ОЕ
компланарны
C
Е
В
О
А

5.

На рисунке изображен параллелепипед.
Являются ли векторы
ОА, ОВ и ОС
B1
компланарными?
D
ВЫВОД:
Векторы ОА, ОВ и ОС не
Три
произвольных
вектора
компланарны,
так как
вектор
могут быть как
ОС не лежит в плоскости ОАВ.
компланарными, так и не
компланарными.
C
Е
В
О
А

6.

Являются ли векторы AD, А1С1 и D1B компланарными?
D1
A1
C1
B1
Вектор D1В не лежит в этой
плоскости.
D
C
A
B
Векторы А1D1, A1C1 лежат в
плоскости А1D1C1.
Векторы AD, А1С1 и D1B
не компланарны.

7.

Являются ли векторы AD и D1B компланарными?
Любые два вектора компланарны.
D1
A1
C1
B1
D
C
A
B

8.

№355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Компланарны ли векторы?
Три вектора, среди которых
имеются
два коллинеарных, компланарны.
а) АА1, СС1, ВВ1
В1
С1
А1
D1
В
А
С
D

9.

№355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Компланарны ли векторы?
Векторы АВ, АD и АА1
не компланарны,
так как вектор АА1
не лежит в плоскости АВС
С1
б) АВ, АD, АА1
В1
А1
D1
В
А
С
D

10.

Сделаем выводы:
Любые два вектора компланарны
Три вектора, среди которых имеются два
коллинеарных, также компланарны.
В решении вопроса о компланарности трёх
векторов применим признак компланарности

11.

С
c = xa + yb
a
В1
Докажем, что
векторы
компланарны.
А1
В
c
b
А
О
Векторы ОА и ОВ лежат в одной плоскости ОАВ.
ОА1 = х ОА
ОВ1 = у ОВ
Векторы ОА1 и ОВ1 также лежат плоскости ОАВ.
А следовательно, и их сумма – вектор ОС = х ОА + у ОВ,
равный вектору
c

12.

Справедливо и обратное утверждение.
Признак компланарности
ca b c
Если векторы ,
и
компланарны, а векторы
Если вектор
можно разложить по векторам
a
a ии b
b
cc =можно
xa + yb
разложить по векторам a и
где x и y – некоторые числа, то b
векторы a, b и c
c = xa + yb , причем
компланарны.
не коллинеарны, то вектор
, т.е. представить в виде
коэффициенты разложения определяются
единственным образом.

13.

П
О
В
Т
О
Р
И
М
Сложение векторов.
Правило треугольника.
АВ + ВС = АС
a+b
b
a
b
a

14.

Сложение векторов. Правило параллелограмма.
П
О
В
Т
О
Р
И
М
АВ + АD = АС
a+b
В
b
b
a+b
А
a
a
D
C

15.

Сложение векторов.
Правило многоугольника.
П
О
В
Т
О
Р
И
М
АВ + ВС + СD + DO = АO
n
m
a
m
c
c
a
n

16.

Правило параллелепипеда.
из Δ OED
OA + OB + OC == OD
из Δ OAE
OD = OE + ED = (OA + AE) + ED = OA + OB + OC =
D
=a+b+c
В1
С
c
Е
A
В
О
a
b

17.

№358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов:
АВ + АD + АА1= AC1
D1
A1
C1
B1
D
A
С
В

18.

№358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов:
DА + DC + DD1 = DB1
D1
A1
C1
B1
D
A
С
В

19.

№358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов:
A1B1 + C1B1 + BB1
D1
A1
C1
B1
D
A
С
В
DC + DA + DD1 = DB1

20.

№358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов:
A1A + A1D1 + AB
D1
A1
C1
B1
D
A
С
В
A1A + A1D1 + A1B1 = A1C

21.

№358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов:
B1A1 + BB1 + BC
D1
A1
C1
B1
D
A
С
В
BA +
BB1 + BC
= BD1

22.

№359 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Разложите вектор BD1 по векторам BA, ВС и ВВ1.
По правилу параллелепипеда
D1
A1
C1
B1
D
A
С
В
ВD1 = BA + BC + BB1

23.

№359 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Разложите вектор B1D1 по векторам А1A, А1В и А1D1.
По правилу треугольника из А1В1D1:
D1
A1
C1
В1D1 = B1A1+ А1D1 =
из Δ А1В1B
B1
= (В1B + BA1)+ А1D1 =
= (A1A – A1B)+ А1D1 =
D
A
С
В
= A1A – A1B+ А1D1