Компланарные векторы. Правило параллелепипеда (1)

1. Тема урока: Компланарные векторы. Правило параллелепипеда.

2. Цели урока:

- усвоить определение компланарных
векторов;
- рассмотреть признак компланарности
трёх векторов;
- рассмотреть правило параллелепипеда
сложения трёх некомпланарных векторов;
- научиться применять полученные знания
при решении задач.

3. Определение

Векторы называются компланарными,
если при откладывании от одной и той же
точки они будут лежать в одной плоскости.
Иначе: векторы называются
компланарными, если имеются равные им
векторы, лежащие в одной плоскости.

4. Устно

№ 355
B1
C1
A1
D1
B
A
C
D

5. Признак компланарности трёх векторов

Если вектор с можно представить в виде с х а у b,
где х и у некоторые числа, то векторы a, b и с компланарны.
Дано : а, b, с
а
b
с x a y b .
Доказать : а, b, с компланарны

6.

Доказатель ство .
Пусть a и b неколлинеа рны .
Отложим от некоторой точки пространст ва О
а
векторы ОА a и ОВ b .
b
Векторы ОА и ОВ лежат в плоскости ОАВ .
В1
ОС х а у b
а
А
А1
Построим векторы х а и у b .
Для определенн ости будем считать
В
b
О
С
что х 0 , y 0. ОА1 х а и ОВ1 y b .
Векторы ОА1 и ОВ1 также лежат в плоскости ОАВ .
Их сумма вектор ОС х ОА у ОВ , равный вектору с , лежит
в плоскости ОАВ .

7.

Итак , векторы ОА а , ОВ b , ОС c лежат в одной плоскости ,
т. е. векторы а, b, c компланарны.
№ 356
Дано : АВСD тетраэдр
Е середина АС ,
F середина BD .
D
F
B
Доказать : 2 FE ВА DC .
A
E
C
Компланарны ли векторы FE , BA и DC?

8. Правило параллелепипеда

Для сложения трех некомпланарных векторов можно
пользоваться так называемым правилом параллелепипеда.
B1
D
A1
С
В
Е
b
О
а
А
а b c
OA OB OC
c
OE OC OD

9.

10. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.

11.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если вектор p представлен в виде:
p xa yb zc
где x, y, z – некоторые числа, то говорят,
что
вектор p разложен по векторам a , b и c .
Числа x, y, z называются коэффициентами
разложения.

12.

Теорема. Любой вектор можно разложить по трем данным
некомпланарным векторам, причем коэффициенты
разложения определяются единственным образом.
Доказательство.
Ïóñòü a, b, c - некомпланарные векторы.
Докажем , что p xa yb zc
(1)
Отметим произвольную точку О и отложим
OA a , OB b , OC c , OP p
P
С
p
c
По правилу многоугольника
В
b
О
(2)
P1
P2
а
А
OP OP2 P2 P1 P1 P
(3)

13.

Векторы OP 2 и OA , P2P1 и ОВ, Р1Р и ОС
коллинеарны, поэтому существуют числа х, у,
z такие, что ОР 2 х ОА, Р2 Р1 y OB, P1P z OC .
Подставив эти выражения, получим
OP y OA y OB z OC
Допустим , что p x1a y1b z1c
0 ( x x1)a ( y y1)b ( z z1)c
P
С
p
c
х-х1=0, у-y1=0, z-z1=0
В
b
О
P1
P2
а
А
Предположим, что z-z1 0
x x1 y y1
с
a
b
z z1
z z1
х=х1, у=y1, z=z1