Векторы в пространстве. Понятие вектора в пространстве

1. Содержание

1.
2.
3.
4.
5.
6.
Понятие вектора в пространстве.
1.
2.
Понятие вектора
Равенство векторов
1.
2.
3.
Сложение и вычитание векторов
Сумма нескольких векторов
Умножение вектора на число
1.
2.
Компланарные векторы
Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
1.
2.
3.
4.
Прямоугольная система координат в пространстве
Координаты вектора
Связь между координатами векторов и координатами точек
Простейшие задачи в координатах
1.
2.
Скалярное произведение векторов
Вычисление углов между прямыми и плоскостями
Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.
Компланарные векторы
Координаты точки и координаты вектора.
Скалярное произведение векторов
Список использованной литературы

2. Понятие вектора

Отрезок, для которого указано, какой из его
концов считается началом, а какой –
концом, называется вектором
B
D
A
C

3. Понятие вектора

Любая точка пространства также
может рассматриваться как вектор.
Такой вектор называют нулевым.
B
D
A
T
C

4. Понятие вектора

Длиной ненулевого вектора AB
называется длина отрезка AB.
Длина вектора AB обозначается так:
|AB| или |a|

5. Понятие вектора

Два ненулевых вектора называются
коллинеарными, если они лежат на
одной прямой или на параллельных
прямых.
Если векторы коллинеарные и при этом их
лучи совпадают, то такие векторы
называют сонаправлеными, а если не
совпадают – противоположно
направленными.

6. Понятие вектора

Примеры:
e
a
f
b
a
c
b
c
e
f
d
d
-Ни сонаправленные, ни противоположно направленные,
- так как не коллинеарны

7. Равенство векторов

Векторы называются равными, если
они сонаправлены и их длины
равны.
N
E
K
M
C
A
D
B
AD
EK
AE
DK
EN
DB

8. Равенство векторов

Если точка А – начало вектора а, то
говорят, что вектор а отложен от
точки А.
От любой точки можно отложить
вектор, равный данному и
притом только один.
a
N
M

9. Сложение и вычитание векторов

Правило треугольника:
B
a
b
А
c
C
AC = a + b

10. Сложение и вычитание векторов

a
a
b
b
a + b
a + b

11. Сложение и вычитание векторов

Для любых векторов a, b и c
справедливы равенства:
a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)

12. Сложение и вычитание векторов

Разностью векторов a и b называется
такой вектор, сумма которого с
вектором b равна вектору a.
Иными словами: a-b=a+(-b)
b
a
a - b

13. Сумма нескольких векторов

Сумма нескольких векторов не
зависит от того, в каком порядке
они складываются.
C
ОС=a+b+c
c
А
О
b
B
a

14. Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора а на
число k называется такой вектор b, длина
которого равна |k| * |a|, причем векторы
a и b сонаправлены при k ≥ 0 и
противоположно направлены при k < 0.
Произведением нулевого вектора на любое
число считается нулевой вектор

15. Умножение вектора на число

Для любых векторов a, b и любых
чисел k, l справедливы равенства:
(kl)a=k(la)
k(a+b)=ka+kb
(k+l)a=ka+la

16. Компланарные векторы

Векторы называются компланарными,
если при откладывании их от одной
и той же они будут лежать в одной
плоскости.
B1
D
C
c
E
B
A
O
a
b
BB1, OD и OE компланарны,
так как если отложить от точки О
Вектор, равный BB1, то получится
Вектор ОС, а векторы OC, OD и ОЕ
Лежат в одной плоскости ОСЕ

17. Компланарные векторы

Если вектор с можно разложить по
векторам a и b, т.е. представить в
виде:
c=xa+yb
Где x и у – некоторые числа, то
векторы a, b и с компланарны.
B1
a
B
O
b
C
OB1=yOB
A
A1
OA1=xOA
OC = xOA+yOB

18. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Теорема:
Любой вектор можно разложить
по трем некомпланарным
векторам, причем
коэффициенты разложения
определяются единственным
образом.

19. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Доказательство:
Дано:
a, b и с – некомпланарные векторы, ОА=a, OB=b, OC=c, OP=p
1) Разложим вектор p по правилу многоугольника: OP=OP2 + P2P1 + P1P
2) Векторы коллинеарны, поэтому можно записать так:
OP=x*OA + y*OB + z*OC
P
3) Допустим, что вектор можно разложить
C
еще по трем числам: x1,y1,z1. Тогда,
используя свойство действий над векторами,
p
c
B
получим:
P1
b
4) 0=(x-x1)a + (y-y1)b + (z-z1)c
P2
O
A
a

20. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Это равенство выполняется только
тогда, когда x-x1=0, y-y1=0, z-z1=0.
Отсюда следует:
5)
x x y y
1a
1b
c
z z
z z
1
1
Из этой формулы следует, что векторы a, b и с компланарны. Но
это противоречит условию теоремы. Значит x=x1, y=y1 и z=z1.
Теорема доказана.

21. Координаты точки и координаты вектора

Если через точку пространства проведены
три попарно перпендикулярные прямые,
На каждой из них выбрано направление и
выбрана единица измерения, то говорят,
что задана
прямоугольная система координат
O

22. Координаты точки и координаты вектора

Прямые с выбранными на них
направлениями называют осями
координат.
А их общая точка – началом
координат
z
O
x
y

23. Координаты точки и координаты вектора

Точка О разделяет каждую из осей
координат на два луча. Луч,
направление которого совпадает с
направлением оси, называется
положительной полуосью, а
другой луч – отрицательной
полуосью.
z
O
Отрицательная Положительная
y
x

24. Координаты точки и координаты вектора

z
A
B
D
o
F
C
x
E
y
A (9;5;10)
B (4;-3;6)
C (9;0;0)
D (4;0;5)
E (0;3;0)
F (0;0;-3)

25. Координаты точки и координаты вектора

z
1) Дано: OE {0;0;-3}
OF {0;3;0}
Найти: OE + OF
Решение:
OE + OF = {0;0;-3} + {0;3;0} = {0;3;-3}
2) Дано: OС {9;0;0}
OD {4;0;5}
Найти: OC + OD
A
B
Решение:
OC + OD = {9;0;0} + {4;0;5} = {13;0;5}
D
o
F
C
x
E
3) Дано: OE {0;0;-3}
OD {4;0;5}
y
Найти: OE + OD
Решение:
OE + OD = {0;0;-3} + {4;0;5} = {4;3;5}

26. Координаты точки и координаты вектора

Любой вектор можно разложить по
координатным векторам, т.е.
представить в виде
a=xi+yj+zk
Причем коэффициенты разложения x,
y, z определяются единственным
образом
z
O
i
x
k
j
y

27. Координаты точки и координаты вектора

10 Каждая координата суммы двух или
более векторов равна сумме
соответствующий координат этих
векторов.
20 Каждая координата разности двух
векторов равна разности
соответствующих координат этих
векторов.
30 Каждая координата произведения
вектора на число равна произведению
соответствующей координаты вектора на
это число.

28. Координаты точки и координаты вектора

Дано: a{1;-2;0}, b{0;3;-6}, c{-2;3;1}
1
Найти: p 2a 3 b c
Решение:
1
по правилу 30: 2a{2;-4;0}, b{0;-1;2}
3
По правилу 10 можно вычислить координаты
вектора p.
p{2+0-2;-4-1+3;0+2+1} или p{0;-2;3}

29. Координаты точки и координаты вектора

Вектор, конец которого совпадает с
данной точкой, а начало – с
началом координат, называется
радиус-вектором данной точки.
Докажем, что координаты любой
точки равны соответствующим
координатам её радиус-вектора.

30. Координаты точки и координаты вектора

OM=OM1 + OM2 + OM3
z
M3
OM1=OM1*i=xi
OM2=OM2*j=yj
OM3=OM3*k=zk
OM=xi + yj + zk
OM{x;y;z}
M(x;y;z)
O
M1
x
Что и требовалось доказать.
i
k
M2
j
N
y

31. Координаты точки и координаты вектора

Каждая координата вектора равна
разности соответствующих
координат его конца и начала.

32. Координаты точки и координаты вектора

Координаты середины отрезка:
Дано: A(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2), C(x;y;z)
C-середина AB. Найти координаты С.
z
Решение:
OC=(OA+OB)/2
x=(x1+x2)/2
y=(y1+y2)/2
z=(z1+z2)/2
A (x1;y1;z1)
C (x;y;z)
B (x2;y2;z2)
O
x
y

33. Координаты точки и координаты вектора

Каждая координата середины
отрезка равна полусумме
соответствующих координат его
концов

34. Координаты точки и координаты вектора

Вычисление длины
вектора по его
координатам.
Дано: а{x;y;z}.
Доказать: a x 2 y 2 z 2
z
A3
A
zk
A1
x
O
xi
a
A2
yj
y

35. Координаты точки и координаты вектора

Решение:
OA1=xi
OA2=yj
OA3=zk
z
A3
A
zk
OA=OA1+OA2+OA3=
=xi+yj+zk=a
A1
x
O
xi
a
A2
yj
y

36. Координаты точки и координаты вектора

2
2
OA OA1 OA2 OA3
a
2
z
x y z x2 y2 z 2
2
2
2
A3
A
Что и требовалось доказать.
zk
A1
x
O
xi
a
A2
yj
y

37. Координаты точки и координаты вектора

Расстояние между двумя точками.
Дано: М1(x1;y1;z1), M2(x2;y2;z2)
Решение:
d M1M 2 ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2
Таким образом:
d ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z 2 z1 )
2
2
2

38. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух
векторов называется произведение
их длин на косинус угла между ними.
ab a * b * cos(a b )

39. Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение
ненулевых векторов равно нулю
тогда и только тогда, когда эти
векторы перпендикулярны

40. Скалярное произведение векторов

Скалярный квадрат вектора (т.е.
скалярное произведение
вектора на себя) равен квадрату
его длины.

41. Скалярное произведение векторов

Косинус угла α между ненулевыми
векторами вычисляется по формуле:
cos a
x1 x2 y1 y2 z1 z2
x1 y1 z1 * x2 y2 z2
2
2
2
2
2
2

42. Скалярное произведение векторов

Для любых векторов a, b и с и любого
числа k справедливы равенства:
10 a2 ≥ 0, причем a2 > 0 при a ≠ 0
20 ab=ba
30 (a+b)c=ac+bc
40 k(ab)=(ka)b