Векторы в пространстве

1. Раздел 6. Векторы в пространстве

2.

Вектор(направленный отрезок) –
отрезок, для которого указано какой из его
концов считается началом, а какой – концом.
В
А
AB
a
M
MM 0
AB
Длина вектора
– длина отрезка AB.
AB AB
0 0

3. Коллинеарные векторы

Два ненулевых вектора называются
коллинеарными, если они лежат на одной прямой
или параллельных прямых.
Среди коллинеарных различают:
Сонаправленные векторы
Противоположно направленные векторы

4. Сонаправленные векторы

Сонаправленные векторы - векторы, лежащие
по одну сторону от прямой, проходящей через их
начала.
a
a b
b
Нулевой вектор считается сонаправленным с
любым вектором.

5.

Равные векторы - сонаправленные векторы,
длины которых равны.
a
a b a b, a b
b
От любой точки можно отложить вектор,
равный данному, и притом только один.

6.

Противоположно направленные векторы –
векторы, лежащие по разные стороны от прямой,
проходящей через их начала.
a
b
a b

7.

Противоположные векторы – противоположно
направленные векторы, длины которых равны.
a
a b a b, a b
b
Вектором, противоположным нулевому,
считается нулевой вектор.

8. Признак коллинеарности

Если существует такое число k при котором
выполняется равенство a k b и при том
вектор b 0 , то векторы a и b коллинеарн ы.

9.

Компланарные векторы – векторы, при
откладывании которых от одной и той же точки
пространства, они будут лежать в одной
плоскости.
Пример:
B1
A1
C1
B
А
BB1 , AC,AC 1 компланарн ы, т.к.
D1
C
D
BB1 AA1 , а векторы AA1 , AC , AC1
лежат в плоскости (AA1C)

10.

Любые два вектора всегда компланарны.
α
a
b
a
b
a
b
a и b компланарн ы
Три вектора, среди которых имеются два
коллинеарных, компланарны.
a, b и c
компланарн ы
если
a, b, c
a kb

11. Признак компланарности

Если вектор c можно разложить по векторам
а и b, т.е. представить в виде
с xa yb
где х и у некоторые числа, то векторы a, b
и c компланарн ы.

12. Правило треугольника

Для сложения двух векторов необходимо :
1. отложить от какой нибудь точки А вектор
AB, равный а
2. от точки В отложить вектор BC , равный b
3. вектор AC называется суммой векторов a и b
B
a
a
А
b
a b
b
C

13. Правило треугольника

B
a
А
a b
b
C
Для любых трех точек А, В и С справедливо равенство:
AB BC AC

14. Правило параллелограмма

Для сложения двух векторов необходимо :
1. отложить от какой нибудь точки А
вектор AB, равный а
2. от точки А отложить вектор AC, равный b
3. достроить фигуру до параллелограмма , проведя
дополнительные линии параллельно данным
векторам
4. диагональ параллелограмма сумма векторов
B
a
a
b
А
с
b
с a b
C

15. Свойства сложения

Для любых векторов a , b и c справедливы
равенства :
a b b a
a b с а b с
переместительный закон
сочетательный закон

16. Правило многоугольника

Сумма векторов равна вектору, проведенному
из начала первого в конец последнего(при
последовательном откладывании).
a
B
b
C
A
a b c d e
e
c
E
d
Пример
D
AB BC CD DE AE

17. Правило параллелепипеда

Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда,
равен сумме векторов, проведенных из той же
точки и лежащих на трех измерениях
параллелепипеда.
B
A1
C1
1
d
AB b
D1
с bB
C
А
a
AD a
D
AC1 AD AB AA1
AA1 c
AC1 d

18. Свойства

B1
A1
C1
d
D1
с aB
А
C
b
D
d a b c для любого параллелепипеда
d 2 a 2 b 2 c 2 для прямоуголь ного
параллелепипеда

19. Вычитание

Разностью векторов a и b называется такой
вектор, сумма которого с вектором b равна
вектору .
a

20. Вычитание

Для вычитания одного вектора из другого необходимо :
1. отложить от какой нибудь точки А
вектор AB, равный а
2. от этой же точки А отложить вектор AC,
равный b
3. вектор CB называется разностью векторов a и b
B
a
b
a
a b
A
b
C

21. Правило трех точек

Любой вектор можно представить как разность
двух векторов, проведенных из одной точки.
B
BK AK AB
А
BK
K

22. Сложение с противоположным

Разность векторов
сумму вектора
вектору b .
a
a и b можно представить как
и вектора, противоположного
a b a b
a
B
b
a b
b
O
А
a

23. Умножение вектора на число

Произведением ненулевог о вектора a на число k
называется такой вектор b , длина которог о
равна к а , при чем векторы a и b сонаправле ны
при k 0 и противоположно направлены при k 0.
a
2a
b
1
b
3

24. Свойства

Произведением нулевого вектора на любое
число считается нулевой вектор.
0 n 0
Произведение любого вектора на число
нуль есть нулевой вектор.
n 0 0

25. Свойства

Для любыхвект оровa и b и любых
чисел k, l справедливы равенст ва:
(kl)a k(la )
сочет ат ельный закон
k( a b ) k a k b
1 ый распределит ельный
закон
(k l)a k a l a
2 ой распределит ельный
закон

26. Скалярное произведение

Скалярным произведением двух векторов
называется произведение их длин на косинус угла
между ними.
ab a b cos( a ; b )

27. Справедливые утверждения

скалярное произведение ненулевых векторов
равно нулю тогда и только тогда, когда эти
векторы перпендикулярны
a b 0 a 0 b 0 a b
скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное
произведение вектора на себя) равен квадрату
его длины
2
a
а
2
а
2

28. Вычисление скалярного произведения в координатах

Скалярное произведен ие векторов a x1 ; y1 ; z1
и b x 2 ; y 2 ; z 2 выражается формулой
a b x 1 x 2 y1 y 2 z 1 z 2

29. Свойства скалярного произведения

Для любых векторов a , b и с и любого
числа k справедливы равенства :
2
10. a 0 причем a 0 при a 0
a b ba (переместительный закон)
0
2.
a b c ac bc (распределительный
закон)
30.
k a b k a b (сочетательный закон)
40.

30. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Теорема.
Любой вектор можно разложить по двум
данным неколлинеарным векторам, причем
коэффициенты разложения определяются
единственным образом.

31. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Если вектор p представлен в виде
p xa yb z c
где x, y, z – некоторые числа, то говорят, что вектор
p разложен по векторам a , b и c .
Числа x, y, z называются коэффициентами разложения.
Теорема
Любой вектор можно разложить по трем данным
некомпланарным векторам, причем коэффициенты
разложения определяются единственным образом.

32. Вектор, проведенный в середину отрезка, равен полусумме векторов, проведенных из той же точки в его концы.

С
A
B
O
1
1
1
OC ( OA OB ) OA OB
2
2
2

33. Вектор, проведенный в точку отрезка точкой пересечения С делит отрезок АВ в отношении т : п

Вектор, проведенный в точку отрезка
точкой пересечения С делит отрезок АВ
в отношении т : п.
A
m
Сn
B
O
n
m
OC
OA
OB
m n
m n

34. Вектор, соединяющий середины двух отрезков, равен полусумме векторов, соединяющих их концы

С
N
D
B
С
N
D
B
M
M
A
A
1
1
MN ( AD BC ) ( AC BD )
2
2

35. Вектор, проведенный в точку пересечения диагоналей параллелограмма, равен одной четверти суммы векторов, проведенных из этой

точки в вершины параллелограмма.
O
C
B
M
A
D
1
OM ( OA OB OC OD )
4

36. Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда, равен сумме векторов, лежащих на трех его ребрах, исходящих из одной вершины.

B1
C1
A1
a
A
d
D1
B
C
b
с
D
d a b c

37. Устные вопросы

Справедливо ли утверждение:
а) любые два противоположно направленных
вектора коллинеарны?
б) любые два коллинеарных вектора сонаправлены?
в) любые два равных вектора коллинеарны?
г) любые два сонаправленных вектора равны?
д) если a b, b c, то a c ?
е) существуют векторы a , b и c такие, что a
и c не коллинеарны, b и c не коллинеарны, а a
и b коллинеарны?

38. Ответы

а) ДА
б) НЕТ (могут быть и противоположно
направленными)
в) ДА
г) НЕТ (могут иметь разную длину)
д) ДА
е) ДА