Линейные операции над векторами

1.

Линейные операции над векторами.
Вектором (геометрическим вектором)
называется
a
множество всех направленных отрезков, имеющих одинаковую
длину и направление. О всяком отрезке AB из этого множества
говорят, что он представляет вектор a (получен приложением
вектора a к точке A ). Длина отрезка AB называется длиной
(модулем) вектора a и обозначается символом a AB . Вектор
нулевой длины называется нулевым вектором и обозначается
символом 0.
Векторы a и b называются
равными a b , если множества
представляющих их направленных
отрезков совпадают. В ряде задач
часто бывает удобно не различать
вектор
и
какой-либо
представляющий его направленный
отрезок.

2.

Именно в этом смысле, например, следует понимать выражение
«построить вектор».
Пусть направленный отрезок AB представляет вектор a .
Приложив к точке B заданный вектор b , получим некоторый
направленный отрезок BC . Вектор, представляемый направленным
отрезком AC , называется суммой векторов a и b и обозначается
a b (рис. 3).
Произведением вектора a на действительное число
называется вектор, обозначаемый a , такой, что:
1) a a ;
2) векторы a и a сонаправлены при 0 и противоположно
направлены при 0 .

3.

Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:
а) a 0 a ;
б) a1 a2 a2 a1 (коммутативность);
в) a1 a2 a3 a1 a2 a3 (ассоциативность);
г) a b a b 0
(вектор b называется вектором, противоположным вектору a и
обозначается символом – a );
д) a1 , a2 a3 a1 a3 a2
(вектор a3 называется разностью векторов a 2 и a1 и обозначается
символом a2 a1 ).
Операции умножения вектора на число обладает следующими
свойствами:
0a 0 0, 1 2 a 1 2 a ;
Операции сложения векторов и умножения их на числа
связаны следующими свойствами дистрибутивности:
a1 a2 a a1 a2 и 1 2 a 1a 2 a .

4.

Базис и координаты вектора.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов e1 , e2 , e3
называется базисом в множестве всех геометрических векторов.
Всякий геометрический вектор a может быть единственным
образом представлен в виде
a X 1e1 X 2 e2 X 3e3 ;
(1)
числа X 1 , X 2 , X 3 называются координатами вектора a в базисе
e1 , e2 , e3 . Запись (1) называют также разложением вектора a
по базису .
Аналогично упорядоченная пара e1 , e2 неколлинеарных
векторов
называется
базисом
в
множестве
e1 , e2
геометрических векторов, компланарных некоторой плоскости.
Наконец, всякий ненулевой вектор e образует базис e в
множестве всех геометрических векторов, коллинеарных
некоторому направлению.
Если вектор a есть линейная комбинация векторов a1 ,..., an с
коэффициентами 1 ,..., n , т.е.
n
a k ak ,
k 1
то каждая координата X i (a ) вектора a равна сумме произведений
коэффициентов 1 ,..., n на одноименные координаты векторов
a1 ,..., an :
n
X i (a ) k X i (ak ), i 1,2,3 .
k 1

5.

Базис e1 , e2 , e3 называется прямоугольным, если векторы e1 , e2
и e3 попарно перпендикулярны и имеют единичную длину. В этом
случае приняты обозначения
e1 i , e2 j, e3 k .
(2)
Проекцией вектора a на вектор e называется число
пр e a a cos , где a, e – угол между векторами a и
e 0 .
Координаты X , Y , Z вектора a в прямоугольном базисе
совпадают с проекциями вектора a на базисные орты i , j , k ,
соОтвет ственно, а длина вектора a равна
a
X 2 Y2 Z2 .
(3)
Числа
X
cos cos a , i
,
2
2
2
X Y Z
Y
cos cos a , j
,
2
2
2
X Y Z
Z
cos cos a , k
X 2 Y2 Z2
называются направляющими косинусами вектора a .
Направляющие косинусы вектора совпадают с координатами
1
(проекциями) его орта a0 a .
a
В дальнейшем, если не оговаривается противное, векторы
представлены своими координатами в некотором прямоугольном
базисе. Запись a ( X , Y , Z ) означает, что координаты вектора a
равны X , Y и Z , т.е. a Xi Yj Zk .

6.

Декартовы прямоугольные координаты точки. Простейшие
задачи аналитической геометрии.
Говорят, что в трехмерном пространстве введена декартова
прямоугольная система координат 0, , если заданы:
1) некоторая точка 0, называемая началом координат;
2) некоторый прямоугольный базис (i , j , k ) в множестве
всех геометрических векторов.
Оси Ox, Oy и Oz , проведенные через точку O в направлении
базисных ортов i , j и k , называются координатными осями
системы координат O, Oxyz .
Если M – произвольная точка пространства, то направленный
отрезок OM называется радиус-вектором точки M . Координатами
точки M в системе 0, называются координаты ее радиусвектора OM как геометрического вектора в базисе , т.е.
x(M ) X OM , y(M ) Y OM , z(M ) Z OM .
Если M 1 ( x1 , y1 , z1 ) и M 2 ( x2 , y2 , z2 ) – две произвольные точки в
пространстве, то координаты вектора M 1 M 2 равны
X x2 x1 , Y y2 y1 , Z z2 z1 . (4)
Отсюда на основании (3) расстояние между точками выражается
формулой
( M 1 , M 2 ) M 1M 2
x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .

7.

Пример Заданы вершины A(1,0, 1), B(2,2,1) и точка E 1,2,1
пересечения медиан треугольника ABC . Найти координаты
вершины C .
Решение: Так как координаты вершины A заданы, то для
вычисления координат вершины C достаточно найти координаты
вектора AC . Пусть BF – медиана, проведенная из вершины B .
3
Тогда
AC 2 AF 2 BA BF 2 AB BE (5)
2
(здесь использован тот факт, что точка E делит медиану BF в
отношении 2 : 1 ). Далее, из условий задачи с помощью формулы (4)
вычисляем координаты векторов AB 1,2,2 и BE ( 3,0,0) , откуда на
основании (5) получаем AC ( 7,4,4) и, наконец, вновь используя
формулу (4), находим координаты точки C :
x(C ) x A X ( AC ) 6 ;
y(C ) y A Y ( AC ) 4 ;
z(C ) z A Z ( AC ) 3 .
Пусть на прямой l заданы точки M 1 , M 2 и M , причем
M1 M 2 . Рассмотрим векторы M1M и MM 2 . Так как они
коллинеарны, то найдется такое действительное число , что
M1M MM 2 . Число называется отношением, в котором точка
M делит направленный отрезок M1M 2 , причем оно положительно,
если точка M находится внутри отрезка M1M 2 , отрицательно
и 1 , если M находится вне M1M 2 , и равно 0, если M M1
1 .

8.

Пример . Зная координаты точек M 1 ( x1 , y1 , z1 ) и M 2 ( x2 , y2 , z2 ) и
отношение , в котором точка M делит направленный отрезок
M1M 2 , найти координаты точки M .
Решение: Пусть O – начало координат. Обозначим:
OM1 r1, OM 2 r2 , OM r . Так как
M1M r r1, MM 2 r2 r ,
то
r r1 r2 r ,
Откуда (так как 1)
r r2
.
r 1
1
Полученная формула и дает решение задачи в векторной
форме.
Переходя в этой формуле к координатам, получим
x x2
y y 2
z z 2
x 1
,y 1
,z 1
.
(6)
1
1
1

9.

Пример 3. Даны вершины треугольника A(1, 1, 3) , B(2,1, 2) и
C ( 5,2, 6) . Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла
при вершине A .
Решение. Найдем разложение вектора AE по базису из
векторов AB и AC .
Пусть e1 AB / AB и e2 AC / AC –орты векторов AB и AC .
Тогда вектор AE сонаправлен с вектором e e1 e2 (ср. с задачей
2.47), т.е. существует число 0 такое, что
AB AC
.
AE e
(7)
AB AC
С другой стороны,
AE AC CE AC CB AC AB AC
AB 1 AC , 0
(8)
Формулы (7) и (8) представляют собой два разложения
вектора AE по базису из векторов AB и AC . В силу
единственности разложения вектора по базису имеем
и
1 .
(9)
AC
AB

10.

Решая систему (9), находим
AB AC
1
,
1 / AC 1 / AB
AB AC
Так что формула (7) принимает вид
AC
AB
(10)
AE
AB
AC .
AB AC
AB AC
Из условий задачи находим:
AB 1,2,1 и AB 6 , AC ( 6,3, 3) и AC 3 6 , и на основании (10)
получаем
AE
откуда
3
3 9
10 .
AE , ,0 и AE
4
4 4
3
1
AB AC ,
4
4

11.

Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением ненулевых векторов a1 и a 2
называется число
a1, a2 a1 a2 cos a1 , a2 .
Для скалярного произведения наряду с обозначением a1 , a2
используется также обозначение a1a2 .
Геометрические свойства скалярного произведения:
1) a1 a2 a1a2 0 (условие перпендикулярности векторов);
2) если a1 , a2 , то
0 / 2 a1a2 0
/ 2 a1a2 0 .

12.

Алгебраические свойства скалярного произведения:
1) a1a2 a2 a1 ;
2) a1 a2 a1a2 ;
3) a b1 b2 a b1 a b2 .
Если векторы a1 X 1 , Y1 , Z1 и a2 X 2 , Y2 , Z 2 представлены
своими координатами в прямоугольном базисе, то скалярное
произведение равно
a1a2 X 1 X 2 Y1Y2 Z1Z 2 .
Из этой формулы, в частности, следует формула для определения
косинуса угла между векторами
X 1 X 2 Y1Y2 Z1Z 2
a1a2
.
cos a1 , a2
2
2
2
2
2
2
a1 a2
X 1 Y1 Z1 X 2 Y2 Z 2

13.

Векторное произведение векторов. Упорядоченная тройка
некомпланарных векторов e1 , e2 , e3 называется правой, если
наблюдателю,
находящемуся
внутри
телесного
угла,
образованного этими векторами, кратчайшие повороты от e1 к e2
и от e2 к e3 кажутся происходящими против часовой стрелки. В
противном случае тройка ( e1 , e2 , e3 ) называется левой (см. рис.1,
рис.2.).
Векторным произведением вектора a1 на вектор a 2 ,
называется вектор, обозначенный символом a1 , a2 (или a1 a2 ),
определяемый следующими тремя условиями:
1) длина вектора a1 , a2 равна площади параллелограмма,
построенного на векторах a1 и a 2 , т.е. a1 , a2 a1 a2 sin a1 , a2 ;
2) вектор a1 , a2 перпендикулярен плоскости векторов a1 и a 2
3) упорядоченная тройка a1 , a 2 , a1 , a2 правая (см. рис.3).
Из определения векторного произведения следует, что
a1 || a2 a1 , a2 0 .

14.

Алгебраические свойства векторного произведения:
1) a1 , a2 a2 , a1 ;
2) a1 , a2 a1 , a2 ;
3) a1 a2 , b a1 , b a2 , b .
Если a1 X 1 , Y1 , Z1 и a2 X 2 , Y2 , Z 2 – векторы, заданные своими
координатами в правом прямоугольном базисе, то разложение
векторного произведения a1 , a2 в том же базисе имеет вид
a1 , a2 Y1Z 2 Z1Y2 i Z1 X 2 X 1Z 2 j X 1Y2 Y1 X 2 k ,
или, в символической записи
определителя 3-го порядка)
i
(с
X1
Y1
a1 , a2
j
X 2 Y2
использованием
k
Z1 .
Z2
понятия

15.

Смешанное произведение векторов. Смешанным произведением
упорядоченной тройки векторов a1 , a2 , a3 называется число
a1 , a2 a3 .
Геометрические свойства смешанного произведения:
1) если V – объем параллелепипеда, построенного на векторах
a1 , a2 и a3 , то
V , если ттройк (a1 , a2 , a3 ) правая;
(см. рис.1, рис.2)
a1 , a2 a3
V , если ттройк (a1 , a2 , a3 ) ллевая;
2) для того, чтобы три вектора (a1 , a2 , a3 ) были компланарны,
необходимо и достаточно выполнение условия a1 , a2 a3 0 .
Основное алгебраическое свойство смешанного произведения
состоит в том, что циклическая перестановка векторов не меняет
его величины, т.е.
a1 , a2 a3 a2 , a3 a1 a3 , a1 a2 .
Это свойство позволяет ввести обозначение a1 , a2 a3 a1a2 a3
(результат не зависит от того, как расставить квадратные скобки в
правой части). Смешанное произведение через координаты
векторов в правом прямоугольном базисе записывается в виде:
X 1 Y1 Z1
a1a2 a3 X 2 Y2
X 3 Y3
Z2 .
Z3

16.

Векторное и смешанное произведение векторов и их
приложения.
Рис.2
Рис.1
Пример . Даны векторы a 1, 3, 1 , b 2, 4, 1 , c 2, 4, 6 .
Требуется установить, компланарны ли данные векторы, в случае
их некомпланарности выяснить, какую тройку (правую или левую)
они образуют, и вычислить объем построенного на них
параллелепипеда.
Решение: Вычислим
1 3
1
ab c 2 4
1 78 .
2 4 6
Из значения смешанного произведения следует, что векторы
некомпланарны, образуют левую тройку и V 78 .

17.

С помощью векторного произведения можно вычислить
вращающий момент M силы F , приложенной в точке B тела,
закрепленного в точке A : M AB F (см. рис.4.)
Рис.3
Рис.4
Пример . Вычислить координаты вращающего момента M
силы F (3, 2,1) , приложенной к точке A( 1, 2, 4) , относительно
начала координат O .
Решение: Имеем
i
j k
M OA F 1 2 4 6, 13, 8 .
3
2 1