Базис. Разложение вектора по базису

1.

§ 2. Базис.
Разложение вектора по базису
2.1. Линейно зависимые и
линейно независимые
системы векторов.

2.

Рассмотрим систему векторов: a1 ,a2 ,...an .
1 , 2 ,... n - действительные числа.
Определение 1. Линейной комбинацией
системы
вектор
векторов
a ,a ,...a
1
2
n
называется
b 1 a1 2 a2 ... n an .

3.

Определение 2.
Система векторов a1 ,a2 ,...an называется
линейно зависимой, если найдутся такие
2
2
2
,
,...
...
числа 1 2 n , 1 2
n 0 ,что
b 1 a1 2 a2 ... n an 0 .

4.

Теорема 1.
Если система векторов a1 ,a2 ,...an
линейно зависима, то хотя бы один из
векторов линейно выражается через
оставшиеся векторы.
И обратно: если в системе a1 ,a2 ,...an хотя
бы один вектор линейно выражается
через оставшиеся векторы, то система
a ,a ,...a – линейно зависима.
1
2
n

5.

Определение 3.
Система векторов a1 ,a2 ,...an называется
линейно независимой, если
1 a1 2 a2 ... n an 0 1 2 ... n 0 .
Система a1 ,a2 ,...an линейно независима,
если ни один из этих векторов линейно не
выражается через оставшиеся векторы.

6.

Если
два
ненулевых
вектора
коллинеарные, то система из этих векторов
линейно зависима.
Если
два
ненулевых
неколлинеарные, то система
векторов линейно независима.
вектора
из этих

7.

2.2. Базис
Определение 4. Линейно независимая
система из двух векторов называется
базисной системой векторов (или просто
базисом) на плоскости, проходящей через
эти два вектора.
Базисом на плоскости является система
из двух неколлинеарных векторов.

8.

Теорема 2. Любой вектор на
плоскости может быть представлен как
линейная комбинация базисной системы
векторов
этой
плоскости
и
это
представление единственно: a 1 e1 2 e2
Причем
числа
λ 1,
λ2
называются
координатами вектора a в базисе e1 , e2 .

9.

Определение 5. Пусть e1 , e2 – базис на
плоскости. Если e1 e2 , то базис e , e
называется ортогональным базисом на
плоскости.
1
2
e1, e2 –
Определение
6.
Пусть
ортогональный базис на плоскости. Если
e1, e2 называется
то
ортонормированным
базисом
на
плоскости.
e1 e2 1 ,

10.

Аналогично
пространстве.
определяется
базис
в
Определение 7. Линейно независимая
система из трех векторов называется
базисной системой векторов (или просто
базисом) в пространстве.