Динамика твердого тела

1.

ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
1. Момент силы
l - плечо силы
Момент силы
относительно точки:
M r, F
M Fr sin
l r sin
M F l

2.

Направление вектора момента
силы находим по правилу
правого винта.
Этот вектор перпендикулярен
и силе, и радиус-вектору.
M F, M r

3.

Момент силы, вычисленный
относительно точки,
характеризует способность силы
вызывать поворот вокруг этой
точки. M
O
r
M 0
l
F
O
F
r
M 0

4.

5.

Момент силы относительно оси

6.

Момент силы относительно оси z
– это скалярная величина, равная
проекции на ось z вектора M ,
найденного относительно
произвольной точки этой оси.

7.

M r , F
M r F
M z M sin
r sin R
M z F R

8.

Момент сил взаимодействия
f12
f 21
r1
l
r2
O
f1,2 f 2,1
M 1,2 M 2,1
M M 1,2 M 2,1 0

9.

Момент пары сил
Пара сил - две равные по величине, противоположные по направлению силы, не лежащие на
одной прямой.
M F l
l - плечо пары

10.

2. Момент импульса
Для материальной
точки отн. точки О:
l – плечо импульса
L r , p r , mv
L p r sin pl
Направление вектора L
также определяется по
правилу правого винта.

11.

Момент импульса относительно оси вращения
определяется так же, как и момент силы. Нужно
найти вектор момента импульса относительно
произвольной точки оси, затем взять проекцию
вектора L на эту ось.
Lz p R

12.

Пусть МТ движется по окружности.
Выберем точку О в центре окружности.
L
О
r
p
L p r mvr
L mr
v r
I mr
2
2
L I

13.

I mr
2
3. момент инерции
материальной точки
Равен произведению массы МТ на
расстояние до оси вращения.
[ I ] = кг · м2
r
m

14.

Момент импульса твердого тела
(собственный момент импульса)
Разобьем тело на систему материальных точек
массой mi .
rri
z
i
Lz Lz ,i
Lz mi ri
i
i
Lz ,i mi ri
2
Lz I z
2

15.

Для однородного симметричного
тела, вращающегося вокруг оси
симметрии, справедливо векторное
равенство:
L I

16.

3. Момент инерции твердого тела - мера
инерции
Зависит от
а) массы тела -m(от равномерности )
б) размера и формы тел

17.

в)от радиуса r , от расположения оси
вращения ( теорема Штейнера)
Вывод момента инерции для тел
Момент инерции тела относительно
данной оси – это величина, равная
сумме произведений элементарных
масс на квадраты их расстояний от
данной оси.
2
I mi ri
i
2
или
I r dm
V

18.

Момент инерции кольца
I
r dm
2
по кольцу
r R const .
I R dm
2
по кольцу
I C mR
2

19.

Момент инерции сплошного цилиндра (диска)
Разобьем цилиндр на
отдельные полые
концентрические
цилиндры бесконечно
малой ширины dr и
радиусом r.
dI r dm
2
dm — масса элементарного цилиндра

20.

dm = ρdV = ρ dS h
dS 2 r dr
dm 2 h rdr
m
2
R h

21.

R
R
I r dm 2 h r dr
2
0
3
0
R
4 R
r
I 2 h r dr 2 h
4
0
3
1
2
I C mR
2
0
hR
2
4

22.

Моменты инерции IC некоторых однородных твердых тел

23.

Теорема Штейнера
Момент инерции относительно произвольной
оси вращения равен сумме момента инерции
тела относительно параллельной оси вращения,
проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния
между осями.
I IC ma
2

24.

Применение теоремы Штейнера
1
2
Для стержня I C
m
12
Найдем момент инерции стержня относительно
оси, проходящей через его конец:
a
2
2
2
2
ml
ml
4ml
ml
I I C ma
12
4
12
3
1 2
I m
3
2
2

25.

Для диска:
1
2
I C mR
2
a R
I IC ma
2
2
mR
2
I
mR
2
3
2
I mR
2