Механика твердого тела. Динамика вращений

1. ТЕМА IV. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

§1. ДИНАМИКА ВРАЩЕНИЙ

2. 1. ДВИЖЕНИЕ ЦЕНТРА МАСС ТВЕРДОГО ТЕЛА

Центр масс твердого тела движется так, как двигалась бы
материальная точка с массой, равной массе тела, под
действием всех приложенных к телу (внешних) сил.
N
N
N
i 1
i i
N
i 1
m a F . m r r m
i 1
i i
N
i 1
i
i 1
m r mr
N
i 1
mV
i 1
i i
i i
c
N
N
m a f F . f
mi ai fi Fi ;
N
N
i i
c
N
i 1
i
i
mrc .
mV
i i mVc .
i 1
N
mVc mac Fi .
i 1
i 1
i
i 1
i
0

3. 2.МОМЕНТ ИМПУЛЬСА

4. 3. МОМЕНТ СИЛЫ

5. 4. УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ

N
r mV
mV
i i ri f ij ri Fi .
i i f ij Fi ; i
j 1, j i
j 1, j i
N
d
r mV r mV r mV V mV r mV r mV
dt
dLi
dt
N
N
N
d N
M Mi
Li M ij M i .
j 1, j i
dt i 1
i , j 1;i j
i 1
ij
M ij M ji 0
N
i , j 1;i j
M ij 0
N
d N
dL
Li M i
M.
dt i 1
dt
i 1

6. 5. СУММАРНЫЙ МОМЕНТ ВНУТРЕННИХ СИЛ

7. 6. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

dL Mdt;
M 0 dL 0 L const.
Момент импульса замкнутой
(изолированной) системы есть
величина постоянная.
M 0;
Mz 0
L const;
Lz const.

8. 7. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Li ri mV
i i mi ri Vi .
ri Vi Li mi rV
i i ; Vi Ri
Lzi Li cos i mi ri Ri sin i ;
ri sin i Ri Lzi mi R z .
2
i
N
N
N
Lz Lzi mi R z z mi R ; I
i 1
i 1
2
i
i 1
2
i
N
m R
i 1
i
2
i
Lz I z .

9. 8. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

N
d N
dL
Li M i
M.
dt i 1
dt
i 1
N
d N
dLz
Lzi M zi
M z.
dt i 1
dt
i 1
Lz I z
d
d z
I
M
I
M z.
z
z
dt
dt
d z
z I z M z .
dt

10. 9. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА И МОМЕНТ ИНЕРЦИИ

В общем случае L и не
совпадают по направлению.
Для однородного тела,
симметричного относительно
оси вращения L I .
M 0 L I const.
M z 0 Lz I z const.
I1 z1 I 2 z 2 const;
I1 1 I1 I 2 .

11. 10. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ТЕЛА

12. 11. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ

13. 12. РЫЧАГИ

14. §2. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ

15. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ТЕЛА

1. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ
ПРОИЗВОЛЬНОГО ТЕЛА
N
I mi Ri2 ;
i 1
m
;
V
lim
V 0
N
mi i Vi I i Ri2 Vi ;
i 1
I R dm R dV .
2
V
2
V
2
I
1
кг
м
.
кг
1 3 .
м
m dm
.
V dV
N
i const I Ri2 Vi .
i 1
const I R 2 dV .
V

16. 2. ГЛАВНЫЕ ОСИ И МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ

17. 3. ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА (I)

Якоб Штейнер
1796 – 1863
швецарский математик

18. 4. ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА (II)

Момент инерции I относительно произвольной оси (ось О’) равен
сумме момента инерции I c относительно оси, параллельной данной
и проходящей через центр масс тела (ось О), и произведения
массы тела m на квадрат расстояния a между осями:
I I c ma .
2
ri a ri ri a ri a 2ari ri .
'
2
'2
2
2
N
N
N
N
i 1
i 1
i 1
i 1
I mi ri '2 a 2 mi 2a mi ri mi ri 2 .
N
m r mr
i 1
i i
c
0 I ma I c .
2

19. 5. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТОНКОГО ОБРУЧА

N
I mi ri 2 ;
i 1
I R
N
ri R
N
2
m ;
i 1
i
2
m
m
I
mR
.
i
i 1

20. 6. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЯ

m
I x dm; dm dx;
l
2
l 2
l 2
m
I x dx x 2 dx
l l 2
l 2
2
l 2
3
3
2
m x
m l
l
ml
I
.
l 3 l 2 l 24 24 12
3
ml 2
l 2 ml 2
I0
m
.
12
4
3

21. 7. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ОДНОРОДНОГО ДИСКА

dm dS ;
I r 2 dm;
m
; dS 2 rdr
2
R
R
R
m
2m 3
I r
2 rdr 2 r dr
2
R
R 0
0
2
R
2m r
2m R 4 mR 2
I 2 2
.
R 4 0 R 4
2
4

22. 8. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТОНКОГО ДИСКА ОТНОСИТЕЛЬНО ДИАМЕТРА

I x 2 dm; dm dS ; m ; dS 2 R 2 x 2 dx
2
R
R
2 m
2
2
I 2 x
2 R x dx
2
R
0
x R cos
R
4m
2
2
2
I
x
R
x
dx.
2
R 0
dx
R
sin
d
0
4m
2
2
I
R
cos
R sin 1 R sin d
2
R 2
2
2
2
2
4 2
mR
mR
mR
2
2
2
I mR cos sin d
sin 2 d 2
.
2 0
2 2 4
0

23. 9. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ОДНОРОДНОЙ ТРУБКИ

I r 2 dm;
dm dS ;
dS 2 rdr;
m
2
2
R2 R1
m2 rdr
2m
I r
2
2
2
2
R2 R1 R2 R1
R1
R2
2
R2
R2
r dr
3
R1
2m r
m 2
2
I 2
R
R
2
1 .
2
R2 R1 4 R
2
1
4

24. 10. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТОНКОЙ СФЕРЫ

I z r 2 sin 2 m;
dm
dS
m
d ; d 2 ;
4
r
dS 2 2 r sin rd
d 4 sin d m dm sin d
2
3
2
2
I z r dm sin d r dm sin ( )d cos
0
dI z r dm 1 cos d cos
2
2
1
1
1
2 2
1
3
dI z r dm cos 0 cos I mr .
0
3
3
2

25. 11. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ОДНОРОДНОГО ШАРА

m
2 2
dI (r , dr ) r dm; dm dV ;
3
V
4 3
V R ;
dV 4 r 2dr
3
2 2 3m
2m 4
2
dI r
4 r dr 3 r dr
3
3
4 R
R
R
2m 4
2m r
2
2
I 3 r dr 3 mR .
R 0
R 5 0 5
R
5

26. 12. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ПРСТЫХ ТЕЛ

27. §3. ЭНЕРГИЯ ВРАЩЕНИЯ

28. 1. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА

2
mV
Vi Ri
Ki i i ;
2
N
mi 2 Ri2 2 N
2
K
m
R
i i .
2
2 i 1
i 1
I
mi R I K
.
2
i 1
2
N
2
i
I 2 2 L2
L I K
.
2I
2I

29. 2. РАБОТА МОМЕНТА СИЛ

dAi fi dri Fi dri fiVi dt FV
i i dt .
Vi ri dAi fi ri dt Fi ri dt.
fi ri ri fi M i ;
Fi ri ri Fi M i
N
N
i 1
i 1
N
dA dAi M dt M i dt.
N
M
i 0;
i 1
N
M
i 1
i
i
i 1
M dA M dt;
2
dt d dA Md M z d ; A12 M z d .
1

30. 3. ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ

31. 4. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ПРИ ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ

2
2
mV
m
i
i
i
Vi V0 ri ;
Ki
Ki
V0 ri
2 2
2
mi 2
Ki
V0 2V0 ri ri . ri ri sin Ri
N
2
mi 2
Ki
V0 2 V0 ri 2 Ri2 . K K i
2
i 1
2 N
N
V0
2 N
2
K
m
V
m
r
m
R
i
0
i i
i i .
2 i 1 N
2 i 1
i 1
N
N
mi m;
i 1
mi ri mrc ;
i 1
2
m
R
i i I0
i 1
2
mV02
I 0
K
mrc V0
.
2
2
mVc2 I c 2
rc 0 K
.
2
2

32. §4. ГИРОСКОПЫ

Гироскопом (или
волчком)
называется
массивное
симметричное тело,
вращающееся с
большой скоростью
вокруг оси симметрии
(оси гироскопа).

33. 1. УСТРОЙСТВО ГИРОСКОПА

34. 2. ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ

Гироскопический эффект
состоит в том, что под
действием внешней силы,
перпендикулярной моменту
импульса, ось гироскопа
поворачивается в плоскости,
содержащей момент импульса
гироскопа и момент внешней
силы ( перпендикулярной
моменту импульса и силе).

35. 4. ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИЛЫ

dL
Mdt
dt
L
L
M
M L ; M ' L .
L

36. 5. ГИРОКОМПАС

Гироскопическим компасом (гирокомпасом)
называется гироскоп, ось которого может
свободно поворачиваться в горизонтальной
плоскостипод влиянием суточного
Вращения Земли.

37. 6. ПРЕЦЕССИЯ ВОЛЧКА В ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

M mgl sin ;
dL Mdt;
const ; dL L L const.
dL
Mdt
dt
L sin L sin
mgl sin
L sin
mgl
.
L