Динамика твердого тела и закон сохранения

1.

Кафедра физики
Динамика твердого тела
и закон сохранения
Подготовила: Тенчурина А.Р.

2. План лекции:

ПЛАН ЛЕКЦИИ:
Центр масс
Момент силы
Момент импульса
Момент инерции
Теорема Штейнера
Второй закон динамики для
вращательного движения
Закон сохранения момента импульса

3.

ДИНАМИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
Виды движения:
1. Поступательное; 2. Вращательное

4.

Радиус-вектор центра масс С системы
состоящей из N материальных точек

5.

N
1
rc ri mi
m i 1
mi элементарная масса
ri радиус-вектор
При
mi 0
1
rc im ri mi
mi 0 m i 1
N

6.

1
rc rdm
m
m
V
dm dV
m dm
im
dV
V 0 V
1
rc r dV
m

7. Кинетическая энергия вращающегося тела

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА
Кинетическая энергия – величина
аддитивная, поэтому кинетическая энергия
тела, движущегося произвольным образом,
равна сумме кинетических энергий всех n
материальных точек, на которое это тело
можно мысленно разбить:
m
K
.
2
2
n
i
i 1
i
(4.1)

8.

Если
тело
вращается
вокруг
неподвижной оси z с угловой скоростью
то линейная скорость i-й точки i ωRi
Следовательно,
ω
Iω
mR
.
2
2
2
K
2
n
2
вращ.
i 1
i
i
(4.2)
Сопоставив (4.1) и (4.2) можно
увидеть, что момент инерции тела
I–
является
мерой
инертности
при
вращательном движении. Так же как масса
m – мера инерции при поступательном
движении.

9.

В общем случае движение твердого
тела можно представить в виде суммы двух
движений – поступательного со скоростью c
и вращательного с угловой скоростью
вокруг мгновенной оси, проходящей через
центр
инерции.
Тогда
полная
кинетическая энергия этого тела:
m I
2
2
2
K
c
полн.
c
2
.
(4.3)
Здесь Ic – момент инерции относительно
мгновенной оси вращения, проходящей через
центр инерции.

10.

Скорость центра масс обруча равна v, масса обруча
m. Определим его кинетическую энергию при
движении по горизонтальной поверхности.
Имеем
1
1
2
2 ,
mv + mv обод
Kполн =
2
2
v обод
– линейная скорость обода
в системе ц.м. Для наблюдателя,
движущегося вместе с центром
обруча, скорость точки
соприкосновения обруча с плоскостью
равна v. Поэтому v обод
= v.
1
1
2
2
m
v
m
v
Таким образом, Kполн =
+
= mv2.
2
2

11.

M rF
M
О
r
Момент силы
Физическая величина
определяемая векторным произведением
радиус-вектора r,
проведенного из точки О
в точку приложения
силы F, на силу F.
F

12.

Момент силы
M Fr sin

13.

Момент импульса
Li r p
p m - импульс точки
L m r

14.

Момент импульса
L pr sin
r sin
L P
L m

15.

Liz mi ri i
i ri
Liz ri mi
2
Lz Liz ri mi ri mi
2
L I
2

16.

n
n
L Li mvr ri 2 mi ri 2 mi J J
1
i
L I
1

17.

Момент инерции
Материальная
точка
Твёрдое тело

18.

Момент инерции
Мера инертности тела при вращательном
движении, аналог массы при поступательном
J mr
2
J mi ri
- Материальная точка
2
- Система точек
i
J – кг м2

19.

О
О
Моменты инерции
О
1
J ml 2
12
О
О
О
1
J mR 2
2
О
1
J mR 2
2
О
2
2
J mR
5

20.

При вычислении момента инерции
тела, вращающегося вокруг оси, не
проходящей через центр инерции следует
пользоваться теоремой о параллельном
переносе осей или теоремой Штейнера
(Якоб Штейнер, швейцарский геометр
1796 – 1863 гг.).
I I md
c
2
(3.1)

21.

Теорема Штейнера
О
О
d
О
1
О
1
J J 0 md
2

22.

I I c md
2
Момент инерции тела I
относительно любой оси вращения
равен моменту его инерции I c
относительно
параллельной
оси,
проходящей через центр масс С тела,
плюс произведение массы тела на
квадрат расстояния между осями.

23.

Теорема Штейнера для стержня
О1
О
J J 0 md
2
1
2
J 0 ml
12
l
d
2
О1
О
1
1 2 1 2
2
J ml ml ml
12
4
3

24.

d
d
L r , m r , m r , m
dt
dt
m F
dL
r , F
dt
rF M
dL
M
dt

25.

L I
d
I M в неш
dt
I const

26.

Основной закон динамики
вращательного движения
M I
В векторном виде:
M I

27.

Поступательное дв.
Вращательное дв.
Масса
m
Момент инерции
J
Сила
F
Момент силы
М
Импульс
P=mv
Момент импульса
Основной закон
динамики
F=ma
dP
F
dt
L=Jω
Основной закон
динамики
M=Jε
dL
M
dt

28.

M
J
d
M J J
dt
Mdt J d d J dL
dL
M
dt
Mdt dL

29. Закон сохранения момента импульса

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА
ИМПУЛЬСА
Для замкнутой
системы тел момент
внешних сил М всегда равен нулю, так как
внешние силы вообще не действуют на
замкнутую систему:
dL
M 0
dt
отсюда
L const, или Iω const

30.

Именно закон сохранения момента
импульса используется танцорами на льду
для изменения скорости вращения. Или
еще
известный
пример
–
скамья
Жуковского.
Изученные нами законы сохранения
есть
следствие
симметрии
пространства – времени.
Принцип
симметрии
был
всегда
путеводной звездой физиков, и она их не
подводила.

31.

32.

J 1 1 J 2 2

33.

Закон сохранения момента импульса
dL
M
dt
M 0
L const
J1 1 ( J1 J 2 )
L J
2 0

34.

35. Гироскоп

ГИРОСКОП
Массивное однородное тело,
вращающееся с большой угловой
скоростью около своей оси
симметрии и сохраняющее своё
положение в пространстве
неизменным

36.

Если момент внешних сил
относительно неподвижной оси
вращения тождественно равен
нулю,
то
момент
импульса
относительно
этой
оси
не
изменяется в процессе движения.
Момент импульса и для незамкнутых
систем постоянен, если результирующий
момент внешних сил, приложенных к системе,
равен нулю.

37.

Уравновешенный гироскоп – быстро
вращающееся тело, имеющее три степени свободы
Используется гироскоп в различных
навигационных
устройствах
кораблей,
самолетов,
ракет
(гирокомпас,
гирогоризонт).

38.

Спасибо за внимание!