Движение в неинерциальной системе отсчета

1. ДВИЖЕНИЕ В НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА.

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ.
ДИНАМИКА
ЛЕКЦИЯ 4

2. ВВЕДЕНИЕ

Инерциальной называется такая система отсчета, в которой
справедлив принцип инерции (первый закон Ньютона)
Является ли геоцентрическая система отсчета инерциальной?
Существуют ли аналоги законов Ньютона для
инерциальных систем отсчета?
2
Введение

3. Цель лекции

изучение динамики относительного движения точки,
то есть ее движения относительно неинерциальной
системы отсчёта
План лекции
Кинематика сложного движения точки
Уравнение движения в неинерциальной
системе отсчёта. Силы инерции
Невесомость и перегрузка
Влияние вращения Земли на равновесие и
движение тел
3
Цель лекции

4. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

4
Сложное движение

5. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

движение, которое допускает разделение на два
простых с помощью дополнительной подвижной
системы отсчета
5
Сложное движение

6. АБСОЛЮТНОЕ, ОТНОСИТЕЛЬНОЕ И ПЕРЕНОСНОЕ ДВИЖЕНИЕ

vчел
ПСО
vав т
… относительно неподвижной
системы – абсолютное (a)
НСО
6
Сложное движение
Движение материальной точки
относительно подвижной
системы – относительное (r)
Движение подвижной системы
относительно неподвижной –
переносное движение (e)

7. АБСОЛЮТНАЯ, ОТНОСИТЕЛЬНАЯ И ПЕРЕНОСНАЯ СКОРОСТЬ

va
ve
Скорость материальной точки
относительно подвижной
системы – относительная ( vr )
vr
ПС
НС
… относительно неподвижной
системы – абсолютная ( va )
Скорость материальной точки,
мысленно закрепленной в
данный момент времени на
подвижной системе
координат –
переносная ( v )
e
v v v
a
7
Сложное движение
r
e

8. АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ

Вектор определен в подвижной системе отсчета
z
c cx i c y j c z k
c
k
y
j
i
x
(1а)
В ПСО зависят от времени только проекции
сx, сy, сz
В НСО от времени зависят и орты i, j, k
Введем обозначения
dc
абсолютная производная
dt
–
производная в НСО
dc
относительная производная –
dt r
производная в ПСО
8
Сложное движение

9. АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ

z
dc y
dc dcx
dcz
i
j
k
dt
dt
dt
dt
di
dj
dk
cx c y cz
dt
dt
dt
c
k
y
j
i
x
dr
r
dt
9
Сложное движение
dc dc
di
dj
dk
cx c y cz
dt dt r
dt
dt
dt
di
i
dt
dj
j
dt
dk
k
dt
(1b)
(2)

10. АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ

z
c
k
y
j
i
x
dc dc
di
dj
dk
cx c y cz
dt dt r
dt
dt
dt
dc dc
cx i c y j cz k
dt dt r
(2)
dc dc
cxi c y j cz k
dt dt r
формула Бура
10
Сложное движение
dc dc
c
dt dt r
(3)

11. ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ СКОРОСТЕЙ

Абсолютная скорость материальной точки при сложном
движении равна векторной сумме относительной и
переносной скоростей
a
r
e
v v v
В произвольный момент времени
r (t ) rO (t ) ρ (t )
dr drO dρ
va
dt
dt dt
Вектор ρ определен в ПСО
r
O
ro
dρ
vr
dt r
ve
11
Сложное движение
drO dρ
(4)
va
e ρ
dt dt r
Что такое переносная скорость?
drO
e ρ
dt
v v v
a
r
e

12. ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ УСКОРЕНИЙ

Определим абсолютное ускорение точки
drO dρ
(4)
va
e ρ
dt dt r
dvO dωe
dρ dvr
dva d
ρ
ω
aa
vO ωe ρ vr
e
dt
dt
dt dt
dt dt
Векторы ρ, vr определены в ПСО
dρ
dvr
dvO
aa
e ρ ωe e ρ
e vr
dt
dt r
dt r
aa aO e ρ ωe vr e ρ ar e vr
aa ar aO e ρ e e ρ 2ωe vr
(5)
Определим переносное ускорение точки ae aO e ρ e e ρ
Подставляя в (5), получаем
12
Сложное движение
aa ar ae ac
ac 2ωe vr

13. ТЕОРЕМА КОРИОЛИСА

Абсолютное ускорение материальной точки при сложном
движении равно векторной сумме относительного,
переносного и кориолисова ускорений
aa ar ae ac
Гюстав Гаспар Кориолис
1792-1843
13
Сложное движение
ac 2ωe vr

14. ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ В НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА

Произведение массы материальной точки на ее ускорение
равно векторной сумме действующих на точку сил
ma F
только в инерциальных СО
aa ar ae ac
Силы инерции
14
mar Fi mae mac
e mae , c mac .
Все законы динамики точки сохраняют свою форму
при движении в неинерциальной системе отсчета,
если к действующим на точку силам добавлены
переносная и кориолисова силы инерции.
Динамика
относительного движения

15. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

1. Вращение ПСО
ae aen ae
a врe e r , aen e ( e r )
e en e
en maen , e mae
ac 2 e vr
c mac
Если вращение равномерное, то εe = 0:
e 0
15
Динамика
относительного движения
e en

16. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

2. Поступательное криволинейное движение ПСО
a a a .
e
e
τ
e
n
a τ s , a n
e
e
s 2
.
a c 0.
c 0.
Если движение прямолинейное, то = :
a ne 0.
e eτ .
Если движение ПСО прямолинейное и равномерное,
то она является инерциальной:
a e 0.
e 0.
ma r Fi .
никакими механическими явлениями нельзя обнаружить
прямолинейного равномерного движения
(принцип относительности классической механики)
16
Динамика
относительного движения

17. ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ В НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА

mar Fi mae mac
e mae , c mac .
N
n
l
mg
ae
17
Динамика
относительного движения
ma mg sin
sin
l g sin
g
0
l

18. ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ В НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА

a
e
N
n
l
e
ae
ma r (mg Фe ) sin
mg
l ( g ae ) sin
( g ae )
0
l
18
Динамика
относительного движения
g ae - невесомость

19. ЦЕНТРОБЕЖНАЯ СИЛА

Определить угловую скорость
вращения карусели,
при которой человек не будет
падать.
e
N
mg
n
ae
e mae , c 0.
e maen
e m 2 R
mar mg Фe N
0 mg m 2 R N
19
Динамика
относительного движения
2 g / R
ar 0

20. ЦЕНТРОБЕЖНАЯ СИЛА

Определить угол наклона веревок при заданной
угловой скорости, радиусе верхнего колеса и длине
веревок.
20
Динамика
относительного движения

21. ЦЕНТРОБЕЖНАЯ СИЛА. ПАРАДОКС ЧАИНОК

Почему при размешивании сахара чаинки собираются
на дне чашки в центре?
21
Динамика
относительного движения

22. ПЕРВАЯ КОСМИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ

минимальная скорость, которую необходимо придать
объекту, чтобы вывести его на геоцентрическую орбиту
e
g/R
2
N
mg
n
ae
22
Динамика
относительного движения
v gRз
2

23. ВЛИЯНИЕ ВРАЩЕНИЯ ЗЕМЛИ НА ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ

c ma
… по Волге плавая, прохожу пороги я.
И гляжу на правые берега пологие.
c
a 2 v
c
e
r
В.С. Высоцкий
e
e
ac
vr
c
23
Влияние вращения Земли
ac 2 з vr sin
vr

24. ВЛИЯНИЕ ВРАЩЕНИЯ ЗЕМЛИ НА ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ

В Северном полушарии сила Кориолиса направлена
вправо по ходу движения тел
Циклон
24
Влияние вращения Земли
Антициклон

25. ЭФФЕКТЫ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА ЗЕМЛЕ

Можно ли определить, циклон или антициклон
зафиксирован на фотографии из космоса?
Можно ли определить, в каком полушарии это
происходит?
25
Влияние вращения Земли

26. ЭФФЕКТЫ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА ЗЕМЛЕ. ЗАКОН БЭРА

В северном полушарии река всегда стремится подмыть
правый берег.
26
Влияние вращения Земли
Карл Бэр
(1792-1876)

27. ЭФФЕКТЫ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА ЗЕМЛЕ

Куда будет смещаться тело, падающее на Землю?
e
vr
27
Влияние вращения Земли

28. ВЛИЯНИЕ ВРАЩЕНИЯ ЗЕМЛИ НА ПОКОЯЩЕЕСЯ ТЕЛО

Сила тяжести – сила, действующая на тело,
находящееся на поверхности Земли.
e
e
Fg
FТ
28
Влияние вращения Земли
В каких широтах угол
между силами тяготения и
тяжести максимален ?
Где на Земле легче всего
прыгать вверх ?

29. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Дайте определения относительного, абсолютного, переносного движений (и скоростей).
2. В чём заключается теорема Кориолиса? Как определить кориолисово ускорние, в каких
случаях оно равно нулю?
3. Какой модуль и какое направление имеют переносная и кориолисова силы инерции?
4. В чём заключается различие между дифференциальными уравнениями относительного и
абсолютного движений материальной точки?
5. Как определяются переносная и кориолисова силы инерции в различных случаях
переносного движения?
6. В чём состоит сущность принципа относительности классической механики?
7. Какие системы отсчёта называются инерциальными?
8. Каково условие относительного покоя материальной точки?
29