Кинематика сложного движения

1. КИНЕМАТИКА сложного движения

2. Сложное движение точки (тела) –

это такое движение, при котором
точка (тело) одновременно
участвует в двух или более
движениях.

3.

M
r
О1
0
z
k О i
x
y
j

4.

• Движение тела относительно подвижной
системы координат называется
относительным движением (relatif).
• Движение тела относительно неподвижной
системы координат называется
абсолютным движением.
• Движение подвижной системы координат
относительно неподвижной системы координат
называется переносным движением (emporter).

5.

• Скорость и ускорение тела относительно
подвижной системы координат называются
относительной скоростью vr
и относительным ускорением W
r
• Скорость и ускорение тела относительно
неподвижной системы координат называются
абсолютной скоростью va
и абсолютным ускорением Wа

6.

• Скорость и ускорение точки неразрывно
связанной с подвижной системой координат
называются переносной скоростью ve
и переносным ускорением Wе

7. Теорема о сложении скоростей

8. Во все время движения точки радиусы-векторы связаны зависимостью:

Во все время движения точки радиусы
векторы ; 0 ; r связаны
зависимостью:
0 r 0 ( xi yj zk )
1

9.

Вектор абсолютной скорости точки равен:
d
va
dt
Продифференцируем векторное равенство (1):
d d 0 dr d 0 d
va
( xi yj zk )
dt
dt
dt
dt dt
d 0 dx dy dz
di
dj
dk
i
j k x y z
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt

10.

По формулам Пуассона:
di
e i
dt
dk
e k
dt
dj
e j
dt
Подставим в равенство (1):
d 0 dx dy dz
i
j k
dt
dt
dt
dt
x e ; i y e ; j z e ; k
2

11.

Выясним механический смысл входящих в
формулу (2) слагаемых:
1) Остановилась подвижная система координат:
va vr
0 const
i const
j const
k const
0
d 0 dx
dy dz
i
j k
dt
dt
dt
dt
0 0 0
di
dj
dk
x y z
dt
dt
dt

12.

2) Остановилась точка:
va ve
y const
x const
0
z const
0
0
d 0 dx dy dz
i
j k
dt
dt
dt
dt
di
dj
dk
x y z
dt
dt
dt

13.

Таким образом:
va vo e r vr
Абсолютная скорость точки при ее
сложном движении равна
геометрической сумме ее
переносной и относительной скорости.

14. Теорема о сложении ускорений

Теорема Кориолиса

15. Гаспар-Гюстав Кориолис Gaspard-Gustave de Coriolis

Дата рождения:
21 мая 1792(1792-05-21)
Место рождения:
Париж, Франция
Научная сфера:
математика, физика

16.

M
r
О1
0
z
k О i
x
y
j

17. Во все время движения точки радиусы-векторы связаны зависимостью:

Во все время движения точки радиусы
векторы ; 0 ; r связаны
зависимостью:
0 r 0 ( xi yj zk )
1

18.

Вектор абсолютного ускорения точки равен:
2
dva d
Wa
2
dt
dt
Продифференцируем дважды векторное
равенство (1):
2
dv a d d d 0 dr
Wa
2 (
)
dt
dt dt
dt
dt
2
2
d 0 d
2 ( xi yj zk )
2
dt
dt

19.

2
2
d 0 d x
d z
d y
k
j
i
2
2
2
2
dt
dt
dt
dt
2
2
2
d k
d j
d i
x 2 y 2 z 2
dt
dt
dt
dx di dy dj dz dk
)
2(
dt dt dt dt dt dt
2
2
3

20.

Выясним механический смысл входящих в
формулу (3) слагаемых:
1) Остановилась
подвижная
система
координат:
0 const
Wa Wr
i const 0 j const
k const
2
2
d 0 d x
d y
d z
2 i 2 j 2 k
2
dt
dt
dt
dt
0
0
0
2
2
2
d i
d j
d k
x 2 y 2 z 2
dt
dt
dt
0 0 0
dx di dy dj dz dk
2(
)
dt dt dt dt dt dt
2
2

21.

2) Остановилась точка:
x const
Wa We
y const
z const
0
0
0
2
2
2
d 0 d x
d y
d z
2 i 2 j 2 k
2
dt
dt
dt
dt
d 2i
d2 j
d 2k
x 2 y 2 z 2
dt
dt
dt
0
0
0
dx di dy dj dz dk
2(
)
dt dt dt dt dt dt
2

22.

По формулам Пуассона:
2
d i d d e di
( e i )
i e
2
dt
dt
dt
dt
e i e ( e i )
Аналогично:
2
d j
e j e ( e j )
2
dt
2
d k
e k e ( e k )
2
dt
4

23. Симео́н Дени́ Пуассо́н Siméon Denis Poisson

21 июня 1781, Питивье, Франция —
25 апреля 1840, Со) —
знаменитый французский физик и
математик.
Число учёных трудов Пуассона
превосходит 300. Они относятся к
разным областям чистой
математики, математической
физики, теоретической и небесной
механики.
Наиболее известными его
учениками были П.Г.ЛежёнДирихле, Ж.Лиувилль и М.Шаль.

24.

Подставим формулы (4) в равенство (3):
Wr
2
2
2
2
d 0 d x d y d z
2 i 2 j 2 k
Wa
2
dt
dt
dt
dt
x( e i e ( e i ))
y ( e j e ( e j ))
z ( e k e ( e k ))
dx dy dz
2( ( e i ) ( e j ) ( e k ))
dt
dt
dt
We a0 e r e ( e r )

25.

Таким образом,
Wa We Wr 2( e vr )
Здесь,
Wc 2( e vr )
Кориолисово ускорение

26. Теорема Кориолиса

Абсолютное ускорение точки при ее
сложном движении равно
геометрической сумме ее
переносного, относительного
и кориолисова ускорений.
Wa We Wr Wc

27. Модуль и направление кориолисова ускорения

28. Кориолисовым или поворотным ускорением называется составляющая абсолютного ускорения точки в сложном движении, равная

удвоенному векторному произведению
угловой скорости переносного вращения на
относительную скорость точки:
Wc 2( e vr )

29. Кориолисово ускорение характеризует: 1) изменение модуля и направления переносной скорости точки вследствие ее относительного

движения;
2) изменение направления относительной
скорости точки вследствие вращательного
переносного движения.

30. Модуль кориолисова ускорения определяется как удвоенный модуль векторного произведения:

Wc 2 e vr sin

31. Кориолисово ускорение равно нулю:

1) Если e 0 - поступательное
переносное движение;
2) Если vr 0 - относительный покой точки;
3) Если sin 0 - относительная скорость
точки параллельна оси переносного
вращения.

32. Направление кориолисова ускорения

Wc
vr
e

33. Пример 1

Колесо М движется по
вращающемуся стержню так,
что OM=s=3t2 (см) и φ=2t (рад).
Определить абсолютную скорость
точки в момент времени t=2 c.

34.

35. Решение

относительная скорость направлена по
касательной к траектории вдоль стержня
vr S 6t 12cм / с
Переносная скорость направлена по
касательной к траектории переносного
движения, перпендикулярно стержню.
ve OM S 3t 2 6t 24cм / с
2
2

36.

Абсолютную скорость, так как ve v r
вычислим по теореме Пифагора
vM v v 12 24 26.83cм / с
2
e
2
r
2
2

37. Абсолютное ускорение точки М

Wa We Wr Wc

38.

Переносное ускорение при движении
колеса по окружности радиусом OM=s:
n
We We We
We S e S 0
We W S S
n
e
2
e
12 2 48см / с
2
2
2

39. Кориолисово ускорение, перпендикулярно стержню и направлено в сторону вращения

Относительное ускорение
2
Wr S 6см / с
Кориолисово ускорение,
перпендикулярно стержню и
направлено в сторону вращения
Wс 2 e v r sin 90 2 2 12 48см / с
2

40.

Величину абсолютного ускорения
кольца М найдем с помощью проекций
на подвижные оси x1 и y1
Wx1 Wr We 6 48 42см / с
Wу1 Wс 48см / с
WМ W W
2
x1
2
y1
2
( 42) 48 63,78cм / с
2
2
2
2