Приведение системы сил к заданному центру. Теорема Пуансо

1. Приведение системы сил к заданному центру

Теорема Пуансо

2. Теорема1 - О параллельном переносе силы (лемма Пуансо):

силу F, не изменяя ее действия на
абсолютно твердое тело, можно
переносить из данной точки А в любую
другую точку О тела, прибавляя при
этом пару с моментом m равным
моменту переносимой силы
относительно точки О, в которую
переносится сила F.

3. Доказательство

mO (F )
Z
F
F F F
O
F
d
F
A
X
Y

4.

mO (F )
Z
F
O
F
d
F
O
F
A
X
Y

5. Теорема 2 – О приведении системы сил к заданному центру (теорема Пуансо):

Любая система сил , действующая на
абсолютно твердое тело, при
приведении к произвольному центру О
заменяется главным вектором системы
сил, приложенным в центре О и парой
сил с моментом , равным главному
моменту системы сил относительно
центра О.

6. Доказательство

F1
Z
MO
F1 m1
m2
R
Fn
O
mn
X
Fn
F2
F2
Y

7.

F1
Z
MO
F1
m1
m2
O
mn
X
Fn
R
Fn
F2
F2
Y

8.

Используя теорему 1 перенесем все силы в
центр О прибавляя пары с моментами
равными моментам сил относительно
центра О. Сложив все силы и моменты
получим в центре О два вектора и равные:
k n
R F1 F2 Fn Fk ;
k 1
k n
M O M O F1 M O F2 M O Fn M O Fk .
k 1
Величина главного вектора
значение главного момента
может изменяться.
R не зависит от выбора центра О, а
M O при изменении положения центра О

9.

k n
R F1 F2 Fn Fk ;
k 1
k n
M O M O F1 M O F2 M O Fn M O Fk .
Для плоской системы
сил главный вектор R
лежит в плоскости
действия сил, а главный
момент M Oперпендикулярен
этой плоскости. Поэтому
главный момент плоской
системы сил относительно
центра О определяется как
сумма алгебраических
моментов сил относительно
центра О и изображается
на плоскости дуговой
стрелкой.
k 1
Y
R XY
O
M O XY
Z
X

10. Частные случаи приведения системы сил:

R 0; M O 0
система сил
приводится к одной
паре, лежащей в
плоскости действия
сил с моментом M O
(причем это
свободный вектор).
MO
Z
X
O
Y

11.

R 0; M O 0
система сил приводится к
равнодействующей ,
приложенной в центреО.
R 0; M O 0
система сил приводится к
равнодействующей ,
проходящей через точку
С, положение которой
определяется
равенством
OC d M O / R; OC R
R
Z
O
X
Y
Z
R
R
C
X
O
d
Y
R

12.

R 0; M O 0
система сил уравновешена.
Теорема: Для равновесия любой
системы сил необходимо и достаточно,
чтобы главный вектор и главный
момент этой системы относительно
любого центра (точки) были равны
нулю.

13. РАВНОВЕСИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

Необходимые и достаточные условия
равновесия твердого тела, находящегося под
действием произвольной плоской системы сил
имеют вид
R 0; M O O
Из этих векторных уравнений следуют три
формы аналитических условий
равновесия.

14. Основная форма условий равновесия

для сил, лежащих в плоскости ОХУ:
F
0; FkY 0; mO ( Fk ) 0.
Для равновесия произвольной плоской
системы сил необходимо и достаточно,
чтобы сумма проекций сил на каждую из
координатных осей и сумма моментов сил
относительно любой точки, лежащей в
плоскости действия сил, были равны нулю.
kX

15. Вторая форма условий равновесия:

F 0; m ( F ) 0; m ( F ) 0,
kX
A
k
B
k
OX не AB.
Для равновесия произвольной плоской
системы сил необходимо и достаточно,
чтобы суммы моментов всех сил
относительно двух точек А и В и сумма
их проекций на ось ОX, не
перпендикулярную прямой АВ, были
равны нулю.

16.

AB не OX
правильно
Y
AB OX
R
Y
B
B
A
O
A
X
O
m
X
A
0; mB 0; FX 0,
но R 0, система не уравновешена!

17. Третья форма условий равновесия

m ( F ) 0; m ( F ) 0; m
A
k
B
k
C
( Fk ) 0,
точки A, B, C не лежат на одной прямой .
Для равновесия произвольной плоской
системы сил необходимо и достаточно,
чтобы суммы моментов всех сил
относительно любых трех точек А, В и
С, не лежащих на одной прямой,
были равны нулю.

18.

A, B, C лежат на
A, B, C не лежат на
одной прямой
правильно
Y
B
A
O
одной прямой
R
Y
С
С
X
O
m
B
A
X
A
0; mB 0; mC 0,
но R 0, система не уравновешена!

19.

Для проверки решения задачи
на равновесие плоской системы сил
составляют сумму моментов всех сил
относительно других точек или строят в
масштабе многоугольник всех сил,
действующих на тело. Если
проверочное уравнение обращается в
тождество, а многоугольник сил
замкнут, то задача решена верно.

20. РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ

Пусть все силы лежат в
плоскости О1XY. При
приведении этой системы
сил к произвольному центру
(точке) О получим главный
вектор R // F1 , F2 ,...Fn ,
приложенный в точке О, и
пару сил с моментом M O
//O1Z.
Y
O1
Z
F1
R
Fn
O
F2
MO
X

21.

Расположим ось О1Y
параллельно силам F1 , F2 , Fn ,
тогда вектор M O
перпендикулярен
плоскости О1XY и его
F1
можно считать
Y
величиной
алгебраической
Из условия R 0; M O 0
следуют две формы
аналитических условий
F2
равновесия
O1
плоской системы
параллельных сил.
R
MO O
Fn
X

22. Основная форма условий равновесия

Для равновесия плоской системы
параллельных сил необходимо и
достаточно, чтобы сумма проекций всех
сил на ось О1Y, параллельную им, и
сумма их моментов относительно
любой точки О, лежащей в плоскости
действия сил О1XY, были равны нулю.
F
kY
0; M O 0
точка О любая в плоскости О1 XY

23. Вторая форма условий равновесия:

Для равновесия плоской системы
параллельных сил необходимо и
достаточно, чтобы суммы моментов
всех сил относительно любых двух
точек А и В (причем прямая АВ не
параллельна силам), были равны
нулю
M
A
0; M B 0;
AB не паралльна силам

24.

Y
Y
R
B
B
O
A
X
O
A
X
R 0, а M A 0, M B 0

25. РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ НАГРУЗКИ

равномерно распределенная
вдоль прямой нагрузка. Это
система параллельных сил,
которая характеризуется
постоянной интенсивностью q
- значением силы, приходящейся
на единицу длины нагруженного
участка АВ длиной а.
Размерность распределенной
нагрузки [q] = H/м.
При статических расчетах эту
систему параллельных сил
заменяют равнодействующей ,
приложенной в середине отрезка
АВ, ее модуль равен
Q=
q×a.
а
А
А
q
Q
а/2
В
В

26.

Неравномерно
распределенная
нагрузка.
Параллельные силы
увеличиваются от нуля до
qmax по линейному закону.
Равнодействующая таких сил
по модулю равна площади A
треугольника АВС,
Q = 0,5×qmax×a.
Линия действия
равнодействующей силы
проходит через центр
тяжести треугольника, т. е.
на расстоянии a/3 от точки
В.
a
Cq
max
B
Q
a/3

27. РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ ТЕЛ

Связи между частями конструкции
называются внутренними (шарнир С),
скрепляющие конструкцию с другими телами,
- внешними (шарниры А и В).

28.

Для определения внутренних и внешних
реакций связей трех шарнирной арки
расчленим конструкцию по
соединительному шарниру С на две
части и рассмотрим равновесие каждой
из частей в отдельности.

29.

При действии на трех шарнирную арку
заданной произвольной плоской
системы сил для каждой части можно
записать по три уравнения равновесия:
дляАС
дляСВ

30. Статически определимые системы тел

Системы тел (тело), для которых число
неизвестных реакций связей равно
числу уравнений равновесия, называются
статически определимыми. Если число
неизвестных реакций связей больше
числа уравнений равновесия (на одно,
два и т.д.), то системы тел называются
статически неопределимыми
(соответственно один, два и т.д. раза). Такие
задачи невозможно решить методами
статики.