Приведение системы сил к данному центру

1.

СТАТИКА
4. Приведение системы сил к данному центру

2.

Момент силы
Виды момента силы
Различают следующие виды момента силы:
а) векторный момент силы относительно центра;
б) алгебраический момент силы относительно центра;
в) момент силы относительно оси.
Векторный момент силы относительно центра.
Опр. Точку, относительно которой берется момент силы
называют моментной точкой (или центром момента).
Опр. Кротчайшее расстояние от линии действия силы до
моментной точки называется плечом силы - h.

3.

центра
Опр. Векторным моментом силы F относительно
(F ),
О называется приложенный в центре О вектор mO
модуль которого равен произведению модуля силы F
на ее плечо h и который направлен перпендикулярно
плоскости, проходящей через центр О и силу, в ту сторону,
откуда сила видна стремящейся повернуть тело вокруг
центра О против хода часовой стрелки.
| mO ( F ) | | F | h.
Алгебраический момент
силы относительно центра
F
mO(F)
О h
А
r
Определение.
Алгебраическим моментом
силы F относительно центра О называется скалярная
величина равная взятому с соответствующим знаком
произведению модуля силы на ее плечо, то есть
mO ( F ) | F | h.

4.

Алгебраический момент имеет знак плюс, если сила
стремится повернуть тело вокруг моментной точки против
хода часовой стрелки
mO ( F1 ) | F1 | h1 0,
и знак минус – когда по ходу часовой стрелки
mO ( F2 ) | F2 | h2 0.
Алгебраический моментом силы
относительно моментной точки О равен
нулю, если линия действия силы проходит
через моментную точку
mO (Q ) 0.
Q
F2
Физический смысл момента силы. Момент силы
характеризует ее вращательный эффект.
h2
О
F1
h1

5.

Примеры вычисления алгебраических моментов сил.
F, Q и Р
1. Найти моменты сил
относительно точки В при
размерах (м), указанных на рисунке.
mB ( F ) F 3,
mB (Q) Q 2,
А
m B ( Р ) 0.
2. Найти момент наклонной
силы F относительно точки
А. Размеры (м) и угол указаны
на рисунке.
m A ( F ) F 3 sin( 600 ),
так как
h = 3 sin 600.
3
3
F
Р
2
Q
2
В
2
1
3
F
А
h
В

6.

Момент силы относительно оси
Опр. Проекция вектора mO (F ),
то есть момента силы F ,
относительно центра О, на какуюнибудь ось z, проходящую через
этот центр, называется
моментом силы F относительно
оси z, т. е.
mZ ( F ) | mO ( F ) | cos( ).
z
F
тZ (F)
mO(F)
Fхуу
О
О1
h
Можно показать, что момент силы F относительно оси z
равен алгебраическому моменту проекции этой силы на
плоскость, перпендикулярную оси z, взятому относительно
точки О1 пересечения оси с этой плоскостью, т.е.
mZ ( F ) | Fху | h.

7.

Знак момента силы относительно оси z определяется также
как и знак алгебраического момента силы.
Момент силы относительно оси
равен 0, если сила лежит в одной
плоскости с осью.
z
F
Q

8.

Задание
Задание
По ребрам прямоугольного
параллелепипеда направлены
силы.
Момент силы относительно
оси ОХ равен...
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) F c
2) F b
2
2
3) F с b
4) 0

9.

Задание
Задание
Сила F лежит в плоскости
FOxу
АВСD и приложена в точке В.
Момент силы относительно оси
оy равен...
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) F c sin
2) F а sin
3) F b cos
4) F c cos

10.

Понятие пары сил.
Опр. Парой сил называется система двух равных по
модулю, параллельных и направленных в противоположные
стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело.
/
Система сил F , F , образующих пару сил, не находится в
равновесии (эти силы не направлены вдоль одной прямой).
Опр. Плоскость, проходящая через линии действия пар сил,
называется плоскостью действия пары.
Опр. Кротчайшее расстояние d
между линиями действия сил пары
называется плечом пары.
d
В
F //
F
А

11.

Виды момента пары.
Различают следующие два вида моментов пары сил:
а) векторный момент;
б) алгебраический момент.
Векторный момент пары.
m
,
Опр. Векторным моментом пары сил называется вектор
модуль которого равен произведению модуля одной из сил пары
на ее плечо и который направлен перпендикулярно плоскости
действия пары в ту сторону, откуда пара видна стремящейся
повернуть тело против хода часовой стрелки: т = F d.
F
d
В
F/
А
т

12.

Выводы:
1. Действие пары сил на твердое тело полностью
характеризуется ее векторным моментом.
2. Две пары сил, имеющие одинаковые векторные моменты
эквивалентны.
3. Векторный момент можно
приложить в любой точке , то есть
это вектор свободный.
В дальнейшем на чертеже пару сил
будем изображать ее векторным
моментом.
F
d
А
В
F/
т
т
т

13.

Теоремы о сложении пар
Теорема 1. Действие на твердое
тело
двух пар сил с моментами m1 и m2
m
можно заменить
m1
одной парой сил
с моментом m, равным
m2
геометрической сумме моментов
складываемых пар
m m1 m2 .
II
I
Теорема 2. Система пар, действующих на абсолютно твердое
тело, эквивалентна одной паре с моментом, равным
геометрической сумме моментов складываемых пар, то есть:
M m1 m2 ... mn mk ,
где m1 , m2 ,..., mn – моменты складываемых пар, а М –
момент равнодействующей пары.

14.

Условие равновесия системы пар
При равновесии системы пар момент равнодействующей пары
будет равен нулю, то есть
M mk 0 .
Последнее условие является условием равновесия системы пар.
Алгебраический момент пары
Опр. Алгебраическим моментом пары называется
алгебраическая величина равная взятому с соответствующим
знаком произведение модуля одной из сил пары на ее плечо:
m | F | d F d .

15.

Знак момента пары определяется
также как и знак момента
/
силы. Момент пары F , F определяется
по формуле
/
m1 = F d1 >0. Момент пары Р, Р определится по формуле
m2 = Р d2< 0.
В случае плоской системы пар их
принято изображать в виде круговой
стрелки с указанием величины
момента.
Действие на тело плоской системы пар
эквивалентно одной паре с моментом М
равным алгебраической сумме моментов
складываемых пар, то есть М = ∑ mк , а
условие равновесия системы пар имеет
вид:
∑ mк = 0.
d1
F
F
Р
d2
/
Р/
т1
т2

16.

Задание
Задание
Даны пары сил, у которых F = 3Н, h = 6м,
Q = 2Н, d = 5м.
После сложения, сила результирующей пары
при плече l =10м будет равна …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
Обоснование ответа.
Момент результирующей пары будет
М = - Р l = - F h - Q d.
Откуда
Р = (F h + Q d)/l = (3 6 + 2 5)/10 = 2,8 Н.
1) 1H
2) 1,8H
3) 2,8H
4) 5H
5) 3,7H

17.

Теорема о параллельном переносе силы
Теорема. Силу, приложенную к абсолютно твердому телу,
можно, не изменяя оказываемого ею действия, переносить из
данной точки в любую другую точку тела, прибавляя
при этом пару с моментом, равным моменту переносимой
силы относительно точки, куда сила переносится.
Доказательство
Пусть
на тело действует сила
F , приложенная в точке А.
т
т
F
/
F
F
/
А
А
В
Действие этой силы на тело
В
F //
не изменится, если в любой
точке тела В приложить
/ //
/ две
//
уравновешенные силы F и F , такие, что F F , F F .
//
Система сил F , F образует пару сил. Векторный момент
этой пары m mB (F ).
F

18.

Таким образом, при переносе силы F из точки А в
произвольную точку В необходимо добавить векторный
момент , направленный перпендикулярно плоскости,
проходящей через линию действия силы F и точку В.
Теорема о приведении системы сил (теорема Пуансо)
Теорема. Любая система сил, действующих на абсолютно
твердое тело, при приведении к произвольно выбранному
центру О заменяется одной силой R, приложенной в центре
приведения О, и одной парой с моментом M О , равным
главному моменту системы сил относительно центра О.
Было установлено, что главный вектор системы сил - R Fk .
Опр. Величина М 0 , равная геометрической сумме моментов
всех сил относительно центра О, называется
главным
моментом системы сил, то есть М 0 m0 ( Fk ).

19.

Пусть к телу приложены силы: F1 , F2 ,..., Fn .
Применим теорему о параллельном переносе сил в точку О.
/ /
/
Заменим «ёжик» сил F1 , F2 ,..., Fn главным вектором R,
а «ёжик» моментов m1 , m2 ,..., mn – главным моментом
М 0 mk .
т1
F1/ А1
т2
тn
О
Аn
F2/
F1
А2
M0
R
F2
О
Fn/
Fn
Замеч1. Сила R не является равнодействующей данной
системы сил, так как заменяет систему сил не одна, а вместе
с парой сил.

20.

Замеч2. Значение
сила R от выбора центра О не зависит.
Значение же М 0 при изменении положения центра может
в общем случае изменяться в следствии изменения значений
моментов отдельных сил. Поэтому всегда необходимо
указывать, относительно какого центра определяется
главный момент.
Следствие из теоремы. Две системы сил, имеющие одинаковые
главные векторы и главные моменты относительно одного и
того же центра, эквивалентны.
Частные случаи приведения системы сил к центру.
1. Если для данной системы сил R 0, a M 0 0, то она
приводится к одной паре сил с моментом М 0 .
2. Если для данной системы сил R 0, a M 0 0, то она
приводится к одной силе, то есть к равнодействующей, равной
R и приложенной в центре О.

21.

Геометрические условия равновесия системы сил
Теорема о равновесии любой системы сил.
Для равновесия любой системы сил необходимо и
достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее
главный момент относительно любого центра были равны
нулю, т.е. чтобы выполнялись
условия
(*)
R 0, M 0 0.
Теорема Вариньона о моменте равнодействующей:
Теорема. Если данная система сил
имеет равнодействующую, то
момент равнодействующей
относительно любого центра О равен
сумме моментов сил системы
относительно того же центра, т.е.
m0 ( R) m0 ( Fk ).
z
Fn
C
О
х
F2
R
F1
у