Similar presentations:
Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы
1.
Московский государственный университет путейсообщения
Вынужденные колебания системы с
одной степенью свободы
Курбацкий Евгений Николаевич
профессор кафедры “Мосты и тоннели”,
д.т.н.
2.
Вынужденные гармонические колебаниясистемы с одной степенью свободы с учётом
вязкого демпфирования
mu(t ) cu(t ) ku(t ) P sin t
P
u(t ) 2 0u(t ) u(t ) sin t
m
k
с
2
0 ; ; ссr 2m ;
m
ссr
2
0
ui
2
ln
ui 1
1 2
2
3.
Принятые обозначенияP аплитуда вынуждающей гармонической силы;
частота вынуждающей гармонической силы;
0 частота собственных колебаний системы
без учёта сил сопротивления;
D частота собственных колебаний системы
c учётом сил сопротивления D 0 1 ;
2
относительный коээфициент демпфирования;
4.
Некоторые сведения из краткого курсаматематического анализа
P
u (t ) 2 0u (t ) u (t ) sin t (1)
m
2
u (t ) 2 0u (t ) 0 u (t ) 0
(2)
2
0
Общее решение уравнения с правой частью (1)
можно составить как сумму общего решения
соответствующего уравнению без правой части (2) и
какого либо частного решения данного уравнения (1)
5.
Общее решение однородного инеоднородного дифференциального
уравнения
P
u (t ) 2 0u (t ) u(t ) sin t (1)
m
u p (t ) C sin t D cos t
2
0
u (t ) 2 0u (t ) u (t ) 0
2
0
Acos D t B sin D t
u (t ) e t Acos D t B sin D t
uc (t ) e
0 t
0
C sin t D cos t
(2)
6.
Определение констант А и В однородногодифференциального уравнения
u u(0) u u u(0)
u(t ) 2 0u(t ) u(t ) 0
2
0
uc (t ) e
0 t
A u (0);
u (t ) e
0t
(2)
Acos D t B sin Dt
B
u (0) 0u(0)
D
u (0) 0u(0)
sin D t
u (0)cos D t
D
7.
Определение констант С и D решениянеоднородного дифференциального
уравнения
P
2
u(t ) 2 0u(t ) 0 u(t ) sin t ( a )
m
u p (t ) C sin t D cos t
( b)
Подставив (а) в (b), получим
02 2 C 2 0 D sin t
P
2 0 C C
D cos t sin t
m
2
0
2
8.
Для определение констант С и D приравняемкоэффициенты левой и правой части уравнения
при одинаковых тригонометрических функциях
02 2 C 2 0 D sin t
P
2 0 C D cos t sin t
m
2
0
2
Получим систему уравнений:
P
C 2 0 D m
2
2
2 0 C 0 D 0
2
0
2
9.
Общее решение дифференциального уравненияколебаний системы с одной степенью свободы при
гармоническом воздействии с учётом сил
сопротивления пропорциональных скорости
Обозначим :
o
u (t ) e
0t
A sin D t B cos D t
C sin t D cos t;
P
1
P
2
С
; D
;
2
2
2
2
k 1 2 2
k 1 2 2
2
10.
Колебания с частотой вынуждающей силыu (t ) e
0t
A sin D t B cos D t
C sin t D cos t;
при t e
Aв С D
2
0t
2
0 u (t ) C sin t D cos t
C
D
sin и
co s
Aв
Aв
u (t ) Aв cos sin t sin cos t
u (t ) Aв sin t
11.
Вынужденные колебания системы с однойстепенью свободы при гармоническом
воздействии с учётом сил сопротивления
пропорциональных скорости
12.
Вынужденные колебания системы с однойстепенью свободы при гармоническом
воздействии с учётом сил сопротивления
пропорциональных скорости
13.
Вынужденные колебания системы с однойстепенью свободы при гармоническом
воздействии с резонансной частотой
14.
Зависимость амплитуд вынужденных колебанийот отношения частоты собственных колебаний к
частоте вынуждающей силы
15.
ЗаключениеПри частоте возмущающей силы близкой к
собственной частоте амплитуды вынужденных
колебаний возрастают и превышают статические.
Такое явление называется резонансом.
В
системах
с
малым
коэффициентом
демпфирования амплитуды при резонансах могут
достигать больших значений.
Демпфируемые системы при резонансе имеют
ограниченные амплитуды:
umax ust 1 / 2
16.
Реакция системы с одной степеньюсвободы на импульс
u (t ) 2 0u(t ) 02 u (t ) 0
Решение при начальныхусловиях : u (0) и u (0)
u (t ) e
0t
u (0) 0 u(0)
sin D t
u (0) cos D t
D
при u (0) 0,
u (t ) e
0t
u(0)
D
sin D t
17.
Дифференциальное уравнение системы приимпульсивном воздействии можно записать,
используя обобщённые функции
mu (t ) cu (t ) ku (t ) mu (0) (t )
u (t ) 2 0 u (t ) 02 u (t ) u (0) (t )
где (t ) дельта функция Дирака ,
имеет размерность 1 / сек и
обладает следующими свойствами :
(t ) 0 при t 0; (t ) при t 0;
(t )dt 1
18.
Реакция системы с одной степеньюсвободы на произвольное воздействие
mu (t ) cu (t ) ku (t ) P (t );
u (0) 0; u(0) 0;
Для определения решения произвольная сила
рассматривается как последовательность импульсов бесконечно малой продолжительности.
19.
Реакция системы с одной степеньюсвободы на единичный импульс
Рассмотрим силу, действующую в момент
времени t в течении малого интервала времени
p (t ) 1 / ;
При 0
величина силы становится
бесконечно большой но интеграл по времени
остаётся равным единице. Такую силу называют
единичным импульсом.
Смещённая дельта функция Дирака (t )
20.
Если на массу в момент времени tв
течении бесконечно малого интервала времени
действует
единичный
импульс,
масса
приобретает начальную скорость , определяемую
выражением
1
u( )
m
При этом ни пружина, ни демпфер не успевают
среагировать. Поэтому в момент времени t
Можно сформулировать следующие
условия:
1
u( ) 0
u( )
m
начальные
21.
При таких начальных условиях уравнениедвижения массы при действии единичного
импульса можно записать в виде:
1 0 ( t )
u (t )
e
sin D (t )
m D
При отсутствии сил вязкого сопротивления:
1
u (t )
sin 0 (t )
m 0
22.
При действии произвольной силы необходимопроинтегрировать реакции от единичных импульсов, увеличенных на значения силы. Интеграл
Дюамеля
t
1
u (t )
m D
p( )e
0 ( t )
sin D (t ) d
0
При отсутствии сил вязкого сопротивления:
t
1
u (t )
p ( )sin 0 (t ) d
m 0 0
23.
Некоторые начальные сведения теорииинтегрального преобразования Фурье
Преобразованием Фурье функции u (t )
называется интеграл, определяемый
выражением F u (t )
u(t )e
i t
dt u ( )
При решении динамических задач
преобразование Фурье или интеграл Фурье
является одним из основных математических
аппаратов
24.
Некоторые начальные сведения теориипреобразования Фурье (продолжение)
Если функция u ( ) является преобразованием
(изображением ) Фурье функции u (t )
тогда
изображение Фурье производной этой функции по
времени определится выражением:
F u (t ) ( i )u ( )
второй производной выражением:
F u (t ) ( i ) u ( )
2
25.
Некоторые начальные сведения теориипреобразования Фурье (продолжение)
Таким образом дифференцированию
функции u (t ) во временной области
соответствует умножению функции
u ( ) на множитель ( i )
n
d u (t )
n
( i ) u ( )
n
dt
26.
Пример использованияпреобразования Фурье
Дифференциальное уравнение колебаний
системы с одной степенью свободы при
сейсмическом воздействии имеет вид
u (t ) 2 0u (t ) 02u (t ) u g (t )
Применим преобразование Фурье к обеим частям
уравнения обозначив u ( ) изображение Фурье
неизвестной функции u (t ) . Получим
( i ) u ( ) 2 0 ( i )u ( ) u ( ) F u g (t )
2
2
0
27.
Пример использованияпреобразования Фурье (продолжение)
( i ) u ( ) 2 0 ( i )u ( ) u ( ) F u g (t )
2
2
0
u ( ) 2 2i 0 02 F u g (t )
Выполнив необходимые преобразования,
получим изображение Фурье искомой
функции
F u g (t )
u ( ) 2
2i 0 02
28.
Для определения функции u (t ) необходимовыполнить обратное преобразования Фурье
1
u (t )
2
1
u( )
2
i t
u
(
)
e
dt
u g (t )e
2
i t
2i 0
2
0
d
Обратное преобразования Фурье можно получить,
используя стандартную программу быстрого
преобразования Фурье FFT, или получить
аналитическое выражение, используя различные
методы интегрирования
29.
Сдвиг во времениВоздействие на разные опоры сооружения
может отличаться во времени из за более
позднего прихода сейсмических волн
Преобразование Фурье позволяет довольно
просто учитывать это явление. Так как
сдвигу функции во временной области
соответствует умножение на экспоненту в
области изображений.
il
l
F u g (t ) F u g (t ) e
30.
Пример амплитудного спектра землетрясения31.
Графики ускорений, скоростей и перемещенийповерхности грунта при землетрясении
32.
Амплитудный спектр землетрясения Northridgeearthquake Santa Monica City Hall
33.
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯИсходные данные :
высота колонн: l 5 м ;
жёсткость колонны при изгибе : EI 20 108 Нм2 ;
масса пролёта: m 6 10 4 кг ;
массой колнн можно пренебречь.
u g ur
ua
l
EI
l
EI
l
Расчётная схема
34.
Исходные данные1. Определение жёсткости колон при изгибе (см. лекцию №2):
k
l
EI
l
12EI
l3
35.
Исходные данныеВариант 1
Жёсткое закрепление обеих концов колон.
Жесткость эквивалентной пружины 12 EI 24 20 108
8
kж 2 3
3.84
10
N/м
3
l
5
Масса пролётного строения - m 6 104 кг
Частота собственных колебаний
kж
3.84 108
n
80,0 рад / сек
4
m
6 10
36.
Исходные данныеВариант 2
Жёсткое закрепление обеих концов колон.
Жесткость эквивалентной пружины 12 EI 24 20 108
6
kж 2 3
48.0
10
N/м
3
l
10
Масса пролётного строения - m 6 104 кг
Частота собственных колебаний
kж
48.0 106
n
28, 28 рад / сек
4
m
6 10
37.
Примеры акселерограмм колебаний грунтапри землетрясении (Loma Prieta)