Вынужденные колебания. Резоннанс

1.

General Physics NRNU MEPhI
Колебательное движение.
Лекция 03
24 февраля 2021
Вынужденные колебания. Резоннанс.
Лектор: доцент НИЯУ МИФИ,
Андрей Станиславович ОЛЬЧАК

2.

Уравнение гармонических колебаний
Уравнение гармонических колебаний
x’’(t) + ω02x(t) = 0 выводится
из второго закона Ньютона для ЛЮБОЙ системы, движущейся под действием
квазиупругой силы F
= -kx(t), где коэффициент пропорциональности k
зависит от природы системы, ω02 = k/m
Уравнение гармонических колебаний
x’’(t) + ω02x(t) = 0 возникает
ВСЕГДА, когда материальная точка движется в поле с потенциальной энергией,
= kx2/2.
ω02 = k/m
параболически зависящей от отклонения от положения равновесия: U
Коэффициент k зависит от природы потенциального поля сил.

3. Гармонические колебания

Уравнение гармонических колебаний:
x’’(t) + ω02x(t) = 0
Общее решение этого уравнения:
x(t) = Acos(ω0 t + φ0),
А - амплитуда колебаний и φ0 - начальная фаза колебаний
(определяются из начальных условий задачи).
Энергия гармонических колебаний:
T = mV2/2 = mA2ω02 sin2(ω0 t + φ0)/2
U = kx2/2 = kA2cos2(ω0 t + φ0)/2
E = mA2ω02/2 =mVmax2/2 = kA2/2 = Const
3

4. Затухающие колебания

Если учесть еще сопротивления среды (трение),
F = -rx’(t):
mx’’(t) + ω02x(t) = - (r/m)x’(t)
Или
x’’(t) + 2βx’(t) + ω02x(t) = 0
где ω02 = k/m; β = r/2m = 2β.
Решение уравнения мы искали с помощью подстановки:
x(t)=А exp(-аt+iωt + iφ0) и нашли:
x(t)=А Re[exp(-βt+iωt + iφ0)] = Аexp(-βt)cos(ωt+φ0)
Причем ω = (ω02 - β2)1/2 - круговая частота затухающих
колебаний. При ω0 <β колебаний не будет совсем.
4

5.

Затухающие колебания
= А(t)(cos(ωt +φ0)) соответствует гармоническим
колебаниям с круговой частотой ω = (ω02 - β2)1/2 и с экспоненциально
затухающей амплитудой А(t)=А exp(-βt).
Решение
Также экспоненциально убывает энергия затухающих колебаний:
E(t) =kA2(t)/2 =kА2 exp(-2βt)/2 =E0(t=0)exp(-2βt)
.
Важные
характеристики затухающих колебаний:
T = 2π/ω = 2π/(ω02 - β2)1/2
Декремент (decrement) затухания exp(βT) = A(t)/A(t+T)
Логарифмический декремент затухания λ= βT.
Добротность (Q-factor) Q = π/λ = ω/2β = (ω02 - β2)1/2 /2β
- “Период” (period) колебаний
-
5

6.

Затухающие колебания
Свободные затухающие колебания.
6

7. Вынужденные колебания

Рассмотрим систему, где действуют квази-упругая сила трение -
kx(t), \
rx’(t) , но есть еще и третья, вынуждающая периодическая сила:
mx’’(t) = - kx(t) - rx’(t) + Fв(t)
Если вынуждающая сила зависит от времени по гармоническому закону:
x’’(t)+ 2βx’(t) + ω02x(t) = (Fв/m)cos(ωвt)
Попробуем найти решение этого уравнения в виде:
x(t) = Аcos(ωвt - α)
Подставляя предполагаемую функцию – решение в уравнение, находим:
A(ω02-ωв2)cos(ωвt - α) – 2Aβωвsin(ωвt - α)=
=(Fв/m)cos(ωвt)
7

8. Вынужденные колебания

Перепишем полученное трансцедентное уравнение
A(ω02-ωв2)cos(ωвt - α) – 2Aβωвsin(ωвt - α)= =(Fв/m)cos(ωвt)
в виде: AZ[X
cos(ωвt - α) - Ysin(ωвt - α)]=(Fв/m)cos(ωвt)
X = (ω02-ωв2)/Z;
Y = 2βωв/Z
Z2 = (ω02-ωв2)2 + 4β2ωв2
Важно, что X2 + Y2 = 1, то есть - можно выразить их через
где:
гармонические функции одного аргумента:
X = cos(φ);Y = sin(φ), где φ = arccos(X) = arcsin(Y)
8

9. Вынужденные колебания

Итак, имеем:
AZ(X cos(ωвt - α)-Ysin(ωвt - α))=(Fв/m)cos(ωвt)
где: Z = ((ω02-ωв2) + 4β2ωв2)1/2
X= (ω02-ωв2)/Z = cos(φ); Y = 2βωв/Z = sin(φ),
Или φ = arccos(X) = arcsin(Y)
Перепишем еще раз:
AZ(cos(φ)cos(ωвt-α)-sin(φ)sin(ωвt-α))=(Fв/m)cos(ωвt)
Если φ
= α, AZ = (Fв/m) - уравнение удовлетворено (!) и
решение найдено:
x (t)= (Fв/mZ)cos(ωвt - α)
9

10. Вынужденные колебания

Итак, под воздействием периодической вынуждающей силы система будет
совершать вынужденные колебания с частотой внешней вынуждающей силы
x (t)= (Fв/mZ)cos(ωвt - α)
Однако, амплитуда этих колебаний
A = Fв/mZ = Fв/m((ω02-ωв2)2 + 4β2ωв2)1/2
и их отставание по фазе от вынуждающей силы
а = arcsin(2βωв/((ω02-ωв2)2 + 4β2ωв2)1/2)
будут зависеть также и от параметров системы, а именно от собственной частоты
колебаний ω0 и от коэффициента затухания β.
10

11.

Вынужденные колебания
Вид зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешней
вынуждающей силы
A = Fв/mZ = Fв/m((ω02-ωв2)2 + 4β2ωв2)1/2
показан на рисунке.
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты
вынуждающей силы.
11

12. Резонанс

Вид зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей
силы
A = Fв/mZ = Fв/m((ω02-ωв2)2 + 4β2ωв2)1/2
показан на рисунке.
Если β <<ω0, то амплитуда
колебаний резко возрастает при
ωв ->ω0. Это явление - резкий рост
амплитуды колебаний при
приближении частоты внешней
вынуждающей силы ωв к
собственной частоте колебаний
системы ω0 - называется резонанс.
12

13. Резонанс

Вид зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей
силы
A = Fв/mZ = Fв/m((ω02-ωв2)2 + 4β2ωв2)1/2
показан на рисунке.
Точное значение резонансной частоты ωр
при которой амплитуда вынужденных
колебаний достигает максимума, можно
рассчитать, взяв производную от
знаменателя амплитуды по dωв и
приравняв ее нулю.
d((ω02-ωв2)2 + 4β2ωв2)/dωв =
= 4ωв(ωв2-ω02) + 8β2ωв = 0 ->
ωрез2 = ω02 - 2β2
Если ω0 >> β - резонанс наблюдается резкий.
При ω02 < 2β2 - явление резонанса не наблюдается
13

14. Резонанс

Вид зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей
силы
A = Fв/m((ω02-ωв2)2 + 4β2ωв2)1/2
показан на рисунке.
ωрез2 = ω02 - 2β2
Амплитуда колебаний в точке резонанса
зависит от амплитуды вынуждающей силы
и от параметров системы (для ω02>2β2 ):
A = Fв/2mβ(ω02-β2)1/2
Ширина резонансной кривой:
∆ω ~ β
8
Если коэффициент затухания β -> 0 (сила трения мала), то A ->
и даже незначительная вынуждающая сила может “раскачать” систему до
больших амплитуд
14

15. Резонанс

Итак, под воздействием периодической вынуждающей силы система будет
совершать вынужденные колебания
где
xв(t) = Авcos(ωвt-a)
Ав = Fв/m((ω02-ωв2)2 + 4β2ωв2)1/2
а = arcsin(2βωв/((ω02-ωв2)2 + 4β2ωв2)1/2)
При резонансной частоте ωres = (ω02 - 2β2)1/2
а = arcsin(1) = π/2
xв(t) = Аressin(ωres t)
Ares = Fв/2mβ(ω02-β2)1/2
15

16. Резонанс. Нарастание энергии колебаний

При небольшом значении амплитуды вынуждающей силы полная амплитуда
резонансных колебаний установится не сразу. Оценим скорость нарастания
энергии колебаний. Будем считать, что за один период колебаний она меняется
незначительно.
dE/dt = Fdx(t)/dt = Fвcos(ωрезt)A(t)ωрезcos(ωрезt) =FвA(t)ωрез /2
C другой стороны, усредняя по периоду колебаний, можно записать:
E(t) = (m/2)(dx(t)/dt)2 = (m/2)A2(t)ω2резcos2(ωрезt) = mA2(t)ω2рез /4
или A(t) = 2E(t)1/2/m1/2ωрез
Составляем уравнение: dE/dt = FвA(t)ωрез /2 = FвЕ(t)1/2/m1/2
и решаем: dE Е(t)-1/2 = Fвdt/m1/2 => 2Е(t)1/2 = Fвt/m1/2
=> Е(t)
= Fв2t2/4m
16

17. Резонанс разрушает мост в Оклахоме

17

18. Резонанс в электрических колебаниях

В электрическом колебательном контуре происходят
гармонические колебания напряжения (на конденсаторе) и
тока с собственной частотой, определяемой емкостью C и
индуктивностью L контура ω0 = 1/(LC)1/2
Активное сопротивление R играет роль трения в механике
и приводит к затуханию колебаний и изменению частоты:
ω = (1/LC – (R/2L)2)1/2
R/2L - аналог коэффициента затухания β
в механике.
Даже слабое внешнее воздействие (электрическое напряжение) c резонансной
частотой : ωres = (ω02 – 2β2)1/2 = (1/LC – (R/2L)2)1/2 способно
раскачать ток в контуре до больших амплитуд (если затухание R/2L невелико)
18

19.

Курс общей физики НИЯУ МИФИ
Спасибо за внимание!