Свободные затухающие и вынужденные колебания

1. Лекция 6. «Свободные затухающие и вынужденные колебания»

• Свободные затухающие колебания
• Декремент и логарифмический декремент
колебаний
• Установившиеся и вынужденные колебания
• Механический резонанс
А.С. Чуев. 2020
1

2.

Знание законов заключается не в том,
чтобы помнить их слова, а том, чтобы
постигать их смысл.
Цицерон
Все подобно всему в каком-нибудь
отношении.
Протагор
А.С. Чуев. 2020
2

3. Свободные затухающие колебания

А.С. Чуев. 2020
3

4. Анимация

А.С. Чуев. 2020
4

5.

А.С. Чуев. 2020
5

6.

А.С. Чуев. 2020
6

7. Свободные затухающие колебания

Обозначим:
А.С. Чуев. 2020
7

8.

Декремент затухания (колебаний)

9.

τ - время релаксации, время в течение
которого амплитуда затухающих
колебаний уменьшается в e (2,718) раз
А.С. Чуев. 2020
9

10.

А.С. Чуев. 2020
10

11.

Вывод формулы, определяющей период
свободных затухающих колебаний
Из формулы:
Следующие промежуточные выкладки можно опустить
А.С. Чуев. 2020
11

12.

Период затухающих колебаний
А.С. Чуев. 2020
12

13.

Корни характ. уравнения
мнимые
Корни характ. уравнения
действительные числа
А.С. Чуев. 2020
13

14.

Начало повторяется
Процесс затуханий колебаний
характеризует декремент затухания
(декремент колебаний) - отношение
амплитуды затухающих колебаний
через период
А.С. Чуев. 2020
14

15.

А.С. Чуев. 2020
15

16.

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
добротности колебательной системы

17.

А.С. Чуев. 2020
17

18.

А.С. Чуев. 2020
18

19.

Дальше частота внешней вынуждающей
силы Ω обозначается как ω
А.С. Чуев. 2020
19

20.

Вынужденные колебания
(1)
(2)
Неоднородное линейное ДУ 2-го порядка
Решением неоднородного линейного ДУ является
сумма 2-х частей: решения однородного ДУ:
А.С. Чуев. 2020
20

21.

Это общее решение:
и частное решение, не содержащее
произвольных постоянных
Предполагая, что решение имеет вид:
Дифференцируем его и подставляем в (2):
А.С. Чуев. 2020
21

22.

Три составляющих уравнения (2):
Наиболее простое решение - графическое
А.С. Чуев. 2020
22

23.

А.С. Чуев. 2020
23

24.

Из рисунка также следует:
Подставив значения а и в частное
решение, получим:
А.С. Чуев. 2020
24

25.

Начальный (переходный) и установившийся
процессы колебаний
А.С. Чуев. 2020
25

26.

Общее решение определяет переходный процесс,
поскольку присутствует экспоненциальный
множитель
Частное решение определяет установившиеся
вынужденные колебания. Частота вынужденных
колебаний определяется частотой колебаний
вынуждающей силы.
А.С. Чуев. 2020
26

27.

Определив минимум подкоренного
выражения путем дифференц –ия и
приравнивания 0, получим:
А.С. Чуев. 2020
27

28.

Резонанс

29.

30.

или АЧХ

31.

32.

или ФЧХ

33.

Добротность КС – определяется
отношением амплитуды колебаний
при резонансе к амплитуде
статического отклонения
Q
Aрез
Aст

34.

Автоколебания и параметрический резонанс
- разобрать самостоятельно
А.С. Чуев. 2020
34

35.

А.С. Чуев. 2020
35

36.

К выполнению ДЗ по колебаниям
l0
lГР
- х0
h0
h0
Положение равновесия
l0 - длина пружины в свободном состоянии;
h0 - дополнительное растяжение пружины в поле гравитации;
- х0 - начальное смещение массы от положения равновесия.
А.С. Чуев. 2020
36
mg
k

37.

F k(x h0 )
m x mg - k(x h0 )
С учетом
mg kh0
m x kx
x(t) A cos( t 0 )
x (t) A sin( t 0 )
При t = 0
x0 Aсos 0
А.С. Чуев. 2020
v 0 A sin 0
37

38.

v0
A sin 0
x0 Aсos 0
2
2
x v0
1
A A
Другой способ:
2
0
2
0
Отсюда
2
0
kx mv
kA
2
2
2
x0
0 arcсos
A
v0
A x
2
2
С учетом ω2=k/m
косинус функция четная, поэтому 0
дополнительно уточняем через тангенс
v0
0 arctg(
)
x0

39.

v1=0
l0
lГР
- х0
h0
h0
0
x(t) 0,35 cos(6,4t 42 )
0
x
А.С. Чуев. 2020
39
mg
k

40.

Конец лекции 6