Свободные и вынужденные колебания системы с одной степенью свободы

1. Лекция 3-4. Свободные и вынужденные колебания системы с одной степенью свободы

Содержание
1.Свободные колебания системы с одной
степенью
свободы
с
учетом
сил
сопротивления.
2. Свободные колебания системы с одной
степенью
свободы
без
учета
сил
сопротивления.
3. Вынужденные колебания системы с
одной степенью свободы с учетом сил
сопротивления.

2. Свободные колебания системы с одной степенью свободы

F kV
F - сила
сопротивления
Уравнение динамического равновесия
Сила инерции I

3. Корни характеристического уравнения и решение дифференциального уравнения

4. График зависимости решения у=у(t)

T
2

5. свободные колебания системы без учета сил сопротивления

6. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы

Вынужденными называются колебания механической
системы, на массу которой кроме восстанавливающей
силы, силы сопротивления и силы инерции действует еще
возмущающая сила, изменяющаяся во времени.
Уравнение динамического
равновесия
Y 0,
R F I P(t ),
k / r
P
y y y Sin t ,
m
m
m
y y o yч ,
//
P(t)=Psin θt,
kt
2m
y ao e Sin ( t o ) yст Sin ( t )

7. Формулы для сдвига фазы и динамического коэффициента

ε – сдвиг фазы вынужденных колебаний по отношению к
колебаниям возмущающей силы, характеризует величину
опережения
k
arctg m 2
2
μ – динамический коэффициент гармонической нагрузки, показывает во
сколько раз ее динамическое действие превышает статическое действие
ее амплитуды.
1
(1
2
k 2
)
(
)
2
m 2
2
1
(1
2
2
)
(
)
2
,
2
k
коэффициен т
сопротивления,
m
2
T
период
собственных
колебаний ,
2
T
период
вибрационной
нагрузки .

8. Зависимость динамического коэффициента от отношения частот

9. Примеры решения задач

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. На стальной балке находится работающий
двигатель весом G=200 кг (рис. 1а), создающий при
N=2000 об/мин вибрационную нагрузку с амплитудой P0=10
кг. Решить четыре задачи динамики при следующих
данных: балка двутавр №60 с моментом инерции
I=76806 см4 и моментом сопротивления изгибу W=2560 см3,
модуль упругости стали E=2 106 кг/см2, допустимое
напряжение [ ]=1600 кг/см2.
Решение. Вначале представим исходные данные в системе
СИ:
P0=98 Н; G=1960 Н; E=19,6 1010 Н/м2; I=7,68 10-4 м4;
W=2,56 10-3 м3; [ ]=1,57 108 Н/м2.

10. Построение единичной и динамический эпюр изгибающих моментов

11. Определение перемещения массы от единичной инерционной силы

2
M
1
2 1
18
18
7
δ dx 3 3 3 2
1,19 10
10
4
EI
2
3 EI
EI 19,6 10 7,68 10

12. Определение частоты собственных колебаний

ω
g
g
9,8
204,5
7
yст
G δ
1960 1,19 10

13. Определение частоты внешней нагрузки и динамического коэффициента

.
π N 3,14 2000
209,4
30
30
(c-1).
θ ω 209,4 204,5
0,024 0,3
ω
204,5
1
1
μ
20,58
2
2
( / ω ) 1 1,024 1
M дин (G μP0 )M
max
σ дин
(G μP0 )M
W
max
(1960 20,58 98) 3
6
4,6
6
10
2,56 10 3
max
σ дин
σ дин
<

14. Пример 2

На раме с сосредоточенной массой
m=500 кг и размерами l=5 м работает
двигатель,
создающий
при
N=1200 об/мин вибрационную нагрузку с
амплитудой P0=15 кг (рис. 2 а).
Остальные данные такие же, как в
примере 1. Пренебрегая собственным
весом двигателя и стержней рамы,
решить четыре задачи динамики.

15.

Решение.
1. Расчет на собственные колебания
Если
не
учитывать
продольные
колебания стержней и их массы, то раму
можно рассматривать как динамическую
систему с одной массой, колеблющейся
под
воздействием
вертикальной
составляющей вибрационной нагрузки.
Поэтому при определении частоты
собственных
колебаний
можно
воспользоваться формулой .

16. Метод сил. Единичная эпюра изгибающих моментов

17. Определение частоты собственных колебаний

11 X1 1P 0
M M1 X1 M P
M MP l 5
l l 7 l3
7 53
δ
l l 4
10
4
EI 6EI 8
8 2 48 EI 48 19,6 10 7,68 10
1,211 10 7.
1
1
ω
128,5
7
mδ
500 1,211 10

18. Проверка на резонанс

Вычислим круговую частоту вращения
двигателя:
π N 3,14 1200
125,6
(c-1).
30
30
Тогда .
θ ω 125,6 128,5
0,022 0,3
ω
128,5
Значит, колебания системы происходят в
резонансно-опасной зоне.

19. Проверка динамической прочности

1
1
μ
22,4
2
2
( / ω ) 1 0,977 1
max
M дин
max
σ дин
max
yвибр
μ P0 M
max
5
22,4 15 9,81 l 10300
8
max
M дин
10300
6
4,023
10
W
2,56 10 3
μ yст μ P0 δ
σ дин 5,23 10 7
22,4 15 9,81 1,211 10-7=3,992 10-4 (м)≈0,4 (мм).