Презентация на тему _Решение СЛАУ методом Крамера+

1. Решение систем линейных уравнений методом Крамера

2. Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), содержащей m линейных уравнений и n неизвестных, называется система вида

3.

Метод Крамера основан на использовании
определителей в решении систем линейных
уравнений.
Метод Крамера может быть использован в решении
системы стольких линейных уравнений, сколько в
каждом уравнении неизвестных.
Определитель, составленный из коэффициентов при
неизвестных, называется определителем системы и
обозначается
(дельта).
a11 a12
a21 a22
=
... ...
an1 an 2
... a1n
... a2 n
... ...
... ann

4.

Теорема Крамера .
Если определитель системы отличен от нуля, то
система линейных уравнений имеет одно единственное
решение, причём неизвестное равно отношению
определителей. В знаменателе – определитель системы,
а в числителе – определитель, полученный из
определителя системы путём замены коэффициентов
при этом неизвестном свободными членами.
i
xi =

5.

A11 b1 + A21 b2 + ... + An1 bn
x1 =
b1
b2
...
bn
a12
a22
...
an 2
... a1n
... a2 n
= A11 b1 + A21 b2 + ... + An1 bn
... ...
... ann

6.

Если = 0 и по крайне мере один из
определителей 0 , то система не имеет
решения.
i
Если = 0 и i = 0 , система либо не
имеет решения, либо имеет бесконечно
много решений.
В этих случаях решить СЛУ методом
Крамера нельзя. Нужно выбрать другой
метод.

7.

Алгоритм решения СЛАУ методом Крамера
1. Составить определитель системы
2. Вычислить определитель Δх, Δу, Δz ….
3. Найти решение системы по формулам:
у
х
У=
Х=
4. Записать ответ
z
Z=

8. Решение систем уравнений с двумя переменными

a1 x + b1 y = c1
a2 x + b2 y = c2
a1
=
a2
b1
b2
c1
x =
c2
a1
y =
a2
c1
c2
b1
b2
x
x=
y=
y

9.

5 x − 3 y = 7
2 x + 3 y = 7
=
x =
5 −3
2
3
7 −3
7
3
= 5 3 − 2 ( −3) = 21 0
= 7 3 − 7 ( −3) = 42
5 7
= 5 7 − 2 7 = 21
y =
2 7

10.

x
42
=
x=
=2
21
y
21
=1
y=
=
21
Ответ: (2; 1)

11. Решение систем уравнений с тремя переменными

a1 x + b1 y + c1 z = d1
a2 x + b2 y + c2 z = d 2
a x + b y + c z = d
3
3
3
3
d1
x = d2
d3
b1
b2
b3
x
x=
c1
c2
c3
a1
b1
c1
= a2
b2
c2
a3
b3
c3
a1
d1
c1
a1
b1
d1
y = a2
d2
c2
z = a2
b2
d2
a3
d3
c3
a3
b3
d3
y=
y
z
z=

12. Решение систем уравнений с тремя переменными

3x + 2 y − 4 z = 8
2 x + 4 y − 5 z = 11
4 x − 3 y + 2 z = 1
3
2
−4
4 −5
= 2 4 −5 = 3
−3 2
4 −3 2
−2 4 2 +
2 −5
= 3 (8 − 15) − 2 ( 4 + 20 ) −4 ( ( −6) − 16) =
= 3 ( −7 ) − 2 24 −4 ( −22 ) =
= −21 −48 +88 = 19
2 4
=
( −4 )
4 −3

13.

8
2
−4
x = 11
4
−5 = 8
1
−3
2
4
−5
−3
2
−2
11 −5
1
2
+ ( −4 )
11
4
1
−3
= 8 (8 − 15) −2 ( 22 − ( −5) ) −4 ( ( −33) − 4) =
= 8 ( −7 ) −2 27 −4 ( −37 ) = −56 −54 +148 =38
x 38
x=
=
=2
19
=

14.

3
8
−4
y = 2 11 −5 = 57
4
1
2
3
2
8
z = 2
4
11 =19
4 −3
1
Ответ: (2; 3; 1)
y
57
y=
=
=3
19
z 19
z=
= =1
19