Линейная алгебра: определители и метод Крамера

1. Линейная алгебра

2. Определители

3.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с
двумя неизвестными:
a1 x + b1 y = h1;
(1)
a2 x + b2 y = h2 .
Определение: Определителем второго порядка,
составленным из коэффициентов при неизвестных
системы линейных уравнений (1), называется
число, определяемое равенством:
a1 b1
(2)
=
= a1b2 − b1a2
a2 b2
Пример:
3 4
=
= −6 − 20 = −26
5 −2

4.

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с
тремя неизвестными: a1 x + b1 y + c1 z = h1;
(3)
a2 x + b2 y + c2 z = h2 ;
a x + b y + c z = h .
3
3
3
3
Определение: Определителем третьего порядка,
соответствующим системе линейных уравнений (3),
называется число, обозначаемое символом:
a1
b1
c1
= a2
b2
c2
a3
b3
c3
и определяемое равенством:
= a1b2c3 + c1a2b3 + b1c2a3 − c1b2a3 − a1c2b3 − b1a2c3
(4)

5.

Числа а1, а2, а3, b1, b2, b3, с1, с2, с3 называются
элементами определителя.
Диагональ, образованная элементами а1, b2, с3
называется главной, а диагональ, образованная
элементами с1, b2, а3 – побочной.
Число строк и столбцов определителя всегда
совпадает и соответствует порядку определителя.
Правило
треугольников
для
определителя третьего порядка:
Δ=+
вычисления

6.

Определение: Минором некоторого элемента
определителя называется определитель, получаемый
из данного определителя вычёркиванием строки и
столбца, на пересечении которых расположен этот
элемент ( M ij , где i – порядковый номер строки, j –
порядковый номер столбца).
a1
b1
c1
Если определитель имеет вид: a2 b2 c2 ,
a3
b3
c3
то миноры элементов а1 и b3 определяются по
формулам:
a1 c1
b2 c2
M 11 =
; M 32 =
.
a2 c2
b3 c3

7.

Определение:
Алгебраическим
дополнением
некоторого элемента определителя называется
минор этого элемента, умноженный на (− 1)k, где k –
сумма номера строки и номера столбца, на
пересечении которых расположен этот элемент.
Алгебраические дополнения элементов а1, b1, с1 и
т.д. обозначают соответственно A11 , A12 , A13 и т.д.
1+1
А11 = (−1) M11 = M11;
A32 = (−1)
3+ 2
M 32 = −M 32 .

8.

Теорема 1. Определитель (4) равен сумме
произведений элементов какой-либо строки на их
алгебраические дополнения, то есть
(5)
= a1 A11 + b1 A12 + c1 A13
(6)
= a2 A21 + b2 A22 + c2 A23
(7)
= a3 A31 + b3 A32 + c3 A33
(5) – разложение определителя по элементам
первой строки, которое определяется равенством:
a1
= a2
a3
b1
b2
b3
c1
b
1+1 2
c2 = a1 (−1)
b3
c3
c2
a
1+ 2 2
+ b1 (−1)
c3
a3
c2
a
1+3 2
+ c1 (−1)
c3
a3
= a1 ( b2c3 − b3c2 ) − b1 ( a2c3 − a3c2 ) + c1 ( a2b3 − a3b2 ).
b2
=
b3

9.

Пример:
порядка:
Вычислить
определитель
третьего
2 3 4
= 1 0 −1 .
−2 6 5
Решение:
Разложим определитель по элементам второго
столбца:
2 3 4
2 3
4
2 3 4
= 1 0 −1 = 3 (−1)1+ 2 1 0 − 1 + 0 A22 + 6 (−1)3+2 1 0 − 1 =
−2 6 5
−2 6 5
−2 6 5
= −3 (1 5 − (−2) (−1)) − 6 (2 (−1) − 4 1) = −3 3 − 6(−6) = 36 − 9 = 27.

10.

Теорема 2. Определитель (4) равен сумме
произведений элементов какого-либо столбца на их
алгебраические дополнения, то есть
= a1 A11 + a2 A21 + a3 A31
(8)
(9)
= b1 A12 + b2 A22 + b3 A32
(10)
= c1 A13 + c2 A23 + c3 A33
Замечание: Раскладывать определитель можно по
элементам любой строки или столбца. Вычисление
определителей по формулам (5) – (10) упрощается,
если среди элементов есть нули.

11.

Определитель n-ого порядка задаётся квадратной
таблицей из n 2 чисел (элементы определителя):
a11
a 21
Dn =
...
a n1
a12
a 22
...
an2
... a1n
... a 2 n
... ...
... a nn
В соответствии с условиями теорем 1 и 2:
определитель
n-ого
порядка
равен
сумме
произведений элементов любой строки (столбца) на
их алгебраические дополнения.

12. Свойства определителей

13.

1. Величина определителя не изменится, если его
строки и столбцы поменять местами:
a1 b1
a2 b2
a3 b3
c1 a1 a2
c2 = b1 b2
c3 c1 c2
a3
b3
c3
Данное свойство устанавливает равноправность
строк и столбцов определителя.

14.

2. Постоянный множитель какой-либо строки
(столбца) определителя можно выносить за знак
определителя:
a1 b1 c1
a1 b1 c1
a2 b2 c2 = a2 b2 c2
a3 b3 c3
a3 b3 c3
3. Если элементы двух строк (столбцов)
пропорциональны, то определитель равен нулю:
a1
b1
c1
a1 b1 c1 = 0.
a3 b3
c3

15.

4. Если к элементам какой-либо строки (столбца)
определителя
прибавить
соответствующие
элементы другой строки (столбца) определителя,
умноженные постоянный множитель , то величина
определителя не изменится:
a1 b1 c1 a1 + a2 b1 + b2 c1 + c2
a2 b2
a3 b3
c2 =
c3
a2
a3
b2
b3
c2
c3
Все рассмотренные свойства определителей
третьего порядка, справедливы для определителей
любого порядка.

16. Решение систем линейных уравнений методом Крамера

17.

Рассмотрим систему линейных уравнений:
a1 x + b1 y = h1;
a2 x + b2 y = h2 .
(1)
Определение: Решением системы линейных
уравнений (1) называется совокупность таких
значений x = x0 и y = y0 , которые в результате их
подстановки обращают в тождество каждое
уравнение системы.

18.

Введем обозначения:
a1 b1
=
= a1b2 − a2b1 – главный определитель системы.
a2 b2
h1 b1
a1 h1
x =
= h1b2 − h2b1 , y =
= a1h2 − a2h1.
h2 b2
a2 h2
Определители x и y называют вспомогательными
определителями системы (1) и получаются из главного
определителя
системы
заменой
столбца
коэффициентов при соответствующих неизвестных на
столбец свободных коэффициентов.
Тогда
x
y
– формулы Крамера.
x=
,y=
(2)

19.

x + 2 y = 8;
Пример: Решить систему уравнений:
3x − y = 3.
Решение:
Вычислим главный определитель системы:
1 2
=
= −1 − 6 = −7.
3 −1
Так как 0 , то система имеет единственное
решение.

20.

Вычислим вспомогательные определители системы:
8 2
x =
= −8 − 6 = −14,
3 −1
1 8
y =
= 3 − 24 = −21.
3 3
Применяя формулы Крамера, получим:
x −14
y −21
x=
=
= 2, y =
=
=3
−7
−7
или x = 2, y = 3.

21.

Рассмотрим систему трёх уравнений с тремя
неизвестными: a1 x + b1 y + c1 z = h1;
(3)
a2 x + b2 y + c2 z = h2 ;
a x + b y + c z = h .
3
3
3
3
Определение: Тройка чисел х0, y0, z0 – называется
решением системы (3), если в результате
подстановки этих чисел вместо x, y, z все уравнения
системы (3), обращаются в тождества.

22.

Если главный определитель системы (3) отличен от
0, то существует и притом, единственное решение
этой системы, которое выражается формулами:
x
y
z
(4)
x=
; y=
; z= .
(4) – формулы Крамера для решения системы (3).
Пример: Решить систему уравнений:
x + 2 y − z = −3,
2 x + 3 y + z = −1,
x − y − z = 3;

23.

Вычислим главный определитель системы:
1 2 −1
= 2 3 1 = −3 + 2 + 2 + 3 + 1 + 4 = 9.
1 −1 −1
Вычислим вспомогательные определители:
−3 2 −1
x = −1 3 1 = 9 + 6 − 1 + 9 − 3 − 2 = 18,
3 −1 −1
x 18
x=
= = 2;
9

24.

1 −3 −1
y = 2 −1 1 = 1 − 3 − 6 − 1 − 3 − 6 = −18,
1 3 −1
y −18
y=
=
= −2;
9
1 2 −3
z = 2 3 −1 = 9 − 2 + 6 + 9 − 1 − 12 = 9,
1 −1 3
z 9
z=
= = 1.
9
Следовательно, решение данной системы имеет
вид:
x = 2, y = −2, z = 1.