Линейная алгебра
Матрицы
Виды матриц
Действия над матрицами
Определители
Свойства определителей
Решение систем линейных уравнений методом Крамера
Матричный метод решения систем линейных уравнений
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Ранг матрицы
Исследование систем m линейных уравнений с n неизвестными
488.00K
Category: mathematicsmathematics

Линейная алгебра (8)

1. Линейная алгебра

2. Матрицы

3.

Определение: Матрицей называется прямоугольная
таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов,
записанная в виде:
a11 a12 ... a1n
a
(1)
a22 ... a2 n
21
A
... ... ... ...
am1 am 2 ... amn
Числа,
составляющие
матрицу, называются
элементами матрицы.
В общем случае рассматриваются матрицы с любым
количеством строк и столбцов.
Размерность матрицы (1) – m n .

4.

Кратко матрицу возможно записать следующим
образом:
A aij i 1, m, j 1, n , где a ij – элементы
данной матрицы.
Элементы матрицы образуют строки и столбцы.
Первый индекс i – указывает номер строки, а второй j –
номер столбца, на пересечении которых стоит элемент
.
a ij

5. Виды матриц

1. Квадратная матрица, если m n .
2. Прямоугольная матрица, если m n .
3. Вектор-строка, если m 1, n 1 : a11 a12 a1n .
4. Вектор-столбец, если m 1, n 1 : a11 .
a21
...
a
m1

6.

Определение: Квадратная матрица, у которой
элементы главной диагонали отличны от нуля, а все
остальные элементы равны нулю, называется
диагональной матрицей:
a11
0
A
...
0
0
a 22
...
0
... 0
... 0
... ...
... a nn
где совокупность элементов a11 , a22 ,..., ann
называется главной диагональю матрицы.
(2)

7.

Определение: Диагональная матрица, у которой все
элементы главной диагонали равны единице,
называется единичной матрицей:
1
0
E
...
0
0
1
...
0
...
...
...
...
0
0
...
1
(3)
Определение: Две матрицы Amn aij и Bmn bij
равны, если равны элементы, стоящие на одинаковых
местах, то есть если aij bij , при этом число строк и
столбцов матриц A и B должно быть одинаковым.

8. Действия над матрицами

9.

1. Суммой двух матриц A aij и B bij
с
одинаковым количеством строк (i 1, m, j 1, n) и
столбцов, называется матрица С сij (i 1, m, j 1, n),
элементы которой определяются равенством:
cij aij bij .
Пример:
3 2 4 2 4 1
C A B 1 3 5 5 4 0
1 7 5 2 3 1
3 2 2 ( 4) 4 1 5 6 5
1 5 3 ( 4) 5 0 4 1 5 .
1 ( 2) 7 ( 3) 5 1 1 4 4

10.

Замечание: Аналогично определяется сумма
любого определённого числа матриц. Сложение
матриц
подчиняется
переместительному
и
сочетательному закону сложения.
A B B A
A B C A B C A B C
Разность двух матриц
аналогично сij aij bij .
С А B
определяется

11.

2. Произведением матрицы A aij (i 1, m, j 1, n)
на постоянное число называется
матрица, у которой
каждый
элемент
равен
произведению
соответствующего элемента матрицы на число .
A aij aij
i 1, m, j 1, n
1 0 2
Пример: A 2 1 0 , 3.
0 2 1
1 0 2 3 1 0 3 3 2 3 0 6
A 3 2 1 0 3 2 3 1 3 0 6 3 0 .
0 2 1 3 0 3 2 3 1 0 6 3

12.

3. Произведением матрицы A aij , имеющей m
cтрок и k столбцов, на матрицу B bij , имеющую k
строк и n столбцов называется матрица С сij ,
имеющая m строк и n столбцов, каждый элемент
которой равен сумме произведений элементов i-ой
строки матрицы А и j-ого столбца матрицы B:
cij ai1b1 j ai 2 b2 j ... aik bkj
i 1, m, j 1, n
Замечание: При умножении матриц должно
выполняться условие согласованности: число столбцов
матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B.

13.

Пример: Найти произведение матриц A B и B A .
1 2 1
A
3
1
2
2 1
B 1 3
0 1
Решение:
2 1
1 2 1
1 2 2 1 1 0 1 ( 1) 2 3 1 1 4 6
A B
1 3
3
1
2
3
2
1
1
2
0
3
(
1)
1
3
2
1
7
2
0 1
2 1
2 1 ( 1) 3 2 2 ( 1) 1 2 1 ( 1) 2 1 3 0
1 2 1
B A 1 3
1
1
3
3
1
2
3
1
1
1
3
2
10
5
7
3
1
2
0 1 1 3
0 1
0 2 1 1
0 1 1 2 3 1 2
Таким образом, умножение матриц не подчиняется
переместительному закону умножения: AB BA .

14.

4. Умножение на единичную матрицу: умножение
квадратной матрицы A любого порядка на
соответствующую единичную матрицу не изменяет
исходной матрицы А: AЕ ЕA А.
a11 a12
, то
Если матрица А имеет вид: A
a21 a22
a11 a12 1 0 a11 1 a12 0 a11 0 a12 1 a11 a12
A E
a21 a22 0 1 a21 1 a22 0 a 21 0 a22 1 a21 a22
1 0 a11 a12 1 a11 0 a21 1 a12 0 a22 a11 a12
E A
0 1 a21 a22 0 a11 1 a21 0 a12 1 a22 a21 a22

15.

5. Транспонирование матриц.
Т
А
Определение: Матрица
называется
транспонированной по отношению к данной матрице,
если в матрице А
поменять местами столбцы и
строки.
a11 a12 a13
a11 a21 a31
Если A a21 a22 a23 , то AТ a12 a22 a32
a
a
a
a
a
a
33
23
33
31 32
13

16. Определители

17.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с
двумя неизвестными:
a1 x b1 y h1;
(1)
a2 x b2 y h2 .
Определение: Определителем второго порядка,
составленным из коэффициентов при неизвестных
системы линейных уравнений (1), называется
число, определяемое равенством:
a1 b1
(2)
a1b2 b1a2
a2 b2
Пример:
3 4
6 20 26
5 2

18.

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с
тремя неизвестными: a1 x b1 y c1 z h1;
(3)
a2 x b2 y c2 z h2 ;
a x b y c z h .
3
3
3
3
Определение: Определителем третьего порядка,
соответствующим системе линейных уравнений (3),
называется число, обозначаемое символом:
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
и определяемое равенством:
a1b2c3 c1a2b3 b1c2 a3 c1b2 a3 a1c2b3 b1a2c3
(4)

19.

Числа а1, а2, а3, b1, b2, b3, с1, с2, с3 называются
элементами определителя.
Диагональ, образованная элементами – а1, b2, с3
называется главной, а диагональ, образованная
элементами с1, b2, а3 – побочной.
Число строк и столбцов определителя всегда
совпадает и соответствует порядку определителя.
Правило
треугольников
для
определителя третьего порядка:
Δ=+
вычисления

20.

Определение: Минором некоторого элемента
определителя называется определитель, получаемый
из данного определителя вычёркиванием строки и
столбца, на пересечении которых расположен этот
элемент ( M ij , где i – порядковый номер строки, j –
порядковый номер столбца).
a1
Если определитель имеет вид: a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2 ,
c3
то миноры элементов а1 и b3 определяются по
формулам:
a1 c1
b2 c2
M 11
; M 32
.
a2 c2
b3 c3

21.

Определение:
Алгебраическим
дополнением
некоторого элемента определителя называется
минор этого элемента, умноженный на 1 k, где k –
сумма номера строки и номера столбца, на
пересечении которых расположен этот элемент.
Алгебраические дополнения элементов а1, b1, с1 и
т.д. обозначают соответственно A11 , A12 , A13 и т.д.
1 1
А11 ( 1) M11 M11;
A32 ( 1)3 2 M 32 M 32 .

22.

Теорема.
Определитель
(4)
равен
сумме
произведений элементов какой-либо строки (столбца)
на их алгебраические дополнения, то есть
a1 A11 b1 A12 c1 A13
(5)
(6)
a1 A11 a2 A21 a3 A31
(5) – разложение определителя по элементам
первой строки и определяется равенством:
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
b
1 1 2
c2 a1 ( 1)
b3
c3
c2
a2
1 2
b1 ( 1)
c3
a3
c2
a
1 3 2
c1 ( 1)
c3
a3
a1 b2 c3 b3 c2 b1 a2 c3 a3 c2 c1 a2 b3 a3b2
b2
b3

23.

(6) – разложение определителя по элементам
первого столбца.
Замечание: Раскладывать определитель можно по
элементам любой строки или столбца. Вычисление
определителей упрощается, если среди элементов
строки или столбца есть нули.

24.

Пример:
Вычислить определитель
2 3 4 порядка:
третьего
1 0 1 .
2 6 5
Решение:
Разложим определитель по элементам первой
строки:
2 3 4
2 3
4
2 3 4
1 0 1 3 ( 1)1 2 1 0 1 0 A22 6 ( 1)3 2 1 0 1
2 6 5
2 6 5
2 6 5
3 (1 5 ( 2) ( 1)) 6 (2 ( 1) 4 1) 3 3 6( 6) 36 9 27.

25. Свойства определителей

26.

1. Величина определителя не изменится, если его
строки и столбцы поменять местами:
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1 a1
c 2 b1
c3 c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
Данное свойство устанавливает равноправность
строк и столбцов определителя.

27.

2.
Перестановка
двух
строк
(столбцов)
определителя равносильна умножению его на (-1):
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
a2
c2 a1
c3
a3
b2
b1
b3
c2
c1
c3
3. Если определитель имеет две одинаковые
строки (столбца), то он равен нулю:
a1
a1
a3
b1
b1
b3
c1
c1 0
c3

28.

4. Постоянный множитель какой-либо строки
(столбца) определителя можно выносить за знак
определителя:
a1 b1
a 2 b2
a3 b3
c1
a1
c2 a2
c3
a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
5. Если все элементы некоторой строки (столбца)
равны нулю, то определитель равен нулю:
0
a2
a3
0
b2
b3
0
c2 0
c3

29.

6. Если элементы двух строк (столбцов)
пропорциональны, то определитель равен нулю:
a1
a1
a3
b1
b1
b3
c1
c1 0
c3
7. Если каждый элемент n-ого столбца (n-ой
строки) определителя представляет собой сумму
двух слагаемых, то определитель может быть
представлен в виде суммы двух определителей:
a1' a1"
a 2' a 2"
a3' a3"
b1
b2
b3
c1 a1'
c 2 a 2'
c3 a 3'
b1
b2
b3
c1 a1"
c 2 a 2"
c3 a 3"
b1
b2
b3
c1
c2
c3

30.

8. Если к элементам какой-либо строки (столбца)
определителя прибавить соответствующие элементы
другой строки (столбца) определителя, умноженные
постоянный множитель
, то величина
определителя не изменится:
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1 a1 a 2
c2
a2
c3
a3
b1 b2
b2
b3
c1 c2
c2
c3
Все рассмотренные свойства определителей
третьего
порядка,
относятся
также
и
к
определителям любого порядка.

31.

Пример:
Вычислить определитель
порядка:
1 1 0
1
2 1 0 1
3 1 2 1
1 1 2 1
четвертого
Решение:
Преобразуем определитель в соответствии со
свойством 8 таким образом, чтобы в первом столбце
получились нули. Для этого первую строку умножим на
-2 и сложим со второй, результат запишем во вторую
строку; первую строку умножим на -3 и сложим с
третьей, результат запишем в третью строку; первую
строку умножим на 1 и сложим с четвертой, результат
запишем в четвертую строку. Далее определитель
разложим по элементам первого столбца:

32.

1 1
2 1
3 1
1 1
1 0
1 1 1 0
1 2 1
0 1 0 1 2 1
1 ( 1)1 1 2 1 1
2 1
0 2 1 1
0 3 1
2 1
0 0 3 1
Получили определитель третьего порядка, который
преобразуем опять, чтобы в первом столбце
получились нули. Для этого первую строку умножим
на -2 и сложим со второй, третью оставим без
изменения и разложим по элементам первого столбца:
1 2 1 1 2 1
1 1 3 3
2 1 1 0 3 3 1 ( 1)
3 9 6
3 1
0 3 1
0 3 1

33. Решение систем линейных уравнений методом Крамера

34.

Рассмотрим систему трёх уравнений с тремя
неизвестными:
a x b y c z h ;
1
1
1
1
a 2 x b2 y c2 z h2 ;
a x b y c z h .
3
3
3
3
(7)
где а1, а2, а3, b1, b2, b3, с1, с2, с3 – коэффициенты
системы линейных уравнений, h1, h2, h3, – свободные
коэффициенты.
Определение: Тройка чисел х0, y0, z0 – называется
решением системы (7), если в результате
подстановки этих чисел вместо x, y, z все уравнения
системы (7), обращаются в тождества.

35.

При решении системы (7) основную роль будут
играть четыре определителя:
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
h1
x h2
h3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
a1
y a2
a3
h1
h2
h3
c1
c2
c3
a1
z a2
a3
b1
b2
b3
h1
h2
h3
где – главный определитель системы, x, y, z
вспомогательные определители.

36.

Если определитель системы (7) отличен от 0, то
существует и притом, единственное решение этой
системы, которое выражается формулами:
x
y
z
(8)
x
; y
; z .
(8) – формулы Крамера для решения системы (7).
Пример: Решить систему уравнений:
x 2 y z 3;
2 x 3 y z 1;
x y z 3.

37.

Вычислим главный определитель системы:
1 2 1
2 3 1 3 2 2 3 1 4 9.
1 1 1
Вычислим вспомогательные определители:
3 2 1
x 1 3 1 9 6 1 9 3 2 18,
3 1 1
x 18
x
2;
9

38.

1 3 1
y 2 1 1 1 3 6 1 3 6 18,
1 3 1
y 18
y
2;
9
1 2 3
z 2 3 1 9 2 6 9 1 12 9,
1 1 3
z 9
z
1.
9
Следовательно, решение данной системы имеет
вид:
x 2, y 2, z 1.

39. Матричный метод решения систем линейных уравнений

40.

Определение: Обратной для матрицы А называется
такая матрица A 1 , которая удовлетворяет условию:
(9)
А А 1 А 1 А Е
где Е – единичная матрица.
Для существования обратной матрицы необходимо
и достаточно, чтобы определитель квадратной
матрицы был отличен от нуля.
Обратная матрица определяется по формуле:
A11
1
1
A
A12
A13
A21
A22
A23
A31
A32
A33
(10)

41.

Рассмотрим систему линейных уравнений и введём
обозначения:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 h1;
a21 x1 a22 x2 a23 x3 h2 ;
(11)
a x a x a x h .
3
31 1 32 2 33 3
a11 a12 a13
x1
h1
A a21 a22 a23 , X x2 , H h2 , где
a
x
h
a
a
33
31 32
3
3
А – матрица системы (11), Х – вектор-столбец
неизвестных переменных системы (11), Н – векторстолбец свободных коэффициентов системы (11).

42.

Тогда, используя правило умножения матриц,
систему линейных уравнений (11) можно записать в
эквивалентном матричном виде:
(12)
A X H
Решением системы уравнений, записанной в
матричном виде (12), является вектор – столбец,
определяемый по формуле:
1
(13)
X A H

43.

Для того чтобы убедиться, что полученное
выражение является решением системы линейных
уравнений (1), сделаем подстановку:
A X A A 1 H E H H .
Пример: Решить систему уравнений матричным
методом:
x 2 y z 1;
2 x y z 1;
x 3 y z 2.

44.

Решение:
1 2 1
x
1
2 1 1 , Х y , Н 1 .
A
Введем обозначения:
1 3 1
z
2
Найдем обратную матрицу:
1 2 1
2 1 1 1 0 обратная матрица существует.
1 3 1

45.

Найдем алгебраические дополнения каждого
элемента:
1 1 1 1
2 1 2 1
A11 ( 1)
2, A21 ( 1)
1,
3 1
3 1
3 1 2 1
1 2 2 1
A31 ( 1)
1, A12 ( 1)
1,
1 1
1 1
2 2 1 1
3 2 1 1
A22 ( 1)
0, A32 ( 1)
1,
1 1
2 1
1
1 3 2
2 3 1 2
A13 ( 1)
5, A23 ( 1)
1,
1 3
1 3
2
3 3 1
A33 ( 1)
3.
2 1

46.

Тогда обратная матрица примет вид:
2 1 1
1
1
A 1 0 1
1
5
1
3
Найдем решение системы:
2 1 1 1 2 1 2 1
X A 1 H 1 0 1 1 1 0 2 1 .
5 1 3 2 5 1 6 0
Таким образом, решением системы является тройка
чисел:
x 1; y 1; z 0.

47. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

48.

Метод Гаусса заключается в последовательном
исключении неизвестных.
Все
преобразования,
связанные
с
последовательным исключением неизвестных более
удобно проводить,
используя элементарные
преобразования расширенной матрицы.

49.

Под элементарными преобразованиями
понимают:
1. замену строк столбцами, а столбцов –
соответствующими строками;
2. перестановку строк матрицы;
3. вычёркивание строки, все элементы которой
равны нулю;
4. умножение какой – либо строки на число,
отличное от нуля;
5. прибавление к элементам какой – либо строки
соответствующих элементов другой строки.

50.

Пример: Решить систему уравнений методом Гаусса:
x 1 x2 x3 x4 4;
2 x x 3 x 2 x 1;
1 2
3
4
x1 x3 2 x4 6;
3 x1 x2 x3 x4 0.
Решение:
Выпишем расширенную матрицу системы и
преобразуем ее к ступенчатому виду:
1 1 1 1 4 1 1 1 1 4 1 1 1 1 4
0 1 2 ~
2 1 3 2 1 ~ 0 3 5 4 7 ~ 0 1
A1
1 0 1 2 6 0 1 0
1 2 0 3 5 4 7
3 1 1 1 0 0 4 4 4 12 0 1 1 1 3

51.

1
~ 0
0
0
1 1 1 4
1
1 0 1 2 ~ 0
0
0 5 7 13
0
0 1 2 5
1
1 1 1 4
~
1 0 1 2
0
0
0 1 2 5
0
0 0
3 12
1 1 1 4
1 0 1 2
0 1 2 5
0 0
1 4
Последней
матрице
соответствует
система
линейных уравнений: x1 x2 x3 x4 4;
x2
x4 2;
x3 2 x4 5;
x4 4.
Из
которой
последовательно
определяем
неизвестные.
Ответ: 1; 2; 3; 4

52. Ранг матрицы

53.

Рассмотрим прямоугольную матрицу:
a11 a12 ... a1n
a
a
...
a
22
2n
A 21
... ... ... ...
am1 am 2 ... amn
Выделим в этой матрице k произвольных строк и k
произвольных столбцов k m, k n .
Определение:
Определитель
k-го
порядка,
составленный
из
элементов
матрицы
А,
расположенных на пересечении выделенных строк и
столбцов называется минором k-го порядка матрицы
А.

54.

Рассмотрим всевозможные миноры матрицы А,
отличные от нуля.
Определение: Рангом матрицы А называется
наибольший порядок минора этой матрицы,
отличного от нуля.
Определение: Всякий отличный от нуля минор
матрицы, порядок которого равен рангу этой
матрицы, называется базисным минором матрицы.
Ранг матрицы обозначают – r ( A).
Если r ( A) r ( B) , то матрицы А и В называются
эквивалентными. В этом случае пишут А ~ В .
Ранг матрицы не изменится от элементарных
преобразований.

55.

Пример. Определить ранг матрицы:
1 2 3 4
A 2 4 6 8
3 6 9 12
Решение:
Все миноры третьего и второго порядка, которые
можно построить из элементов матрицы А равны
нулю, так как элементы строк и столбцов матрицы
пропорциональны. А миноры первого порядка
отличны от нуля.
Следовательно, r ( A) 1.

56.

3 5 7
Пример. Определить ранг матрицы: A 1 2 3
1 3 5
Решение:
Поменяем местами первую и вторую строки и
преобразуем матрицу к ступенчатому виду:
3 1 2 3
3 5 7 1 2 3 1 2
1 2 3
A 1 2 3 ~ 3 5 7 ~ 0 1 2 ~ 0 0 0 ~
0 1 2
1 3 5 1 3 5 0 1
2 0 1 2
Так как миноры второго порядка отличны от нуля,
например, 1 2 1 0 1 0, то ранг равен 2.
0 1

57. Исследование систем m линейных уравнений с n неизвестными

58.

Пусть дана система m линейных уравнений с n
неизвестными:
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1;
a x a x a x b ;
21 1 22 2
2n n
2
(14)
..............................................
am1 x1 am 2 x2 amn xn bm .
Определение: Решением системы (14) называется
совокупность чисел ( x1 , x2 , , xn ) , которые в
результате их подстановки вместо неизвестных
обращают каждое уравнение системы (14) в
тождество.

59.

Определение: Система уравнений (14) называется
совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
Если же система не имеет решения, то она
называется несовместной.
Определение: Совместная система называется
определённой, если она имеет единственное
решение, и неопределённой, если она имеет больше
одного решения.

60.

Матрицы А и А1 называются соответственно
матрицей и расширенной матрицей системы m
линейных уравнений с n неизвестными:
a11 a12
a
a22
21
A
... ...
am1 am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn
a11 a12 ... a1n b1
a21 a22 ... a2 n b2
A1
... ... ... ... ...
am1 am 2 .... amn bm

61.

Теорема Кронекера – Капели:
Для совместности системы (14) необходимо и
достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен
рангу ее расширенной матрицы r A r A1 r.
Если ранг совместной системы равен числу
неизвестных ( r n ), то система определена
(единственное решение). Если ранг совместной
системы меньше числа неизвестных ( r n ), то
система – неопределенна (множество решений).
Система противоречива и не имеет решения, если
ранг матрицы меньше ранга расширенной матрицы:
r A r A1 .

62.

Пример.
Исследовать
систему
линейных
уравнений на совместность и решить её, если она
совместна: x1 3 x2 5 x3 7 x4 9 x5 1;
x1 2 x2 3 x3 4 x4 5 x5 2;
2 x 11x 12 x 25 x 22 x 4.
2
3
4
5
1
Решение:
Преобразуем расширенную матрицу:
1 3 5 7 9 1
A1 1 2 3 4 5 2
2 11 12 25 22 4
1 3 5 7 9 1 1 3 5 7 9 1
0
5
2
11
4
1
0
5
2
11
4
1
0 5 2 11 4 2 0 0 0 0 0 3
Система несовместна, так как r A 2 r A1 3.

63.

Пример.
Исследовать
систему
линейных
уравнений на совместность и решить её, если она
совместна: x 1 2 x2 3x3 14;
3 x 2 x x 10;
2
3
1
x1 x2 x3 6;
2 x 3 x x 5;
2
3
1
x1 x2 3.
Решение:
Преобразуем расширенную матрицу:
1
3
A1 1
2
1
2 3 14
2 1 10
1 1 6
3 1 5
1 0 3
1
0
0
0
0
2
4
1
1
1
3 14
8 32
2 8
7 23
3 11
1
0
0
0
0
2
1
0
0
0
3 14
2 8
0 0
5 15
1 3
1
0
0
0
0
2
1
0
0
0
3 14
2 8
1 3
0 0
0 0

64.

Система совместна и определена, так как
r A 3 r A1 3 и n 3 r 3.
Последней матрице
соответствует система
линейных уравнений:
x1 2 x2 3 x3 14;
x2 2 x3 8;
x3 3.
Из
которой
последовательно
определяем
неизвестные:
x3 3, x2 8 2 x3 2, x1 14 2 x2 3 x3 1.
Ответ: 1; 2; 3 .

65.

Пример.
Исследовать
систему
линейных
уравнений на совместность и решить её, если она
совместна: x1 5 x2 4 x3 3 x4 1;
2 x1 x2 2 x3 x4 0;
5 x 3 x 8 x x 1.
2
3
4
1
Решение:
Преобразуем расширенную матрицу:
1 5 4 3 1
A1 2 1 2 1 0
5 3 8 1 1
1 5 4 3 1
0
11
6
7
2
0 22 12 14 4
1 5 4 3 1
0
11
6
7
2
0 0 0 0 0
Система совместна и неопределена, так как
r A 2 r A1 2 n 4.

66.

За базисные неизвестные возьмем x1 , x2 , тогда
свободные неизвестные x3 , x4 .
Последней матрице
соответствует система
линейных уравнений: x1 5 x2 4 x3 3x4 1;
11x2 6 x3 7 x4 2.
Перепишем систему в виде: x1 5 x2 1 4 x3 3 x4 ;
11x2 2 6 x3 7 x4 .
И последовательно определим неизвестные:
2 6
7
x2 x3 x4 ,
11 11
11
10 30
35
1 14
2
x1 1 4 x3 3x4 5 x2 1 4 x3 3x4 x3 x4 x3 x4 .
11 11
11
11 11
11
Ответ:
1 14
2
2 6
7
x3 x4 ; x3 x4 ; x3 ; x4 R
11 11 11
11
11 11
English     Русский Rules