Определители и их свойства. Ранг матрицы

1.

1
Лекция 2. Определители и их свойства. Ранг матрицы
Оглавление
1. Определители (детерминанты) ............................................................................................................... 1
Свойства определителей........................................................................................................................ 4
2. Базисный минор матрицы ....................................................................................................................... 9
3. Ранг матрицы ........................................................................................................................................... 10
4. Элементарные преобразования матрицы. Эквивалентные матрицы .......................................... 11
5. Алгоритм вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований ............... 12
1. Определители (детерминанты)
Любой квадратной матрице можно поставить в соответствие число,
называемое определителем.
a11 a12
.
a
a
21
22
11 . Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка: A
Определителем второго порядка, соответствующим квадратной матрице
второго порядка, называют число, обозначаемое
, detA, A или
и равное detA =
a11
a12
a21 a22
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12 a21 .
Правило: определитель второго порядка равен произведению элементов
главной диагонали, за минусом произведения элементов побочной диагонали.
1 2
5 2
, В =
. Найти det (AB).
3
4
1
3
Пример. Даны матрицы А =
Решение.
1-й способ: det A = 4 – 6 = –2; det B = 15 – 2 = 13;
det (AB) = det A det B = –26.
1 5 2 1 1 2 2 3 7 8
,
3
5
4
1
3
2
4
3
19
18
2-й способ: AB =
det (AB) = 7 18 – 8 19 = 126 – 152 = –26.

2.

2
12 .
Рассмотрим
a11 a12
A a 21 a 22
a
31 a32
квадратную
матрицу
третьего
порядка:
a13
a 23 . Определителем третьего порядка, соответствующим
a33
квадратной матрице третьего порядка, называют число
a11 a12 a13
detA = a21 a22 a23 а11a22 a33 a12 a23a31 a21a32 a13
a31 a32 a33
a31a22 a13 a21a12 a33 a32 a23a11 .
(1.1)
Приведем два правила составления выражения (1.1).
Правило 1. Напишем таблицу чисел матрицы третьего порядка, приписывая
к ней справа еще раз первый и второй столбцы:
– – –
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
+ +
+
Возьмем со знаком «+» произведение элементов, стоящих на главной
диагонали определителя, а также два произведения элементов, стоящих на двух
параллелях к ней, содержащих по 3 элемента. А произведения элементов,
стоящих на побочной диагонали и на двух параллелях к ней, содержащих по 3
элемента, возьмем со знаком «–».
Правило 2 (правило Саррюса или правило треугольников). В выражение
определителя входят:
со знаком «+»: произведения элементов, стоящих на главной диагонали, и
произведения элементов, расположенных в вершинах треугольника, основания
которого параллельны главной диагонали;
со знаком «–»: произведения элементов, стоящих на побочной диагонали, и
произведения элементов, расположенных в вершинах треугольника, основания
которого параллельны побочной диагонали.
Схема применения правила Саррюса

3.

3
1 2 3
Пример. Вычислить определитель матрицы А = 1 3 4 .
2 5 2
Решение.
1
2 3
1 3 4 1 3 2 2 4 2 3 ( 1) 5 3 3 2 1 4 5 2 ( 1) 2 27 .
2
5 2
13 . Минором M
ij
элемента a
квадратной матрицы
ij
называется
определитель, полученный из исходной матрицы вычеркиванием i-й строки и jго столбца, на пересечении которых расположен данный элемент:
a11
a12
...
a1 j
...
a1n
...
...
...
...
...
...
ai 2
...
aij
...
...
...
...
...
ain M ij .
...
an 2
...
anj
...
ann
ai1
...
an1
1 2 3
Пример. Для матрицы A 1 3 4 найти миноры элементов M ,
13
2 5 2
M 22 .
Р е ш е н и е . M 13
M 22
1 3
2 2
1 3
2
5
1 5 2 3 11 ,
1 2 2 3 4 .
14 . Алгебраическим дополнением A элемента квадратной матрицы a
ij
ij
называется число, определяемое произведением:
Aij ( 1)i j M ij ,
где i – номер строки и j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент
a .
ij

4.

4
1 2 3
Пример. Для матрицы A 1 3 4 найти алгебраические дополнения
2 5 2
A13 , A23 .
Р е ш е н и е . A13 ( 1)1 3 M 13 M 13 11 ,
A23 ( 1) 2 3 M 23
15 .
1 2
2 5
1 5 2 2 1 .
Определителем
а11 a12
a22
a
A 21
... ...
an1 an 2
n-го
порядка
квадратной
матрицы
... a1n
... a2 n
называется число, равное алгебраической сумме
... ...
... ann
всевозможных произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой
строки и из каждого столбца.
Это число может быть вычислено методом приведения определителя к
треугольному виду и методом понижения порядка, которые будут рассмотрены
ниже. Понижение порядка матрицы проводят на основании теоремы разложения,
формулировка которой приведена в свойствах определителя.
Замечания:
1) следует обратить внимание на то, что определители имеют только
квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.
Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители;
2) определитель единичной матрицы равен 1.
Свойства определителей
Свойство 1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется:
det A = det AT
a11
a12
a13
a11
a21
a31
a21 a22
a23 a12
a22
a32 .
a31 a32
a33
a23
a33
a13
Это свойство указывает на равноправие строк и столбцов.
Свойство 2. det (AB) = detA detB
Свойство 3. Нечетное количество перестановок любых двух строк (или
столбцов) меняет знак определителя.

5.

5
1 4 7
1 4 7
5 8 3 6 9 .
Например, 2
3 6 9
2 5 8
Свойство 4. Общий множитель элементов строки (столбца) можно
выносить за знак определителя.
ka1
ka 2
ka3
a1
a2
a3
Например, b1
b2
b3 k b1
b2
b3 .
c1
c2
c3
c2
c3
c1
Следствие. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее
определитель умножается на это число.
Свойство 5. Определитель с двумя равными строками (или столбцами)
равен нулю.
1 7 1
1 2 3
2 3 0 , 5 3 5 0.
Например, 1
2 6 2
2 5 2
Свойство 6. Определитель с двумя пропорциональными строками (или
столбцами) равен нулю.
ka1
ka 2
ka3
Например, a1
a2
a3 0 .
c1
c2
c3
Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку,
то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать
определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.)
Свойство 8. Величина определителя не изменится, если к элементам одной
из его строк (столбца) прибавить (вычесть) соответствующие элементы другой
строки (столбца), умноженные на какое-либо число k, не равное нулю.
a1
a2
a3
a1
Например, b1
b2
b3 b1 ka1
c1
c2
c3
a2
a3
b2 ka 2
c1
b3 ka3 .
c2
c3
Свойство 9. Если для элементов какой-либо строки (или столбца) матрицы
верно соотношение d = d1 d2 , e = e1 e2 , f = f1 f2 , то справедливо равенство
a b
c
a
b
c
a
b
c
d
e
f d1
e1
f1 d 2
e2
f2 .
k
l
m
l
m
l
m
k
k

6.

6
Свойство 10. Теорема аннулирования. Сумма произведений элементов
некоторой строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения
элементов другой строки (столбца) равна нулю.
Например, a A a A a A 0 .
11 21
12 22
13 23
Свойство 11. Теорема разложения. Величина определителя равна сумме
произведений элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические
дополнения.
Например,
n
det A =
n
a1 j A1 j ( 1)1 j a1 j M 1 j ,
j 1
(1.2)
j 1
где М1j – минор элемента матрицы, полученный из исходного определителя
вычеркиванием первой строки и j-го столбца. Формула (1.2) позволяет
вычислить определитель матрицы разложением по первой строке.
Также справедлива формула вычисления определителя разложением по
первому столбцу:
n
det A =
n
ai1 Ai1 ( 1)i 1 ai1M i1 .
i 1
(1.3)
i 1
Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или
столбцу матрицы, т.е. справедливы следующие формулы:
n
detA =
aij Aij , i 1,2,..., n
(1.4)
j 1
– формула разложения по элементам i-й строки;
n
detA =
aij Aij , j 1,2,..., n
(1.5)
i 1
– формула разложения по элементам j-го столбца.
Свойство 12. Величина определителя треугольной матрицы равна
произведению элементов, стоящих на главной диагонали:
a1
a2
a3
a1
0
0
0
b2
b3 a1 b2 c3 , b1
b2
0 a1 b2 c3 .
0
0
c3
c1
c2
c3
Перечисленные свойства используются при вычислении определителей.

7.

7
1 2 3
Пример. Вычислить определитель матрицы А = 1 3 4 , используя
2 5 2
разложение по первой строке.
Решение.
1
2 3
1 3 4 1
2
5 2
3 4
5 2
2
1 4
2
2
3
1 3
2
5
(3 2 4 5) 2( 1 2 4 2) 3( 1 5 3 2) 27 .
1
0
2
1 1 2
0
3
2 1
2
1
4 3
Пример. Вычислить определитель
3 4
.
Р е ш е н и е . Проведем разложение определителя по первой строке
1
0
2
1 1 2
0
3
2 1
2
1
4 3
3 4
1 1 2
= 1 3
1
2 1 2
2 1 1
2 1 3 0
3
1 4 0
3
2
4 3
1
3
1
4
2
2
и вычислим образовавшиеся определители третьего порядка.
Первый из них вычислим разложением по первой строке
1 1 2
3
2 1 = –1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = –2 – 8 + 20 = 10.
1
4 3
Для вычисления второго определителя вычтем из первой строки третью
строку и получим в первом столбце два нуля; проведем разложение
получившегося определителя по первому столбцу:
2 1 2
0 2 1
0
3
1 = 0
3
1 = 2
2
1
3
2
1
3
2 1
3
1
2 ( 2 1 3 ( 1)) 2 .
Для вычисления третьего определителя вычтем из третьей строки первую
строку и получим в первом столбце два нуля; проведем разложение
получившегося определителя по первому столбцу:

8.

8
2 1 1
2 1 1
0
3
2= 0
3
2 2
2
1
4
0
2
3
3 2
2 3
2 (3 3 2 2) 2 (9 4) 10 .
Значение исходного определителя: 1 10 3 2 4 10 44 .
1
0
2
1 1 2
0
3
2 1
2
1
4 3
Пример. Вычислить определитель четвертого порядка
3 4
методом сведения к треугольному виду.
Р е ш е н и е . Для того чтобы в первом столбце все элементы, кроме a11 ,
обратились в нуль, последовательно вычтем соответствующие элементы второй
строки из элементов четвертой строки и затем к элементам второй строки прибавим
удвоенные элементы первой строки:
1
0
2
1 1 2
0
3
2 1
2
1
4 3
3 4
=
1
0
0
1 7 10
0
3
2
1
0
2
3
1
3
4
.
Для того чтобы во втором столбце элементы, стоящие ниже a22 , обратились в
нуль, последовательно прибавим к элементам третьей строки соответствующие
утроенные элементы второй строки и затем к элементам четвертой строки
прибавим удвоенные элементы второй строки:
1
0
0
1 7 10
0
3
2
1
0
2
3
1
3
4
1
0
3
4
0
1
7
10
0
0
23 31
0
0
17 21
.
Вычтем из элементов третьей строки удвоенные элементы четвертой и вынесем
общий множитель третьей строки за знак определителя:
1
0
3
4
0
1
7
10
0
0
23 31
0
0
17 21
1
0
3
4
0
1
7
10
0
0
11 11
0
0
17
21
11
1
0
3
4
0
1
7
10
0
0
1
1
0
0
17 21
.
Вычтем из элементов четвертой строки элементы третьей строки, умноженные на 17, и,
пользуясь свойством 12, запишем значение определителя:

9.

9
11
1
0
3
4
0
1
7
10
0
0
1
1
0
0
17 21
11
1
0
0
1 7 10
0
0
1
1
0
0
0
4
3
4
11 ( 1) ( 1) 4 44 .
2 1 1 .... 1
1 2 1 .... 1
Пример. Вычислить определитель n-го порядка 1 1 2 .... 1 .
..........................
1 1 1 .... 2
Р е ш е н и е . Приведем определитель к треугольному виду. Для этого к
элементам первого столбца определителя соответствующие элементы 2-го, 3-го
и т.д. n-го столбца:
n 1 1 1 ..... 1
n 1 2 1 ..... 1
n 1 1 2 ..... 1
.
n 1 1 1 ..... 2
Далее, вычтем из элементов 2-й, 3-й … и n-й строк соответствующие
элементы первой строки и применим свойство 13:
n 1 1 1 .... 1
0
1 0 .... 0
0
0 1 .... 0
0
0 0 .... 1
n 1 1 1...1 n 1 .
n 1
2. Базисный минор матрицы
Выше было введено понятие минора элемента матрицы. Дадим
определение минора матрицы.
16 . Если в матрице А, состоящей из m строк и n столбцов
a11 a12
a21 a22
А=
...
...
a
m1 am 2
a1n
... a2 n
... ...
... amn
...
выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов,
то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении
этих строк и столбцов, называется минором матрицы А.

10.

10
Замечание. Вышесказанное применимо не только к квадратным матрицам,
но и к прямоугольным.
17 . Количество строк матрицы минора называется порядком этого
минора. Если выделено k строк и столбцов ( k m; k n) , то полученный минор
называется минором k-го порядка матрицы А.
Матрица имеет C C
k
m
Cnk
k
миноров k-го порядка, где
n
Cmk
m!
и
k!(m k )!
n!
- число сочетаний.
k!(n k )!
Пример. Сколько миноров второго порядка имеет матрица размером 3 3?
Р е ш е н и е . Матрица имеет C C
2
3
2
3
3! 3!
9 миноров 2-го порядка.
2! 1! 2! 1!
18 . В матрице размером m n ненулевой минор порядка r называется
базисным, если все миноры порядка r+1 и выше равны нулю или не существуют
вовсе. Столбцы и строки матрицы, из которых состоит базисный минор, также
называются базисными.
Замечание. В матрице может быть несколько различных базисных миноров,
имеющих одинаковый порядок.
Теорема о базисном миноре. В произвольной матрице А каждый столбец
(строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых
расположен базисный минор.
3. Ранг матрицы
19 . Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и
обозначается Rang(А) или r(A).
Из определения следует:
а) ранг матрицы r(A) не превосходит меньшего из чисел m или n, т.е.
r ( A) min( m; n) ;
б) если все элементы матрицы равны нулю, то ранг этой матрицы
принимают равным нулю: r ( A) 0 ;
в) если квадратная матрица n-го порядка невырожденная, то r ( A) n .
Определение ранга матрицы перебором всех миноров в целях выявления
ненулевых наивысшего порядка достаточно трудоемко. Для облегчения этой
задачи используются преобразования, сохраняющие ранг матрицы.
Если А – квадратная матрица и ее определитель detA = 0, то, по крайней
мере, один из столбцов – линейная комбинация остальных столбцов. То же самое
справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной
зависимости при определителе, равном нулю.

11.

11
Согласно теореме о базисном миноре, ранг произвольной матрицы А равен
максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице.
4. Элементарные преобразования матрицы. Эквивалентные матрицы
Ранг матрицы не изменится от следующих элементарных
преобразований:
1) транспонирование;
2) перестановка строк (столбцов);
3) вычеркивание нулевой строки (столбца);
4) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
5) вычеркивание (удаление) одной из двух одинаковых или
пропорциональных строк (столбцов);
6) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов
другой строки, умноженных на одно и то же произвольное число;
7) удаление строки (столбца), являющейся линейной комбинацией
остальных строк (столбцов) матрицы.
20 . Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования и
имеющие равные ранги, называются эквивалентными.
Обозначение: A~B, если r(A) = r(B).
Замечание. Равные матрицы и эквивалентные матрицы – понятия
различные.
Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице
равно числу линейно независимых строк.
21 . Матрица А называется ступенчатой, если она имеет вид
a11
0
A
...
0
a12
... a1k
... a2 k
, где a 0, i 1,2,..., r ; r k .
ii
... ...
... ark
... a1r
a22 ... a2 r
...
...
0
... arr
...
Очевидно, ранг ступенчатой матрицы равен r, так как имеется минор r-го
порядка, не равный нулю:
a11
a12
... a1r
0
a22
... a2 r
...
...
...
0
0
... arr
...
a11 a22 ... arr 0 .

12.

12
5. Алгоритм вычисления ранга матрицы
с помощью элементарных преобразований
1) если a 0 , то перестановкой строк (столбцов) добиваемся того, чтобы
11
a11 0 ;
2) если a 0 , добиваемся того, чтобы все элементы 1-го столбца (кроме a )
11
11
равнялись нулю. Для этого умножаем поочередно элементы 1-й строки на
подходящие числа (а именно: на
a21
a11
;
a31
a11
;
a41
a11
…) и прибавляем
полученные числа 1-й строки к соответственным элементам 2-й, 3-й, 4-й и т.д.
строк;
3) если a 0 , добиваемся того, чтобы все элементы 2-го столбца (кроме a )
22
22
равнялись нулю. Если в процессе преобразований получаются строки
(столбцы), целиком состоящие из нулей, то отбрасываем их;
4) преобразования осуществляем до тех пор, пока матрица не примет
ступенчатый вид. Ее ранг будет равен числу строк.
Примеры. Определить ранг следующих матриц:
3 0 0 0 7
1) 0 0 0 0 0 вычеркивая
1 0 0 0 12
3
получим эквивалентную матрицу 0
1
нулевые строку и столбцы матрицы,
7
3 7
, в которой
0 0 0 0
1
12
0 0 0 12
0 0 0
останется только две линейно независимые строки. Вычислим определитель
образовавшейся квадратной матрицы.
Из того, что минор второго порядка эквивалентной матрицы не равен нулю:
M2
3
7
1 12
36 7 29 0 следует, что ранг исходной матрицы r(A) = 2.
3 5 7
2) 1 2 3
1 3 5

13.

13
Введем обозначения: 1 , 2 , 3 – строка первая, вторая и третья
соответственно. Справа от матрицы будем записывать математические
преобразования, проводимые над той или иной строкой.
3
1
1
1
M2
1
5 7 1 2 4
1
2 3
1
3 5
2
3 2 1 0
3
8 12 1 4 1 2 3
1 2 3
,
1 2 3
2 3
1
3
5
1 3 5
3 5
r(A) = 2.
1 2 1 3 4
1 2 1 3 4 1 2
4 6 2 0.
,
3) 3 4 2 6 8
3
3
4
4
2
6
8
1 2 1 3 4
Поскольку минор 2-го порядка M 2 не равен нулю, то ранг матрицы r(A) = 2.
5
2 4 1
0
0 1 3
4)
4 5 7 10
2 1 8 5
3
2 4 1 5
2
0 1 3 0
0 3 2 1 0 3 9 0
3 4 1 0 3 9 0
3
2
,
6
6
Из трех пропорциональных строк (2-я, 3-я, 4-я) оставляем только одну (2-ю)
и получаем следующую эквивалентную матрицу:
2 4
2 4 1 5 3
2 0 2 0. Поскольку M 2 0 , то
, M 2
0
0
1
1
3
0
2
~
ранг полученной матрицы, а следовательно, и исходной r(A) = 2.