Определители. Свойства определителей

1. Определители. Свойства определителей.

2.

Определителем (детерминантом) матрицы
n-го порядка называется число:
n det A
a11
a12
... a1n
a 21
a 22
... a 2 n
...
...
...
a n1
an2
... a nn
...

3.

2
a11
a12
a21 a22
2
a11a22 a12a21

4.

a11
a12
3 a21 a22
a31
a32
a13
a23 a11a22 a33 a21a32 a13 a12 a23a31
a33
a13 a22 a31 a32 a23 a11 a21a12 a33

5.

• Правило Сарруса:
a11
a12
a13
a11
a21 a22
a23
a21 a22
a31
a32
a33
a31
a12
a32
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33

6.

a11
a12
3 a21 a22
a31
a32
a13
a23 a11a22 a33 a21a32a13 a12a23a31 a13a22a31 a32 a23a11 a21a12 a33
a33
• Правило треугольника:
«+»
«-»

7.

Примеры:
1)
2)
3)
3 2
1
5
3 5 2 1 15 ( 2) 17
cos x sin x
sin x
cos x
cos 2 x sin 2 x cos 2 x
cos x sin x
sin x
cos x
cos x sin x 1
2
2

8.

Примеры:
2 4 7
3 1 5 3 1
5 0
7 5 0
4
4)
7
4 ( 1) 7
7 5 5 ( 2) 3 0
5 ( 1) ( 2) 0 5 4 7 3 7
28 175 0 10 0 147 10

9. Свойства определителей.

1.Определитель не изменится, если его
T
транспонировать:
det A det A
det A
3
2 4
det A
T
5
12 10 22
3 2
5
4
12 10 22

10.

2.При перестановке двух строк или
столбцов определитель изменит свой
знак на противоположный.
3
5
2 4
2 4
3
5
12 10 22
10 12 22

11.

3. Общий множитель всех элементов
строки или столбца можно вынести за
знак определителя.
a11
ka12
a21 ka22
k
a11
a12
a21 a22

12.

1
2
36 12
1
3
2
1
2
2
1
2
1
24 12 3
1
2 12 2 3
1
1
4
1 3 4
1 3 2
24 2 9 2 1 12 3 24 15 360

13.

4. Определитель с двумя одинаковыми
строками или столбцами равен нулю.
1
1
3
1
1
3
2 1 4
4 3 6 6 3 4 0

14.

5. Если все элементы двух строк (или
столбцов) определителя пропорциональны,
то определитель равен нулю.
3 7
1
2 3
1 2 2 3 1 2 0 0
4 6 2
3 7
1
2 3 1

15.

6. Если каждый элемент какого-либо ряда
определителя представляет собой сумму
двух слагаемых, то такой определитель
равен сумме двух определителей, в первом
из которых соответствующий ряд состоит из
первых слагаемых, а во втором- из вторых
слагаемых.

16.

a1 j b1 j
... a1n
a21 ... a2 j b2 j
... a2 n
...
...
a11 ...
...
...
anj bnj
an1 ...
...
... ann
a11 ... a1 j
... a1n
a11 ... b1 j
... a1n
a21 ... a2 j
... a2 n
a21 ... b2 j
... a2 n
...
...
...
...
...
...
an1 ... anj
...
... ann
...
...
an1 ... bnj
...
... ann

17.

2 1 4
2
7 2 3 7
7 5 5
60
2 1 4
2 2 4
2 1 4
3 1 3 7 3 3 7 1 3
7 2 3 5
7 2 5
7 3 5
38
98

18.

7. Если к какой-либо строке (или столбцу)
определителя прибавить соответствующие
элементы другой строки (или столбца) ,
умноженные на одно и то же число, то
определитель не изменится.
a11
a12
a21 a22
к
×
a11
a12
ka11 a21 ka12 a22

19.

5 1
0
2
10 0 10
5 1 ×2
0
2
+
5
1
10
0
0 10 10

20.

8.
Треугольный
произведению
диагонали.
a11
0
a21
a22
a31
a32
0
определитель
равен
элементов
главной
a11
a12
a13
0 0
a 22
a 23 a11 a 22 a33
a33
0
0
a33

21. Привести определитель к треугольному виду и вычислить его:

2 1 4
1 2 4
×(-2) ×(-5)
7 2 3 2 7 3
7 5 5
5 7 5
1
2
4
0
3
5
0 3 15
=
1 2
+
4
5 60
0 0 20
0 3

22. Разложение определителя по элементам строки или столбца.

• Минором Mij элемента aij det D
называется такой новый определитель,
который
получается
из
данного
вычеркиванием i-ой строки и j-го
столбца содержащих данный элемент.

23.

a11
a12
a13
det D a 21
a 22
a 23
a31
a32
a33
a11
a12
a13
det D a 21
a 22
a 23
a31
a32
a33
M12
M 23
a21 a23
a31 a33
a11
a12
a31 a32

24. Для данного определителя найти миноры: М22, М31,М43

1
2
3
4
0 1
5
2
3
2
1 4
1
1
3 2
2
M 31 1
1
3
4
5
2 36
3 2
1
3
4
M 22 3 1 4 28
1 3 2
1
2
4
M 43 0 1 2 16
3
2
4

25.

• Алгебраическим
дополнением
Aij
элемента aij det D называется минор Mij
этого элемента, взятый со знаком 1 i j
т.е.
Aij 1
i j
M ij
i номер строки
j номер столбца

26.

Aij 1
i j
a11
a12
a13
det D a 21
a 22
a 23
a31
a32
a33
A12 1
1 2
M 12 1
A22 1
2 2
M 22
M ij
a21 a23
a31
a33
a11
a13
a31 a33

27.

• Сумма произведений элементов любой
строки (или столбца) определителя на их
алгебраические дополнения равна этому
определителю.

28.

разложение по i-ой строке:
n
det D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ... ain Ain aik Aik , i 1,..., n
k 1
разложение по j-му столбцу:
n
det D a1 j A1 j a2 j A2 j ... anj Anj akj Akj ,
k 1
j 1,..., n

29. Разложить данный определитель по элементам: 1) 3-ей строки; 2) 1-го столбца.

1
2
3
4
0 1
5
2
3
2
1 4
1
1
3 2

30. 1) Разложим данный определитель по элементам 3-ей строки:

1) Разложим данный
элементам 3-ей строки:
определитель
по
det D a31 A31 a32 A32 a33 A33 a34 A34
a31 1 M 31 a32 1 M 32
4
5
a33 1 M 33 a34 1 M 34
6
7

31.

2
3 1 1
4
3
5
4
1
2 2 1 0
5
3 2
1
1
2
3
4
5
2
1 3 2
4
1
2
1 1 0 1 2 4 1 0 1
6
7
1
1
2
3 36 2 2 4 4 11 56
1
1
3
5
3

32. 2) Разложим данный определитель по элементам 1-го столбца:

2) Разложим данный
элементам 1-го столбца:
определитель
по
det D a11 A11 a21 A21 a31 A31 a41 A41
a11 1 M 11 a21 1 M 21
2
3
a31 1 M 31 a41 1 M 41
4
5

33.

1
1 1 2
2
1
2
3 1 1
4
1
5
2
2
1 4 0 1 2
3
3 2
3
5
2
2 1 1 1
20 0 3 36 32 56
4
1 4
1 3 2
4
3 2
3
5
2
3
4
5
2
1 4

34. Основные методы вычисления определителя.

1. разложение определителя по
элементам строки или столбца;
2. метод эффективного понижения
порядка;
3. приведение определителя к
треугольному виду.

35.

Метод эффективного понижения порядка:
Вычисление определителя n-го порядка
сводится
к
вычислению
одного
определителя (n-1)-го порядка, сделав в
каком-либо ряду все элементы, кроме
одного, равными нулю.

36.

1
2
3
4 ×(-3) ×(-1)
2
0 1
5
3
2
1 4
1
1
3 2
1
2
3
4
0
1
5
2
0 4 10 8
0
1
6
2

37.

1
2
2
3
4
1
0 1
5
2
0 1 5 1
0
5
4
2
2 2 1
0 1 6 2
4 1 1 2
1
2
5 2
0
1
6 1
5 2 4 14 56
6 1
3 2
0
1 5 1
2
2

38. Вычислить определитель приведением его к треугольному виду.

1
2
3
4 ×(-3) ×(-1)
2
0 1
5
3
2
1 4
1
1
3 2
1
2
3
4
0
1
5
2
0 4 10 8
0
1
6
2

39.

1
2
2
3
4
1
0 1
5
2
0 1 5 1
0
5
4
2
2 2 1
2
3 2
0 1 5 1 ×2
4
0 2 5 2
+
0 1 6 1
2
5 2
0
1
6 1
2
3
2
0 1
5
1
0
0
15 4
0
0
11 2
1
4
3 2
0
0 1 6 2
1
2

40.

1
4
2
3
1
2
3
0 1 1
5
0 1 1
5
0
0
4 15
0
0
2 11
1
4
2
2
2
3
0 1 1
5
0
0
2
11
0
0
0 7
4
2
0
0
0
0
4 14 56
2 11 ×(-2)
4 15