mathematicsSimilar presentations:
Определители. Свойства определителей и методы их вычисления
1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ И МЕТОДЫ ИХ ВЫЧИСЛЕНИЯ
2. Основные обозначения:
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ:определитель n-го порядка:
a11
a12
...
a21
a22
... a2 n
...
...
...
...
an1
an 2
...
ann
∆А = det A = |A|=
∆А = det A = |A|=
a1n
(числовая характеристика квадратной матрицы);
3. Методы вычисления определителей:
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ:определители 1-го порядка: ∆1 =│a11│= a11 ;
определители 2-го порядка:
а11
а12
∆2 = det A = а а = a11 a22 a21 a12 ;
21
22
определители 3-го порядка:
a11 a12 a13
∆3= det A a21 a22 a23 a11a22a33 a21a32a13 a12a23a31 a13a22a31 a32a23a11 a21a12a33
a31 a32 a33
4. СХЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 3-ГО ПОРЯДКА:
1.2.
со знаком «+»
(правило треугольника)
со знаком «-»
5. Свойства определителей:
СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ:1. Величина определителя не изменяется при транспонировании.
2. При перестановке двух строк (столбцов) определителя он меняет знак.
3. Если все элементы некоторой строки (столбца) умножить на одно и тоже число, то
определитель умножится на это число.
4. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя умножить на число и
сложить с соответствующими элементами другой строки (столбца), то величина
определителя не изменится.
5. Оопределитель равен нулю, если:
- в определителе две одинаковые строки (столбца);
- все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю;
- определитель содержит строки (столбцы), соответствующие элементы которых
пропорциональны.
6. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной
диагонали.
6. 7. РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ
Теорема Лапласа. Определитель n-го порядка равен сумме произведенийэлементов любой строки
(столбца) на алгебраические дополнения этих
n
элементов: det A aij Aij , где i = 1,2,…,n.
j 1
a11
Например:
a
∆А= 21
...
an1
a12
...
a1n
a22
...
a2 n
...
...
...
an 2
...
ann
ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
=
(вычисление определителя с помощью разложения по i-ой строке).
Aij 1
i j
M ij