Матрицы и определители

1. Матрицы и определители

Определение матрицы и виды матриц.
Линейные операции над матрицами, произведение
и транспонирование матриц.
Понятие определителя. Свойства определителя.
Методы вычисления определителей.
Обратная матрица.
Ранг матрицы.
Линейная зависимость/независимость строк
(столбцов) матрицы

2. Матрица

Матрицей А размерности
называется
совокупность чисел, расположенных в виде
прямоугольной таблицы, содержащей m строк и
n столбцов
а11 а12
а21 а22
A
... ...
a а
m1 m 2
i–номер строки
j–номер столбца
... а1n
... а2 n
i 1, m 1,2,..., m
(аij ) m n
... ...
j 1, n 1,2,..., n
... аmn
a ij- элементы матрицы

3. Матрица

Матрица, все элементы которой равны нулю
называется нулевой матрицей
Om n
0
0
...
0
0 ... 0
0 ... 0
... ... ...
0 ... 0

4. Матрица

Если число строк в матрице равно числу ее
столбцов (m=n), то матрица называется квадратной,
а число ее строк называется порядком матрицы
b11 b12 ... b1n
b21 b22 ... b2 n
Bn n
... ... ... ...
b
b
...
b
nn
n1 n 2
Упорядоченная совокупность элементов
b11, b22 , b33 ,..., bnn
называется главной диагональю квадратной матрицы

5. Матрица

Квадратная матрица называется диагональной,
если ее элементы удовлетворяют условию:
сij 0, i j
сij
с
0
,
i
j
ij
С n n
с11 0
0 с22
... ...
0 0
0
... 0
... ...
... сnn
...

6. Матрица

Единичная матрица называется диагональной
матрицей, у которой все элементы главной
диагонали равны 1.
Еn n
1
0
...
0
0 ... 0
1 ... 0
... ... ...
0 ... 1

7. Матрица

Две матрицы А и В называются равными, если
они имеют одинаковые размеры и их
соответствующие элементы равны
A (aij ) m n B (bij ) m n
А = В аij bij
i 1, m; j 1, n

8. Матрица

Матрица, состоящая из одной строки называется
матрицей-строкой (вектор-строкой), а из одного
столбца –матрицей-столбцом (вектор-столбцом)
А1 n a11 a12
b11
... a1n Вm 1 ...
b
m1

9. Сумма матриц

Суммой матриц A (aij ) m n и B (bij ) m nодинакового
размера называется матрица С того же размера,
каждый элемент которой сij равен сумме
соответствующих элементов матриц А и В
A (aij ) m n
С
B (bij ) m n
А+В=С, где
(сij ) m n и сij aij
bij
i 1, m; j 1, n

10. Сумма матриц

5 7
2 1
; B
А
0
1
6
4
3 6
А B
6 5

11. Произведение матрицы на действительное число

Произведением матрицы A (aij ) m n на действительное
число называется матрица того же размера,
каждый элемент которой равен произведению
соответствующих элементов матрицы А на число
A (aij ) m n R
А B, где
B (bij ) m n и bij aij
i 1, m; j 1, n

12. Произведение матрицы на действительное число

2 1
;
А
6 4
3
6 3
А
18 12

13. Свойства линейных операций над матрицами

А,B,C – матрицы,
α,β – действительные числа
1.A+B=B+A
2. (A+B)+C=А+(B+C)
3. α·(A+B)=α·A+α·B
4. (α+β) ·A= α·A+ β ·A
5. (α · β) ·A= α ·(β·A)= β ·(α · A)
6. A+0=A
7. (-A)=(-1)·A и A+(-A)=O
7*. A-B=A+(-B)

14. Произведение матриц

Умножением матрицы A (aij ) m n на матрицу B (bij ) p q
определено, когда число столбцов в первой
матрице равно числу строк во второй матрице,
то есть n=p
Произведением матрицы A (aij ) m k на матрицу B (bij ) k n
называется такая матрица С (сij ) m n, каждый элемент
которой сij равен сумме произведений элементов
i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы
j-ого столбца матрицы В

15. Произведение матриц

A (aij ) m k
B (bij ) k n
А · В=С, где С (сij ) m n и
k
сij ai1 b1 j ai 2 b2 j ... aik bkj ais bsj
s 1
i 1, m 1,2,..., m; j 1, n 1,2,..., n

16. Произведение матриц

А3 3
1 2
2 3 4
1 2 0 ; B3 2 3 4
2 3 1
5 6
А3 3 B3 2 С3 2
31 40
7 10
16 22

17. Произведение матриц

Переместительный закон умножения
матриц не выполняется
A B B A
1.
A3 2 B2 4 C3 4
B2 4 A3 2 - не определено
2.
A3 2 B2 3 C3 3
B2 3 A3 2 D2 2
В частном случае АВ=ВА.
В этом случае матрицы А и В называются
перестановочными

18. Свойства операции умножения матриц

А,B,C – матрицы,
α – действительное число
1. А B B A
2. α·(A·B)=(α·A)·B=A(α·B)
3. (A ·B) ·C= A ·(B ·C)
4. (A+B) ·C=A·C+B·C
5. A·(B+C)=A·B+A·C
6. A ·E=E ·A=A

19. Транспонирование матриц

Если столбцы матрицы Am n записать в строки с
соответствующими номерами, то получится новая
Т
матрица An m размерности n m , которую называют
транспонированной
а11 а12
а21 а22
Am n
... ...
a а
m1 m 2
а11 а21
... а1n
... а2 n Т а12 а22
A
n
m
... ...
... ...
... аmn
a1n а2 n
... аm1
... аm 2
... ...
... аmn

20. Свойства операции транспонирования матриц

А,B – матрицы,
α – действительное число
1.( А ) А
Т Т
2.( A) ( A )
T
T
3.( А B) А B
Т
T
4.( A B) B A
T
T
T
T

21. Определитель

Любой квадратной матрице порядка n ставится в
соответствие найденное по определенному закону
некоторое число, называемое определителем n-ого
порядка этой матрицы
An n
a11 a12
a21 a22
... ...
a a
n1 n 2
... a1n
a11 a12
... a2 n
a21 a22
det A A
... ...
... ...
... ann
an1 an 2
... a1n
... a2 n
...
...
... ann

22. Определитель

A1 1 a11
7 7;
A2 2
a11
a21
a12
a22
2
2
2
6
A a11 a11
3 3;
a11
A
a21
5 5
8 8
a12
a11 a22 a12 a21
a22
3 2 1 3 ( 2) 2 6 8
1
1 2 ( 3) ( 1) 6 6 6 0
3

23. Определитель

a11
A a21
a31
a12
a22
a32
a11
A3 3 a21
a
31
3
4
8
a13
a23
a33
a13
a23 (a11 a22 a33 a12 a23 a31 a21 a32 a13 )
a33 (a13 a22 a31 a12 a21 a33 a23 a32 a11 )
A
2
A 5
6
a12
a22
a32
7
1 (2 4 9 3 1 6 5 8 7) (7 4 6 3 5 9 1 8 2)
9
72 18 280 168 135 16 51

24. Минор элемента матрицы

Минором M ij элемента aij матрицы А n-ого порядка
называется определитель матрицы (n-1)-ого порядка,
полученный из матрицы А вычеркиванием i строки и
j столбца
- минор элемента
a ij
матрицы
An n
a21 a23
a11 a12 a13
M12
a31 a33
A3 3 a21 a22 a23
a11 a13
a a
M
a
22
31 32 33
a31 a33

25. Алгебраическое дополнение элемента матрицы

Алгебраическим дополнением Аij элемента aij
матрицы n-ого порядка называется его минор,
взятый со знаком ( 1)i j
- алгебраическое дополнение элемента
матрицы An n
A3 3
a11 a12
a21 a22
a
31 a32
a13
a23
a33
А12 M12
А22 M 22
a ij

26. Определители

Определитель любой квадратной матрицы
n-ого порядка равен сумме произведений
элементов любой строки (столбца) на их
алгебраическое дополнение
Разложение определителя по строке
n
det A ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 _____
... ain Ain ais Ais
i 1, n
s 1
Разложение определителя по столбцу
n
det A a1 j A1 j a2 j A2 j _____
... anj Anj asj Asj
j 1, n
s 1

27. Определитель

2
5
6
3
4
8
7
2 1
2 2
1 5 A21 4 A22 1 A23 5( 1) M 21 4( 1) M 22
9
1( 1) 2 3 M 23 5 83
7 42
9 6
4(2 9 7 6) (2 8 3 6) 51
7 1 2
9 6
3 5(3 9 7 8)
8

28. Свойства определителей

Если некоторая строка (столбец) в
определителе состоит из нулей, то этот
определитель равен нулю
При транспонировании матрицы ее
определитель не изменится
det A det A
Т

29. Свойства определителей

Если все элементы какой-либо строки
(столбца) матрицы умножить на число λ, то
ее определитель умножится на это число λ
Если в определителе элементы некоторой
строки или столбца содержат общий множитель
λ, то этот общий множитель можно вынести за
знак определителя

30. Свойства определителей

При перестановке двух строк (столбцов)
матрицы ее определитель меняет знак
на противоположный
Сумма произведений элементов какой-либо
строки (столбца) матрицы на алгебраические
дополнения элементов другой строки
(столбца) этой матрицы равна нулю
ai1 A j1 ai 2 A j 2 ... ain A jn 0, i j
Если i=j, то имеем определитель n-ого порядка

31. Свойства определителей

Определитель матрицы не изменится если
к элементам какой-либо строки (столбца)
матрицы прибавить элементы другой строки
(столбца), предварительно умноженные на
одно и то же число

32. Свойства определителей

Если квадратная матрица содержит две
одинаковые строки, то ее определитель
равен нулю
Определитель произведения двух
квадратных матриц равен произведению
их определителей, то есть
det( A В) det A det В

33. Методы вычисления определителей

Метод понижения порядка
Если в определителе все элементы некоторой
строки (столбца) кроме одного равны нулю,
то определитель равен произведению этого
ненулевого элемента на его алгебраическое
дополнение
Метод приведения определителя к треугольному виду
Если в определителе все элементы, стоящие
по одну сторону от главной диагонали равны
нулю, то такой определитель равен
произведению элементов, стоящих на главной
диагонали

34. Обратная матрица

Квадратная матрица А называется невырожденной,
если определитель этой матрицы отличен от нуля
1
Матрица A называется обратной для матрицы А,если
1
1
A A A A E
1
1. Матрицы А и A перестановочны, при этом
- квадратная матрица того же порядка, что и А
1
A -
2. Из свойств определителя и правила умножения
матриц det( A A 1 ) det E
1
1
det A det A
1
1
det A
det A

35. Обратная матрица

(о существовании и единственности квадратной матрицы)
Всякая невырожденная матрица А имеет
обратную и она единственна
АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
a11 a12 ... a1n
1
a21 a22 ... a2 n
A
n n ?
An n
... ... ... ...
a a
...
a
nn
n1 n 2
1 этап det A 0 матрица A невырожденная,
а значит имеет обратную матрицу

36. Обратная матрица

2 этап
Присоединенная матрица, состоящая из
алгебраических дополнений, стоящих на
местах элементов, к которым они относятся:
An n
A11 A12
A21 A22
... ...
A A
n2
n1
... A1n
... A2 n
... ...
... Ann

37. Обратная матрица

3 этап
Союзная матрица, полученная при
транспонировании присоединенной матрицы A
*
A n n
A11
A12
T
( A)
...
A
1n
A21 ... An1
A22 ... An 2
... ... ...
A2 n ... Ann

38. Обратная матрица

4 этап
Умножим матрицу A* на число
1
n n
A
A11
1 * A12
A
...
A1n
A21
A22
...
A2 n
...
...
...
...
1
det A
An1
An 2
...
Ann

39. Обратная матрица

5 этап
Проверка по определению обратной матрицы
1
1
A A A A E

40. Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу А
размерности m n вида:
а11 а12
а21 а22
A
... ...
a
m1 аm 2
... а1n
... а2 n
... ...
... аmn

41. Ранг матрицы

Выделим в матрице А k строк и k столбцов, причем
1 k min m, n . Из элементов, стоящих на
пересечении выделенных строк и столбцов составим
определитель k-ого порядка.
Определители, построение которых описано выше
называются минорами k-ого порядка
а12 а1n
а32 а3n
;
а21
а22
аm1 аm 2

42. Ранг матрицы

Рангом матрицы А называется наивысший порядок,
отличных от нуля миноров этой матрицы
Обозначение ранга матрицы А: r(A); rang A
0 r ( A) min m, n
Минор, порядок которого определяет ранг матрицы
называется базисным
Понятия минор матрицы и минор
элемента определителя – разные понятия

43. Найти ранг матрицы

2 0 4 0
А 3 0 6 0
1 0 3 0
Все миноры третьего порядка равны нулю
2 0 0
2 0
4
0
4
0
3 0 0 0 3 0 6 0 0 6 0 0
1 0 0
0 3 0
1 0 3

44. Найти ранг матрицы

Не все миноры второго порядка равны
нулю
2 4
3 6
0
3
1
6 15 0 (*)
3
2
4
1 3
10 0 (**)
Ранг матрицы А: r(A)=2
Базисные миноры: (*), (**)

45. Ранг матрицы

При нахождении ранга матрицы используют
следующие свойства
При транспонировании матрицы ее ранг не изменится
Если вычеркнуть из матрицы нулевую строку или
нулевой столбец, то ее ранг не изменится
Ранг матрицы не изменится при элементарных
преобразованиях:
при умножении всех элементов строки (столбца)
матрицы на число не равное нулю
при изменении порядка строк (столбцов) матрицы
при прибавлении к каждому элементу одной строки
(столбца) матрицы соответствующих элементов др.
строки (столбца), умноженных на одно и то же число

46. Ранг матрицы

В результате элементарных
преобразований получается матрица
эквивалентная исходной матрице
(~ - знак эквивалентности)
2 0 4 0 2 4
А 3 0 6 0 ~ 3 6
1 0 3 0 1 3
3
6
1 3
0 0
~ 3
6
1 3
3 6
~
1 3
15 0 r ( A) 2

47. Ранг матрицы

С помощью элементарных преобразований можно
привести прямоугольную матрицу к ступенчатому виду
Матрица называется ступенчатой, если она имеет вид
a11 a12
0 a22
А 0 0
... ...
0 0
где
... a1r
... a2 r
... a3r
...
...
... arr
a11, a22 ,..., arr 0
a1r 1 ... a1n
a2 r 1 ... a2 n
a3r 1 ... a3n
... ... ...
arr 1 ... arn

48. Ранг матрицы

Ранг ступенчатой матрицы равен r, так как
имеется минор r-ого порядка не равный нулю
a11
a12
... a1r
0
a22 ... a2 r
...
...
...
0
0
... arr
...
a11 a22 ... arr 0
r(A)=r

49. Линейная (не)зависимость строк матрицы

Будем говорить о строках матрицы
Обозначим строки матрицы А следующим образом:
А1 (a11a12 ...a1n ), А2 (a21a22 ...a2n ),..., Аm (am1am 2 ...amn )
k 1, m, R
Аk ( ak1 , ak 2 ,..., akn )
k 1, m, s 1, m
Аk Аs (ak1 as1 , ak 2 as 2 ,..., akn asn )

50. Линейная (не)зависимость строк матрицы

Линейной комбинацией строк А1 , А2 ,..., Аk
матрицы А называется сумма произведений
этих строк на произвольные действительные
числа i R, i 1, k
1 А1 2 А2 ... k Аk

51. Линейная (не)зависимость строк матрицы

Строки матрицы А1 , А2 ,..., Аm называются линейно
зависимыми, если существуют такие числа
i R
m
i 1, m одновременно не равные нулю i 0,
i 1
что линейная комбинация строк матрицы с этими
числами равна нулевой строке
1 А1 2 А2 ... m Аm 0,0 (0,0,...,0)
(1)
Строки А1 , А2 ,..., Аm матрицы А называются линейно
независимыми, если равенство (1) выполняется
только тогда, когда все i 0 , для i 1, m

52. Пример

1
1
А
1
0
6
8
2
4
0
4
1
4
7 Строки матрицы А
5 линейно зависимы
1
2 1 0, 2 1, 3 1, 4 2 (*)
Составим линейную комбинацию строк матрицы с
числами (*)
1 А1 2 А2 ... k Аk 0 (1,6,8,7)
( 1) ( 1,2,4,5) 1 ( 1,0, 4,1) 2 (0,1,4,2)
(0,0,0,0) (1, 2, 4, 5) ( 1,0, 4,1) (0,2,8,4)
(0,0,0,0)

53. Свойство линейно зависимых строк матрицы

Если строки матрицы линейно зависимы, то хотя
бы одна строка матрицы является линейной
комбинацией остальных строк

54. Теорема о ранге матрицы

Ранг матрицы равен максимальному числу ее
линейно независимых строк или столбцов, через
которые линейно выражаются все остальные
ее строки или столбцы
Теорема означает
Пусть дана матрица Аm n и r(A)=r
А1 , А2 ,..., Аr - линейно независимы
А1 , А2 ,..., Аr , А j - линейно зависимы
А j - любая строка матрицы A
А j 1 А1 2 А2 ... r Аr