Матрицы и определители

1.

Матрицы и
определители

2. Определение матрицы. Виды матриц

Матрицей размера m×n называется
прямоугольная таблица чисел, содержащая
m строк и n столбцов
a11 a12
a21 a22
A
am1 am 2
a1n
a2 n
amn
2

3.

A (aik ) m, n
Элементы матрицы
Каждый элемент матрицы имеет два
индекса: m – номер строки и n – номер
столбца. Например, в матрице
5 7 4 3
A 2
0 8 1
3 4 9 6
размера 3 4 , a11 5 , a23 8 , a34 6 .
Часто используется краткая запись матрицы:
A (aik ) m, n
3

4.

Основные определения
Матрица называется квадратной n-го
порядка, если она состоит из n строк и n
столбцов.
Матрица размера 1×n называется
матрицей-строкой, а матрица размера
m×1 матрицей-столбцом.
Нулевой матрицей 0 заданного размера
называется матрица, все элементы которой
равны 0.
4

5.

Определение единичной матрицы
Единичной называется квадратная матрица,
элементы главной диагонали которой
равны 1, а все остальные элементы равны 0:
1
0
Е
0
0
1
0
0
0
1
5

6.

Определение транспонированной
матрицы
Транспонированной матрицей для матрицы
A называется матрица AT, строки которой
являются столбцами матрицы , а столбцы –
строками . Например, если
5 9 4
, то
A
3 2 1
3
5
T
A 9 2
4 1
Матрицы A (aik ) m, n и B (bik ) m, n называются
равными, если aik bik , i 1, , m , k 1, , n .
6

7. Линейные операции над матрицами

Суммой матриц A (aik ) m, n и B (bik ) m, n
называется матрица A B (aik bik ) m,n .
Складываются матрицы только
одинакового размера.
7

8.

Например.
Найти сумму и разность матриц А и В:
2 3 0
A
1 0 4
0 2 3
B
1 5 2
2 1 3
A B
2 5 6
2 5 3
A B
0 5 2
8

9.

Произведение матрицы на число
Произведением матрицы А на число λ
называется матрица A ( aik ) m, n .
Другими словами, для умножения матрицы
на число надо каждый элемент матрицы
умножить на это число.
Любую матрицу можно умножить на любое
число.
9

10.

Например:
Умножая матрицу
2 3 0
A
1 0 4
на число 2, получим:
2 2 3 2 0 2 4 6 0
A 2
1 2 0 2 4 2 2 0 8
10

11.

Для любых матриц одинакового размера и
любых чисел выполняются следующие
свойства:
1 A B B A
2 A 0 A
3 A ( B C ) ( A B) C
4 ( A) ( ) A
5 ( A B) A B
6 ( ) A A A
11

12. Умножение матриц

Произведением матрицы A (aik ) m, p на
матрицу B (bik ) p, n называется матрица C
p
размера m n с элементами cik aij b jk ,
j 1
i 1, 2, , m, k 1, 2, , n .
Другими словами, для получения элемента,
стоящего в i-той строке матрицы-произведения на
k-том
месте,
следует
вычислить
сумму
произведений элементов i-той строки матрицы A
на k-тый столбец матрицы B.
12

13.

Замечание к определению
В самом определении произведения матриц
заложено, что число столбцов первой
матрицы должно совпадать с числом строк
второй.
Это условие согласования матриц при
умножении.
Если оно нарушено, то матрицы перемножить
нельзя.
Заметим, что вполне возможна ситуация,
когда A∙B существует, а B∙A нет.
13

14.

Ряд свойств операции умножения
матриц
Если A, B и C - квадратные матрицы одного
порядка, то справедливы равенства:
1. A ( B С ) ( A B) C
2. A ( B C ) A B A C
3. ( A B) C A C B C
4. A E E A A
14

15.

Например,
Найти произведение матриц:
2 3 0
A
1 0 4
1 0
B 1 4
0 2
Число столбцов первой матрицы равно числу строк второй,
следовательно их произведение существует:
2 1 3 1 0 0 2 0 3 4 0 2 5 12
A B
2 3 3 2
1 1 0 1 4 0 1 0 0 4 4 2 1 8
15

16. Определители второго и третьего порядков. Их свойства

Понятие определителя вводится только для
квадратных матриц. Рассмотрим
квадратную матрицу 2го порядка:
a11 a12
A
a 21 a 22
Определителем 2го порядка
матрицы
называется число:
( A)
a11
a12
a21
a22
a11 a22 a12 a21
16

17.

Основные определения определителей
Пусть
a11 a12
A a21 a22
a
31 a32
a13
a23
a33
– матрица 3го порядка.
Минором элемента aik называется определитель
M ik, составленный из элементов, оставшихся после
вычеркивания из матрицы i -той строки и k-того
столбца.
Алгебраическим дополнением элемента aik
называется число
Aik ( 1) i k M ik .
17

18.

Определителем 3го порядка (матрицы )
называется сумма произведений элементов
первой строки матрицы на их
алгебраические дополнения.
a11
a12
a13
( A) a21
a22
a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13
a31
a32
a33
18

19. Примеры вычисления определителей

19

20. Схемы вычисления определителей

20

21. Свойства определителей:

1.
2.
3.
4.
5.
Определитель не меняется при транспонировании.
Если все элементы какой-либо строки (или
столбца) равны нулю, то определитель равен 0.
Если две строки (два столбца) поменять местами,
то определитель меняет знак.
Если элементы какой-либо строки (столбца)
содержат общий множитель, то его можно
вынести за знак определителя.
Если в определителе две строки (два столбца)
одинаковы
или
пропорциональны,
то
определитель равен 0.
21

22.

6.
7.
8.
9.
Справедливо равенство
a11 b11
a12 b12
a13 b13
a21
a22
a31
a32
a11
a12
a13
b11
b12
b13
a23
a21
a22
a23 a21
a22
a23
a33
a31
a32
a33
a32
a33
a31
Определитель не изменится, если к элементам
какой-либо его строки (столбца) прибавить
элементы другой строки (столбца), умноженные
на одно и то же число.
Сумма произведений элементов любой строки
(столбца) на свои алгебраические дополнения
равна самому определителю.
Сумма произведений элементов любой строки
(столбца) определителя на алгебраические
дополнения другой строки (столбца) равна 0.
22

23.

Числовые примеры свойств 1 и 2:
3 5 8
A 1
9
2 3 104 5 18 8 29 634;
4
7
10
3
AT 5
1
4
9
7 3 104 1 6 4 82 634.
8 2 10
23

24.

Числовые примеры свойства 3:
1 2 3
0
0
0
1 3
1 2
2 3
0.
0 0 0 1 2 3 0
0
0
7 5
7 8
8 5
7 8 5
7 8 5
24

25.

Числовые примеры свойств 4 и 5:
3 5 8
2 3 23 5 11 8 5 164.
1
3
4
7
3
4
7
3
1
3
2 4 34 7 2 3 14 164.
3 5 8
25

26.

Числовые примеры свойства 6:
1
2
3
1
2
3 1 14 2 17 3 16 0.
4 8
5
26

27.

Числовые примеры свойства 7:
2
1
1
2
1
1
2
1
21 42
63 21 1 21 2 21 3 21 1 2
3
2
4
3
4
2
3
4
1
3
2
21 2 ( 8) 1 ( 11) 1 10 357.
27

28.

Числовые примеры свойства 8:
12
1
2
7
3
5
5
2 3
7 5 3 2 5 3
7
3
5
2
5 2 3
7
3
5
5 7
3
5 7
3
5 2 3
3
5 .
5 2 3
28

29.

Числовые примеры свойства 9 :
1 2
1
2
3
2
5
4
2
3
1 2
5
4
3
2
5
4
8
11
6
1
2
1
2 1 3 2 2 2 3 5 2 3 3 4
3 2 3 5 3 4
2 2
5
1 2
3
1 2
4 3 2
3
2
2
2
5
3
4
2 1 2 2 2 3
3
5
4 2 0 3 0 0.
5
4
29

30. Обратная матрица

Матрица A 1 называется обратной к квадратной
матрице A, если A A 1 A 1 A E
A11
1 A12
A 1
( A)
A1n
An1
An 2
Ann
A21
A22
A2 n
Матрица называется вырожденной, если ( A) 0 ;
в противном случае A – невырожденная
матрица.
Теорема. Для того, чтобы матрица
имела
обратную, необходимо и достаточно, чтобы она
была невырожденной, т.е. ( A) 0 .
30

31.

Пример:
Найти обратную матрицу для
Имеем:
a 1 A11
11
0
2
3 1
a 1 A21
21
3
a 31
1 A31
4
1
2
3;
3
3 1
2 3
0 1
11;
2;
Таким образом:
a 1 A12
3
12
a
22
2
1 A22
5
2 0
4
a
1
A
6;
13
4; 13
2
3
1
2 1
4
a 1 A32
32
1
2 3
A 2 0 1 .
2 3 1
1 3
2 1
1
3
2 1
3
4 6
A 11 5 7 .
2 7 4
5; a 1 A23
7;
5
23
a 1 A33
33
6
1
2
7;
2 3
1
2
2 0
4.
31

32.

Тогда
A
T
3 11 2
4 5 7 .
6 7
4
Вычисляя определитель матрицы A, получаем
|A|=29.
Теперь по формуле:
1
T
A
A
29
1
3
29
4
29
6
29
11
29
5
29
7
29
2
29
7
.
29
4
29
32

33. Теорема

Если A и B невырожденные квадратные
матрицы одинакового порядка, то
( A B) 1 B 1 A 1
33

34. Ранг матрицы

a
a21
:A ...
a
m1
11
Рассмотрим матрицу A размера m×n
a12
a22
...
am 2
a1n
... a2 n
... ...
... amn
...
Выберем в матрице A произвольно k строк и k столбцов
(k min( m, n)). Элементы, стоящие на пересечении этих
строк и столбцов, составляют матрицу порядка k .
Определитель этой матрицы называется минором k-го
порядка.
Если все миноры k-го порядка равны нулю, то равны
нулю и все миноры более высокого порядка.
Наивысший порядок отличных от нуля миноров
матрицы называется рангом этой матрицы (rangA
или r(A)).
34

35. Метод вычисления ранга матрицы

При вычислении ранга матрицы нужно
переходить от миноров меньших порядков
к минорам больших порядков;
2. Если уже найден минор k-го порядка d
отличный от нуля, то требуют вычисления
лишь
миноры
k+1-го
порядка,
окаймляющие минор d. Если все они равны
нулю, то ранг матрицы равен k.
1.
35

36.

Теорема о ранге матрицы
Ранг матрицы равен максимальному числу ее
линейно независимых строк (столбцов) (rangA или
r(A)).
36

37. Свойства ранга матрицы

1)
Если матрица A имеет размеры m×n, то
rangA min( m, n);
тогда и только тогда, когда все элементы
матрицы A равны нулю;
если матрица A - квадратная матрица порядка n,
то rangA=n тогда и только тогда, когда
определитель матрицы ( A) 0 .
1) rangA 0
2)
37

38. Элементарные преобразования матрицы

1.
2.
3.
4.
5.
Отбрасывание нулевой строки (столбца) матрицы
Умножение всех элементов строки(столбца)
матрицы на число , неравное нулю.
Изменение порядка строк(столбцов)матрицы.
Прибавление к каждому элементу одной
строки(столбца)
элементов
другой
строки
(столбца), умноженных на любое число.
Транспонирование матрицы.
38

39.

Замечания к преобразованиям
Элементарные преобразования не
меняют ранг матрицы.
С помощью элементарных
преобразований матрицу можно привести к
ступенчатому виду:
a11
0
A
...
0
a12
...
a1r
...
a22
...
a2 r
...
...
...
...
...
0
...
arr
...
a1k
a2 k
,
...
ark
где aii 0, i 1,2,..., r; r k.
Ранг ступенчатой матрицы равен r.
39

40. Домашнее задание

40

41. Даны матрицы А и В. Найти их сумму и разность

41

42. Дана матрица А. Найти 2А (умножить матрицу А на 2)

42

43.

Даны 2 матрицы.
Найти их определители
4 3
1) A
.
2 5
2)
2 3 4
A 5
6 7 .
1 4 8
43