Матрицы и определители

1.

Российская академия народного хозяйства и 
государственной службы при Президенте РФ
Институт права и национальной безопасности
Факультет таможенного дела
Раздел 1 тема № 1
 
«МАТРИЦЫ И 
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ»
Лекция №1
профессор Резниченко Александр Васильевич
Москва – 2016

2.

Исторически
первым разделом
теория
Линейная алгебра
– частьлинейной
высшей алгебры
алгебры,была
изучающая
линейных
, в связи
с необходимостью
решением систем
векторные уравнений
(линейные)
пространства
и их подпространства;
которых возникло понятие матрицы и определителя: в 1750 г. полинейные отображения; линейные, билинейные и квадратичные
лучены формулы Крамера, в 1849 г. был разработан метод Гаусса,
функции
на векторных
пространствах.
для
решения
систем линейных
уравнений.
Понятие ранга матрицы, предложенное Г.Фробениусом в 1877 г.,
позволило явно выразить условия совместности и определенности
системы линейных уравнений в терминах коэффициентов этой
системы.
В XX веке центральное положение в линейной алгебре заняло понятие векторного пространства и связанные с ним понятия линейного
отображения и функций на векторном пространстве.
Габриэль
Крамер
Фердинанд
Георг
Иоганн Карл
Фробениус
Фридрих
Гаусс

3.

УЧЕБНЫЕ ВОПРОСЫ:
1. Основные сведения о матрицах
2. Операции над матрицами
3. 
Определители 
матриц
    и их свойства 
квадратных 
4. Обратная матрица. Ранг матрицы

4. Литература

1. «Высшая математика для экономического бакалавриата: Учебник и практикум» / Под ред. проф. Н.Ш.
Кремера. – М.: "Юрайт", 2016.
2. «Математика для экономистов от арифметики до
эконометрики: базовый курс» / Под ред. проф. Н.Ш.
Кремера. – М.: "Юрайт", 2016.
3. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. «Краткий курс
высшей математики: Учебное пособие для вузов» М.: ООО «Издательство Астрель», 2011.

5.

ПЕРВЫЙ ВОПРОС
Основные сведения о
матрицах

6.

Определение.
Матрицей размера m n (m на n) называется прямоугольная
таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.
Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами.
элементами
Матрицы обозначаются прописными латинскими буквами,
например А, В, С, …, а для обозначения элементов используются
строчные буквы с двойной индексацией: aij, где первый индекс i –
номер строки, а второй индекс j – номер столбца.
a11
a21
...
Amn
ai1
...
a
m1
a12
a22
...
ai 2
...
... a1 j
... a2 j
... ...
... aij
... ...
am 2 ... amj
a1n
a2 n
...
ain
...
... amn
...
...
...
...
...
Сокращенная запись
Amn= [ aij ]mn; Amn=║aij ║mn;
A = (aij ), где i = 1 ÷ m, j = 1 ÷ n.
Пример.
1 0 2
; a21 5
A23
5 4 3

7.

Определение.
Определение.
Матрица
называется
если число строк
равно
квадратной
Квадратная
матрицаквадратной,
называется диагональной,
еслиmвсе
ее
диагональной
числу
элементы,
столбцов
не принадлежащие
n.
главной диагонали, равны 0.
Число n называется порядком квадратной матрицы.
матрицы
0
i j квадратной
j aij n0- го порядка An
при i матрицы
Обозначение
0
Определение.
Определение.
Множество всех элементов aii матрицы, у которых номер строки
Диагональная
матрица
скалярной,
если С 0
скалярной
равен
номеру столбца
(i = jназывается
), называется
главной диагональю.
диагональю
все ее элементы, принадлежащие главной диагонали,
0
Определение.
равны одному и тому же числу С.
Множество всех элементов aii квадратной матрицы, у которых
Определение.
сумма
номера строки и номера столбца равна порядку матрицы
0
единичной,
если
1
единичной
плюсСкалярная
единица (i +матрица
j = n + 1), называется
называется побочной
диагональю.
диагональю
все ее элементы, принадлежащие главной диагонали,
0
j
j
равны 1.
1 0 0
Пример.
1 0
Еn. диагональ
i Обозначается
главная
i Е3 0 побочная
диагональ
0 0 1

8.

Определение.
Квадратная матрица
называется
верхней
(нижней)
треугольной,
нижней
треугольной
Прямоугольная
матрица
называется
верхней
трапецеидальной
если ступенчатой,
все ее элементы, находящиеся ниже (выше) главной диагонали,
или
ступенчатой если m < n и все ее элементы, находящиеся
равны 0.
ниже главной диагонали, равны 0.
0
*
m
1 0 0
А3 3 0 0
4 1 2
0
*
n
нижняя треугольная матрица
А2,3
1* 0
0
0 2
1 3 0
1В3 0 2 5
0 0 1
0
верхняя треугольная матрица
Определение.
Определение.
Прямоугольная матрица с одним столбцом (n = 1) называется
Матрица любой размерности называется нулевой или нульвектором-столбцом, прямоугольная матрица с одной строкой (m
матрицей если все ее элементы равны 0.
= 1) называется вектором-строкой.
Обозначается 0mn
2
вектор-строка
А1,3 1 3 2 ; вектор-столбец
0 0 0
.
0 2,3
0
0 0 0
В3,1 1 .
0

9.

ВТОРОЙ ВОПРОС
Операции над матрицами

10.

Определение.
2. Сложение матриц
Суммой
двух
А иразмера
В одинакового
размера
Две
матрицы
А иматриц
В одного
называются( m
равными,
если
равными
n)
называется
матрица
С = А + Вт.е.
, элементы
они совпадают
поэлементно,
aij = bij которой
i =1
÷ m,сijj ==1a÷
n.bij для i
ij +
=1 ÷ m, j=1 ÷ n, т.е. матрицы складываются поэлементно.
[cij
Bmn i j aij bij
A
mn
] [a ] [b ] [a b ]
mn
ij mn
Df
ij mn
Df
ij
ij mn
1. Умножение матрицы на число
1 0 2 03 2 1 3 4
число
λ называется
Пример.
Произведением
матрицы А
на
матрица В◦=
31 4 11 5 4 2 9
λ А, элементы которой bij = λ aij для i =1 ÷ m, j=1 ÷ n.
3. Вычитание матриц
A [ a ]
[ a ]
mn
ij mn
Разность двухmnматриц ijодинакового
размера определяется
через предыдущие операции 1 и 2.
1 0 2
1 0 2 2 0 4
) 2[ b ij ]mn [ a ij b ij. ]mn
[aij ]mn 2 А(2
[cij ]mn [aijДля
]mn [Аb2ij,3]mn
Пример.
,3 1
31 4
31 4 6 2 8
Df
Следствие.
1 0 2 0 3 2 1 3 0
матрицы
Пример.
Общий множитель
всех элементов
можно
выносить за
3 1 4 1 1 5 2 0 1
знак матрицы.

11.

4. Умножение матриц
Пример.
Операция умножения матрицы А на матрицу В определена,
произведение
матриц Аравно
·В, гдечислу строк второй.
когдаВычислить
число столбцов
первой матрицы
Тогда произведением матриц
1 0Аmk1·В kn называется такая
1 0 2
матрица Сmn, каждый
сумме произве ; B с ij которой
A элемент
5 1 равен
4 .
3 1строки
0 матрицы
дений элементов i-й
2 0 А 1 на соответствующие
элементы j-го столбца матрицы В.
Решение. k
cij ail blj ai1 b1 j ai 2 b2 j ... aik bkj
) l 01 5 2 ( 2) 1 0 0 1 2 0 1 1 0 4 2 1
1 ( 1Df
.
С
31 ( 1l ) k1 5 0 ( 2) 3 0 1 1 0 0 3j 1 1 n4 0 1
Получаем
i
ail
m
A
1
l
k
х
j
n
blj5
С
2
Σ
B
0 3 i
.
1 7
m
сij
C

12. СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ НАД МАТРИЦАМИ

Большинство свойств (при соответствующих размерах
матриц) аналогичны свойствам операций над числами:
1) A B A B B A
2) A B C A ( B C ) ( A B ) C
сложение
3) A ( ) A ( A)
умножение на число
4) A ( ) A ( A A)
5) A B ( A B) A B сложение и умножение на число
умножение
6) A B C A ( B C ) ( A B) C
7) A B ( A B ) ( A) B умножение и умножение на число
8) A B C A ( B C ) A B A C
( A B) C A C B C
сложение и умножение
Специфика операций над матрицами (умножения):

13.

5. Возведение в степень
Целой положительной степенью Аm (m > 1) квадратной
матрицы А называется произведение m матриц, равных А , т.е.
Am A A ... A.
m раз
Замечания.
1. Операция возведения в степень определяется только для
квадратных матриц.
2. А0 = Е, А1 = А.
3. Аm · Аk = Аm+k; (Аm)k = Аmk.
4. Равенство (А·В)m = Аm ·Вm справедливо только для перестановочных матриц.
1 2 2 1 2 1 2 7 10
А
.
Пример. Для А
3 4
3 4 3 4 15 22

14.

6. Транспонирование матрицы
Под этой операцией понимается переход от матрицы А к
матрице А’(AТ ), в которой строки и столбцы поменялись местами с
сохранением порядка.
Матрица А’ называется транспонированной относительно
матрицы А:
a11
a21
A
...
a
m1
a12
a22
...
am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn
a11
a12
A
...
a
1n
a21 ... am1
a22 ... am 2
... ... ...
a2 n ... amn
Если матрица А имеет размер( m n) , то транспонированная
матрица А’ имеет размер ( n m).
1 4
Свойства операции
транспонирования
1 2 3
Пример. ’ А2,3 ’
; А’3 , 2 ’ 2’ 5 .
’ ’
1. (А ) = А; 2. (λА) = λ·А ; 43.5 (6А + В) = А + В ; 4. (АВ)’ = В’· А’ .
3 6

15.

ТРЕТИЙ ВОПРОС
Определители квадратных
матриц

16.

Важнейшей числовой характеристикой квадратной
матрицы является ее определитель (детерминант).
детерминант
В общем случае определитель матрицы размера n
(An) вычисляется как составленная по определенным
правилам алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из
которых является произведением n элементов матрицы,
причем из каждой строки (и из каждого столбца) матрицы
входит в это произведение ровно один элемент.
Обозначения: det An, d(An), An , Δn
Зададим правила вычислений определителей 1-го, 2го и 3-го порядков, а затем приведем формулу для
вычисления определителя n-го порядка.

17.

Определитель
Определитель
квадратной
квадратной
матрицы
матрицы
1-го3-го
и 2-го
порядка
порядков
a11 a12 a13
n = 1. A = (a11) → det A = det (a11) = a11.
a21 a22 a23 a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21a32
n = 2.a Определитель
равен разности произведений
a
a
31
32
33
элементов, стоящих на главной и побочной диагонали.
a11
a21
Пример.
1
a13 a22 a31 a12 a21a33 a11 a23 a32
a12
a11a22 a12 a21.
a22
+
+
─
–
2 3
Пример. 2 А2
2 5 3 1 7.
3 4 1 3 5 0 4 ( 2) 2 (1
1) 15 2 3 ( 2) 0 ( 1) 5 1 4 1
0 2
1
2 1 5
15 0 ( 2) ( 12) 0 4 21

18.

Определитель квадратной матрицы n-го порядка
a11
a21
...
An
ai1
...
a
n1
... a1n
a2 j ... a2 n
... ... ...
aij ... ain
... ... ...
anj ... ann
a12
... a1 j
a22
...
ai 2
...
...
...
...
...
an 2 ...
Из общего числа n2 элементов этой матрицы выберем набор,
содержащий n элементов, таким образом, чтобы в него входило по
одному элементу из каждой строки и из каждого столбца.
Упорядочим набор, записав сначала элемент из первой строки,
затем из второй и т.д.:
(a1 j1 , a2 j2 ,..., anjn ).
Номера столбцов ( j1 ; j2 ;...; jn ) образуют при этом перестановку J
из n чисел: 1,2,3,…, n .

19.

Определитель квадратной матрицы n-го порядка
Определение.
Инверсией (беспорядком) в перестановке J называется
наличие пары чисел, в которой большее число предшествует
меньшему.
Пример.
В перестановке J = (2, 1, 3) имеется одна инверсия (2, 1), а в
перестановке J = (3, 2, 1) – три: (3, 2), (3, 1) и (2, 1).
Каждому из вышеуказанных наборов элементов матрицы Аn
поставим в соответствие произведение его элементов
a1 j1 a2 j2 ... anjn
и число r (J ), равное числу инверсий в перестановке J ( j1 ; j2 ;...; jn )
из номеров соответствующих столбцов матрицы Аn.

20. Определитель квадратной матрицы 1-го и 2-го порядков

Определитель квадратной матрицы n-го порядка
Определение.
Определителем квадратной матрицы n-го порядка или
определителем n-го порядка называется число, равное алгебраической сумме n! членов, каждый из которых является произведением n элементов матрицы, взятых по одному из каждой
строки и каждого столбца, причем знак каждого члена определяется как (-1)r (J ), где r (J ) – число инверсий в перестановке J из
номеров столбцов элементов матрицы, если при этом номера
строк записаны в порядке возрастания:
Пример.
3
a11
a12
... a1 j
... a1n
a21 a22 ...2 a2 j ... a2 n
( 1) a11a22...a33 ...( 1...
) a12...a23 a...31 ... ( 1) 2 a13 a21r (aJ )32
n An
( 1) a1 j1 a2 j2 ... anjn .
3
1
( 1) a13 a22aai131 ai(2 1...) a12aaij 21a...33 ain( 1)1Ja11a23 a32
...
... ...
... ... ...
a11a22 a33 aan112 aa23n 2a31... aa13nja21...
a32 a nna13a22 a31 a12 a21a33 a11a23 a32 .
0

21.

Определение.
Минором Мij элемента aij квадратной матрицы А n-го порядка
называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из
A удалением i-ой строки и j-го столбца.
Пример.
Минор элемента a12
матрицы А3
a11
a12
a13
M 12 a21
a22
a23
a31
a32
a33
a21
a23
a31
a33
a21a33 a31a23 .
Определение.
Алгебраическим дополнением Аij элемента aij матрицы А n-го
порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)i+j.
1
0 2
A 1 3 4 ; A23 ( 1)
2 1 5
2 3
1
0
2 1
(1 1 0 ( 2)) 1.

22.

Теорема Лапласа
Определитель квадратной матрицы А
n-го порядка равен сумме произведений
элементов любой ее строки (столбца) на
их алгебраические дополнения:
n
Пьер-Симон
де Лаплас
A ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain ais Ais
s 1
разложение по элементам i - ой строки; i = 1,2, …, n;
n
A a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj asj Asj
s 1
разложение по элементам j - ого столбца; j = 1,2, …, n.

23.

Вычисление определителя квадратной матрицы
разложением по строке (столбцу)
1 0 2
4
4
3
1 1 3
1 2 1
1 3 1
1 ( 1)
2 ( 1)
1 0 3 ( 14)
1 5
2 5
2 1
2 1 5
1 (3 5 1 4) 0 2 (( 1) 1 3 ( 2)) 11 10 21.
5
0
0
0
3
1
0
0
0
2
3
0
7
1
3
5 ( 1)1 1 0
1
0
1
5
2
0
3
0
0
0
3 0 7
3
1 2 3
1 1 3 1
1 0 0 0 5 1 ( 1)
0 0
0 1
0 3 1
1
0 0 1
5 1 3 1 0 15.
Определитель треугольной
удобно вычислять
по строке
или столбцу,
Определитель
(диагональной)
матрицы
равен
содержащему наибольшее
число нулей.
произведению
элементов, принадлежащих
главной диагонали.
диагонали

24.

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
1. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы
равны нулю, то ее определитель тоже равен нулю.
2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы
умножить на число λ, то ее определитель тоже умножится на λ.
Замечание.
Замечание
За знак определителя можно выносить общий множитель любой
строки или столбца в отличие от матрицы, за знак которой можно
выносить общий множитель лишь всех ее элементов.
3. При транспонировании матрицы ее определитель не
изменяется: |АТ| = |А|. Свойства строк и столбцов одинаковы.
4. При перестановке любых двух строк (столбцов) матрицы
ее определитель меняет знак на противоположный.
5. Если матрица содержит две одинаковые строки, то ее
определитель равен нулю.

25.

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
6. Если элементы двух строк матрицы пропорциональны, ее
определитель равен нулю.
7. Сумма произведений элементов какой-либо строки
(столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов
другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю.
8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам
какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки, предварительно умноженные на одно и то же число.
9. Сумма произведений произвольных чисел b1, b2, …, bn на
алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца)
равна определителю матрицы, полученной из данной матрицы
заменой элементов этой строки (столбца) на числа b1, b2, …, bn.
10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен
произведению их определителей
det (A·B) = det (A) · det (B).

26.

ЧЕТВЕРТЫЙ ВОПРОС
Обратная матрица.
Ранг матрицы

27.

Определение.
Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А,
А если при умножении этой матрицы на
данную как справа, так и слева получается единичная матрица:
А-1 · А = А · А-1 = Е.
Замечание.
Замечание
Очевидно, что по правилам умножения матриц А-1 и Е должны быть
квадратными матрицами порядка n.
Так как умножение матриц некоммутативно, докажем совпадение
левой и правой обратных матриц, умножаемых слева и справа на А:
Aл 1 Aл 1 E Aл 1 ( A Aп 1 ) ( Aл 1 A) Aп 1 E Aп 1 Aп 1
Определение.
Если определитель матрицы отличен от нуля (|А| ≠ 0), то такая
квадратная матрица называется невырожденной или неособенной,
бенной в противном случае (при |А| = 0) – вырожденной или
особенной.
особенной

28.

Теорема (необходимое и достаточное условие существования
обратной матрицы).
матрицы
Обратная матрица А-1 существует (и единственная)
тогда и только тогда, когда исходная матрица
невырожденная.
1 ~
A 1
det A
A
~
~
a
A
1 2
1 2
где
- присоединенная
матрица,
элементы ij которой
Пример. алгебраическими
; det A дополнениями
A
1 5 3 2 1; элементов
являются
3 5
Т
3 5
А
,
матрицы
транспонированной к исходной матрице А.
1 3
;
A
2 5
Т
~ 5 2
;
A11 5; A12 2; A21 3; A22 1; A
3 1
1 5 2 5 2
1
.
A
( 1) 3 1 3 1

29.

Алгоритм вычисления обратной матрицы
1. Находим определитель исходной матрицы.
Если |А| = 0, то матрица А вырожденная и обратной матрицы
А-1 не существует. Если |А| ≠ 0, то матрица А невырожденная и
обратная матрица А-1 существует.
2. Находим матрицу АТ, транспонированную к А.
3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонироТ
ванной матрицы Аij A ji (i = 1,2, …, n; j = 1,2, …, n) и составляем
~
из них присоединенную матрицу A :
a~ij АijТ A ji (i = 1,2, …, n; j = 1,2, …, n)
4. Вычисляем обратную матрицу.
5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы А-1,
исходя из ее определения: А-1· А = А · А-1 = Е. (п.5 необязателен).

30.

Пример.
Альтернативный алгоритм вычисления обратной матрицы
1. Любую невырожденную квадратную матрицу А с помощью
элементарных преобразований только столбцов или только
строк можно привести к единичной матрице Е того же порядка.
2. Те же преобразования, совершенные над матрицей Е в том же
порядке, приводят ее к обратной матрице А-1.
3. Удобно совершать элементарные преобразования над матрицами А и Е одновременно, записывая их рядом через черту.
Замечание.
Свойства невырожденных матриц
К элементарным преобразованиям матриц относятся:
1. Отбрасывание
строки (столбца). 1
1
1 нулевой
1
1
1
.
А
.
4
.
(
АВ
)
В
А
. равное нулю.
2. Умножение всех элементов
строки
(столбца)
на
число,
не
А
1 Т
Т 1
3. Изменение порядка строк (столбцов).
5
.
(
А
)
(
А
) .
1 1
2. ( А к)каждому
А. элементу одной строки
4. Прибавление
(столбца)
соответству1
1 1
6. ( А) А ; 0.
ющих элементов
строки
m другой
1
1 m (столбца), умноженных на любое число.
3. ( А ) матрицы.
(А ) .
5. Транспонирование

31.

Определение.
Минором порядка k матрицы А размера m x n называется
определитель матрицы, полученной из А выделением произвольных k ее строк и k столбцов.
Определение.
Рангом матрицы А (rang А или r (А)) называется наивысший
порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.
Пример.
Свойства ранга матрицы:
а) если
0 0 А имеет размеры m х n, то rang А ≤ min (m, n);
0 матрица
3 4когда все элементы матрицы
б) rang
А = 0 тогда
и только тогда,
A равны
1 0; 3 4 ; det A 0;
3 5 4 1 11; r ( A) 2
А
1 5
1 5 А - квадратная порядка n , то rang А = n тогда
в) если
2 матрица
и только тогда, когда матрица А невырожденная (|А| ≠ 0).

32.

Пример.
Вычисление ранга матрицы
1. Ранг диагональной матрицы равен числу элементов
диагонали, отличных от нуля.
2. Ранг верхней треугольной матрицы, в которой все
элементы главной диагонали, не равны 0, равен числу
строк.
3. Ранг прямоугольной матрицы удобно вычислить, приведя
ее элементарными преобразованиями к ступенчатому
виду:
где aij ≠ 0; i = 1, ..., r; r ≤
k.

33.

Пример.
ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ (НЕЗАВИСИМОСТЬ) СТРОК
(СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ
Определение.
Строки (столбцы) матрицы Amn е1, е2, ..., еm называются линейно
зависимыми,
зависимыми если существуют такие числа λ1, λ2, ..., λm, не равные
одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы
равна нулевой строке:
λ1e1 + λ2e2 + ... + λmem = 0,
где еi = (ai1, ai2, …, ain), i = 1 ÷ m; 0 = (0,0, ... , 0).
В противном случае строки матрицы называются линейно
зависимыми.
зависимыми
Теорема о ранге матрицы:
Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно
независимых строк или столбцов, через которые линейно
выражаются все ее остальные строки (столбцы).

34.

Благодарю за внимание,
лекция окончена!