Матрицы и определители. Линейная алгебра

1. Матрицы и определители

Линейная алгебра

2. Определение матрицы

Числовой матрицей
a11
размера mxn
называется
a21
совокупность чисел,
A
расположенных в виде
...
таблицы, содержащей
m строк и n столбцов
a12 ... a1n
... ... a2 n
aij
... ... ...
a
a
...
a
mn
m1 m 2

3. Основные понятия

Если m=n число строк равно числу
столбцов, матрица называется
квадратной.
Если m=1– это матрица-строка или
вектор-строка
Если n=1– это матрица-столбец или
вектор-столбец

4. Основные понятия

Если все элементы матрицы кроме
диагональных равны нулю, то матрица
называется диагональная.
Если диагональные элементы
диагональной матрицы равны единице,
то матрица называется единичной.

5. Основные понятия

Матрицы А и В
A B aij bij
называются равными,
i 1,...m
если они имеют
одинаковый размер и их
соответствующие
элементы равны
j 1,...n

6. Сложение матриц

Алгебраической суммой
2-х равных матриц А и В
называется третья
матрица С, элементы
которой являются суммой
соответствующих
элементов А и В.
С A B сij aij bij
i 1,...m
j 1,...n

7. Умножение матрицы на число

При умножение матрицы А
на число
получается другая матрица С,
элементы которой являются
произведением элементов А
и заданного числа.
С A сij aij
0
i 1,...m
j 1,...n

8. Линейная комбинация матриц

Линейной комбинацией
матриц
С A B сij aij bij
называется другая матрица С,
, 0
элементы которой
i 1,...m
определяются следующим
j 1,...n
образом:

9. Произведение матриц

Произведением матриц
называется другая матрица С,
элементы которой
определяются следующим
образом:
n
С A B сij aik bkj
k 1
i 1,...m
«строка на столбец».
j 1,...n
Число столбцов 1-ой
A B B A
перемножаемой матрицы
должно равняться числу
строк 2-ой
перемножаемой матрицы

10. Определитель матрицы

Определителем или
детерминантом
матрицы порядка n
a11 a12 a13
называется число,
A det A a21 a22 a23
вычисляемое из
элементов матрицы по
определенному правилу
a31 a32 a33

11. Определитель матрицы 1-го порядка

Определителем
матрицы 1-го
порядка называется
число, равное
элементу матрицы
A det A a11 a11

12. Определитель матрицы 2-го порядка

Определителем матрицы 2-го порядка называется
число, вычисляемое из элементов матрицы по
следующему правилу
A det A
a11
a12
a21 a22
a11 a22 a12 a21

13. Определитель матрицы 3-го порядка – правило треугольников

(+)
a11 а12 а13
Δ= а21 а22 a23
a31 a32 a33
(--)
=
a11 а12 а13
а21 а22 a23
a31 a32 a33
= a11 а22 a33 + а13 а21 a32 +а12 a23 a31–
- а13 а22 a31 – a11 a23 a32 – а12 а21 a33
=

14. Определение минора матрицы

Минором Mij элемента aij
матрицы А порядка n
называется определитель
порядка (n-1), полученный из
элементов матрицы путем
a11 a12 a13
A a21 a22 a23
a a a
31 32 33
вычеркивания
i–строки и j–столбца, на
пересечении которых стоит
этот элемент
M 12
a21
a23
a31
a33

15. Определение алгебраического дополнения матрицы

Алгебраическим
дополнением Aij
элемента aij матрицы А
порядка n называется
минор этого элемента
Mij, взятый со знаком
(-1)i+j
Aij ( 1)
i j
M ij

16. Вычисление определителя

Определитель
квадратной матрицы
равен сумме
произведений
элементов к-л. строки
или столбца на
соответствующие им
алгебраические
дополнения
m
n
i 1
j 1
A aij Aij aij ( 1) i j M ij

17. Транспонирование матрицы

Транспонирование
матрицы – это
изменение мест
строк и столбцов
1 2 3
A 4 5 6
7 8 9
1 4 7
T
A 2 5 8
3 6 9

18. Свойства определителей 1

Определитель матрицы не меняется при
её транспонировании.
det A=det AT

19. Свойства определителей 2

При перестановке
2-х рядов
определитель
матрицы меняет
знак на
противоположный
1 2 3
4 5 6
A 4 5 6 1 2 3
7 8 9
7 8 9

20. Свойства определителей 3

Определитель матрицы
не изменится если
общий множитель
элементов к-л.
ряда вынести за
знак определителя
1 2 3
1 2 3
A 4 6 8 2 2 3 4
7 8 9
7 8 9

21. Свойства определителей 4

Определитель матрицы
равен нулю, если
все элементы к-л.
1 2 3
ряда равны нулю.
A 0 0 0 0
7 8 9

22. Свойства определителей 5

Определитель матрицы
равен нулю, если
элементы 2-х рядов
равны.
1 2 3
A 1 2 3 0
7 8 9

23. Свойства определителей 6

Определитель матрицы
равен нулю, если
элементы 2-х рядов
пропорциональны.
1 2 3
A 3 6 9 0
7 8 9

24. Свойства определителей 7, 8

Определитель матрицы
Определитель матрицы не
равен нулю, если
изменится, если все
элементы к-л. ряда
элементы к-л.ряда
являются линейной
умножить на число и
комбинацией
прибавить к
элементов других
соответствующим
рядов.
элементам другого
ряда.

25. Свойства определителей 9

Если все элементы к-л.ряда представить в виде
суммы 2-х слагаемых, то определитель можно
записать в виде суммы 2-х определителей.