Лекция 1.
Немного истории
Виды матриц
Операции над матрицами
Свойства сложения матриц:
Чтобы вычесть из матрицы А матрицу В, нужно к матрице А прибавить матрицу, противоположную матрице В. А – В = А + (-В)
Произведением матрицы А = (aij) на число k называется матрица С = (cij) тех же размеров, у которой cij = k · aij для любых i,j.
Свойства умножения матрицы на число:
Произведением матрицы А = ( ) размеров mхn на матрицу В = ( ) размеров nхp называется матрица С = (cij) размеров mхp, = a i1 b
Транспонирование матриц.
Свойства транспонирования
Обратная матрица.
Aij – алгебраические дополнения элементов aij матрицы А.
Ранг матрицы
Определители
Определитель матрицы второго порядка
Определитель матрицы
Определитель матрицы третьего порядка
Определитель третьего порядка
Вычислить
Вычислить
Способы вычисления определителя третьего порядка
Алгебраическое дополнение
Теорема 1.Определитель равен сумме произведений элементов какой – либо строки на их алгебраические дополнения
Теорема 2. Определитель равен сумме произведений элементов какого – либо столбца на их алгебраические допол-нения.
Пример 5: Найти определитель:
Решение системы линейных уравнений :
Решение систем уравнений с двумя переменными
Решение систем уравнений с двумя переменными
Решение систем уравнений с тремя переменными
Решение систем линейных уравнений с тремя переменными
Решение систем уравнений с тремя переменными
Решение систем уравнений с тремя переменными
Решение систем уравнений с тремя переменными
Решение систем уравнений с тремя переменными
Решение систем уравнений с тремя переменными
Решение систем уравнений с тремя переменными
Решение систем уравнений с тремя переменными
Вывод основной формулы
Способ решения
Рассмотрим пример 1
Рассмотрим пример 3
Рассмотрим пример 4
Итак, для этого метода нужно:
Вычисление ранга матрицы с помощью метода элементарных преобразований
Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных.
Пример 6. Решить систему уравнений методом Гаусса:
1.67M
Category: mathematicsmathematics

Матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами. Системы линейных алгебраических уравнений

1. Лекция 1.

Матрицы
Виды матриц
Операции над матрицами
Системы линейных
алгебраических уравнений

2. Немного истории

• Ценность научного творчества безгранична.
Для общего прогресса человечества
наиболее ценным является творчество,
устанавливающее новые пути, по которым
идут исследователи.
• К числу учёных новаторов принадлежит
гениальный немецкий математик Карл
Фридрих Гаусс. Основная черта научных
работ Гаусса – это их исключительная
разносторонность. Гаусс также считался
одним из создателей неэвклидовой
геометрии.

3.

Он занимался высшей алгеброй, теорией
чисел, дифференциальной геометрией,
теорией вероятности, теорией электричества
и магнетизма, вопросами капиллярности,
геодезией и астрономией. Во всех этих
областях Гаусс сделал оригинальные
открытия.
Габриель Крамер – швейцарский математик.
Установив и опубликовав в 1705 году правило
решения систем линейных уравнений с
буквенными коэффициентами, он внёс
значительный вклад в развитие алгебры.

4.

• Матрицей размерностью m x n
называется прямоугольная таблица
чисел (элементов матрицы),
содержащая m строк и n столбцов.
Если m=n, матрицу называют
квадратной матрицей порядка n.

5.

Обозначения:
a11
a 21
...
a
m1
a12
a 22
...
am2
... a1n
... a 2 n
... ...
... a mn
a11
a
21
...
a m1
a12
a 22
...
am2
... a1n
... a 2 n
... ...
... a mn

6. Виды матриц

Нулевая матрица
0=
0
0
...
0
0
0
...
0
...
...
...
...
0
0
...
0

7.

Матрица, противоположная матрице А
-А =
a11
a
21
...
a m1
a12
a 22
...
am2
... a1n
... a 2 n
...
...
... a mn
Трапециевидная
(ступенчатая)
матрица
a11
0
...
0
0
...
0
a12
... a1r
a 22
... a 2 r
...
0
... ...
... a rr
0
...
0
...
0
...
0
...
0
... a1n
... a 2 n
... ...
... a m
... 0
... ...
0 0

8.

Матрица-строка:
a11
a12.......
a1n
Матрица-столбец:
Верхняя треугольная
матрица:
a11
0
...
0
a12
a 22
...
0
... a1n
... a 2 n
... ...
... a mn
a11
a
21
.
a m1

9.

Нижняя треугольная
матрица
Диагональная матрица
a11
a
21
...
a m1
0
a 22
...
am2
a11
0
...
0
0
a 22
...
0
... 0
... 0
... ...
... a mn
... 0
... 0
... ...
... a mn

10.

1
0
Е = ...
0
Единичная матрица
0
1
...
0
...
...
...
...
0
0
...
1
Если все aij действительные, то матрица А
называется действительной; если хотя бы
одно из чисел aijкомплексное, то матрица
называется комплексной.

11. Операции над матрицами

Суммой матриц А = ( aij) и В = ( bij)
одинаковых размеров называется
матрица С = ( cij) тех размеров, у
которой cij =aij + bij , для любых i, j.
aij
bij
C=A+B
bij
cij

12. Свойства сложения матриц:


A +B = B + A
(A +B) +C = A + (B + C)
A+0=A
A + (-A) = 0, для любых А, В, С
одинаковых размеров.

13.

Пример 1: Найти сумму матриц: С = А + В
А=
2 3
1
4 1 6
5 0 1
В =
0 1 2
3 1 3
2 1 0
С=
1 5
1
0 9
7
3 1 1

14. Чтобы вычесть из матрицы А матрицу В, нужно к матрице А прибавить матрицу, противоположную матрице В. А – В = А + (-В)

• Найти разность матриц А – В
1
2
• А=
3 4
Решение: С = А – В
2 1
В=
2 3

15.

А= 1
2
3 4
3
1
С=
5 7
1
2 3
- В = 2

16. Произведением матрицы А = (aij) на число k называется матрица С = (cij) тех же размеров, у которой cij = k · aij для любых i,j.

C=k·A
• Пример 3: Дана матрица
1 2 1
А = 2 3 0
2 4 2
• Тогда 2А = 4 6 0
6 4 10
3 2
5

17. Свойства умножения матрицы на число:

1)
1 A A
2) ( A) ( ) A
3) ( A B) A B
4) ( ) A A A
для любых А,В одинаковых размеров, любых α, β R

18. Произведением матрицы А = ( ) размеров mхn на матрицу В = ( ) размеров nхp называется матрица С = (cij) размеров mхp, = a i1 b

Произведением матрицы А = ( aik ) размеров
mхn на матрицу В = ( bkj) размеров nхp
называется матрица С = (cij) размеров mхp,
= a i1 b 1j + a i2 b 2 j + … + a in b n j .
C = AB
Свойства умножения матриц:
AE = EA = A
A0 = 0A = 0
(AB)D = A(BD)
(A + B)D = AD + BD
D(A + B) = DA + DB (при условии, что все указанные
операции имеют смысл). Для квадратных матриц
АВ≠ВА
( AB) ( A) B A( B)

19.

Даны матрицы:
1
3 2
А =
5 2 1
и В=
1
2
0
С = АВ
3 4 0
С =
5 4 0
1
С =
9

20. Транспонирование матриц.

a11
a
А= 21
...
a m1
T
A
a12
a 22
...
am2
... a1n
... a 2 n
... ...
... a mn
т =
А
a11
a
21
...
a1n
– транспонированная матрица.
a12
a 22
...
a2n
... a m1
... a m 2
... ...
... a mn

21. Свойства транспонирования

1. ( A ) A
T T
2. ( A)
T
A
3. ( A B)
T
T
A B
T
4. ( AB) B A
T
T
T
T

22. Обратная матрица.

1
• Матрица A
1
называется обратной для матрицы А, если
1
• A A = A A =E
A11... A21... An1
A ... A ... A
1 12
22
n2
1
A
...
...
det A ...
A1n ... A2 n ... Amn

23. Aij – алгебраические дополнения элементов aij матрицы А.

Свойства обратной матрицы:
1 1
• 1. ( A ) A
• 2.
• 3.
( AB)
1
B A
1
1
det A
det A
1
1

24. Ранг матрицы

• Ранг матрицы – наивысший
порядок отличных от нуля её
миноров.
• Обозначение: rang A, rgA

25.

Теорема.
Ранг матрицы не изменяется
элементарных преобразованиях матрицы.
при
Элементарные преобразования матрицы:
1) Отбрасывание нулевой строки(столбца)
2) Умножение
всех
элементов
строки(столбца)
матрицы на число не равное нулю
3) Изменение порядка строк(столбцов) матрицы
4) Прибавление
к
каждому
элементу
одной
строки(столбца) соответствующих элементов другой
строки(столбца), умноженных на любое число
5) Транспонирование матрицы

26.

Определители квадратных матриц
Миноры
Алгебраические дополнения

27. Определители

Обозначение: , det A
(детерминант).
Они существуют у квадратных матриц.
Определение 1. Определителем
второго порядка
называется выражение
a1
b1
a2
b2
a1b2 a2b1 .

28. Определитель матрицы второго порядка

Определителем матрицы второго порядка , или
определителем второго порядка, называется число,
равное разности произведения элементов главной и
побочной диагоналей.
a1
a2
b1
a1 b2 a2 b1
b2
1 3
7 9

29. Определитель матрицы

a1
b1
a2 b2
1 3
7 9
a1 b2 a2 b1
1 9 7 3 9 21 12
3 3
3 8 6 3 24 18 6
6 8

30.

Свойства определителей:
1. Если в определителе какие-либо две строки
(столбца) равны между собой, то такой
определитель равен 0.
2. Общий множитель всех элементов какой-либо
строки (или столбца) можно выносить за знак
определителя.
3. Если поменять в определителе местами какиелибо две строки (столбца), то определитель
меняет знак.
4. Если все элементы какой-либо строки (столбца)
определителя равны 0, то такой определитель
равен 0.

31. Определитель матрицы третьего порядка

Определителем матрицы третьего
порядка, или определителем третьего
порядка, называется число, которое
вычисляется по формуле:
= a1⋅b2⋅c3

+ a3⋅b1⋅c2 + a2⋅b3⋅c1 - a3⋅b2⋅c1 - a2⋅b1⋅c3- a1⋅b3⋅c2

32. Определитель третьего порядка

= a1b2c3+a3b1c2+a2b3c-a
1 3b2c1-a2b1c3-a1b3c2

33.

Определитель третьего порядка
= a1b2c3+a3b1c2+a2b3c1-a3b2c1-a2b1c3-a1b3c2
=6⋅1⋅2 +(-2) ⋅3⋅(-3) +4⋅(-3) ⋅0-(-2) ⋅1⋅0 -4⋅3⋅2-6⋅(-3) ⋅(-3) =-48

34. Вычислить

1∙4 ∙0 + (-3) ∙3 ∙2+(-1) ∙0 ∙2-(-3) ∙4 ∙(-1)-0 ∙0 ∙3-1 ∙2 ∙2= -34

35. Вычислить

8

36. Способы вычисления определителя третьего порядка

a1 b1
a2 b2
a3 b3
c1
c2
c3
=
a1
b2
c2
b3
c3
где a1 , b1 , c1 , a 2 , b2 , c2 , a3 , b3 , c3
b2
b3
c2 a2
,
c3 a 3
c2 a2
,
c3 a 3
b1
a2
c
a3
c3
c1
a2
b2
a3
b3
,
- элементы определителя,
b2
b3
- миноры элементов а1, b1, c1

37.

Минором Мij какого – либо элемента aij
определителя порядка n называется
определитель порядка n – 1,
полученный из вычерчиванием i– й
строки и j – го столбца. Это первый
способ.
a11
a 21
...
a12
a 22
...
... a1n
... a 2 n
... ...
a n1
an 2
... a nn

38.

Третий способ.
+ +
a11
a 21
a31
a12
a 22
a32
a13
a 23
a33
=
a11
a 21
a31
-
+
a12
a 22
a32
-
a13
a 23
a33
-
a11
a12
a 21
a 22
a31
a32

39. Алгебраическое дополнение

• Алгебраическим дополнением элемента
аij определителя называется
определитель Ay ( 1) i j M y , где Мy
– минор элемента aij.
Для нахождения определителя III
порядка можно использовать две
теоремы.

40. Теорема 1.Определитель равен сумме произведений элементов какой – либо строки на их алгебраические дополнения

a1 A1 b1 B1 c1C1 (1)
a 2 A2 b2 B2 c 2 C 2 (2)
a3 A3 b3 B3 c3C3 (3)

41. Теорема 2. Определитель равен сумме произведений элементов какого – либо столбца на их алгебраические допол-нения.

Теорема 2. Определитель равен сумме
произведений элементов какого – либо
столбца на их алгебраические дополнения.
a1 A1 a 2 A2 a3 A3 (4)
b1 B1 b2 B2 b3 B3 (5)
c1C1 c 2 C 2 c3C3 (6)

42. Пример 5: Найти определитель:

2 1 2
Пример 5: Найти определитель: 0 3 1
1 1 3
2 2
52 1
3 ( 1)
1 ( 1)
3(6 2) ( 2 1) 3 4 3 15
1 3
1 1
4

43.

Определителем четвёртого порядка
a1
a2
a3
a4
b1
b2
b3
b4
c1
c2
c3
c4
d1
d2
d3
d4
называется
выражение a1 A1 b1 B1 c1C1 d1 D1 , где
A1, B1, C1, D1 - алгебраические
дополнения элементов a1, b1, c1, d1.

44.

Решение систем линейных уравнений
методом Крамера

45.

Пусть дана система:
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1 ,
a x a x ... a x b ,
21 1
22 2
2n n
2
...............................................
a m1 x1 a m 2 x 2 ... a mn x n bm
Составим матрицу А из коэффициентов при неизвестных
a11
a 21
A
...
a
m1
a12
a 22
...
am2
... a1n
... a 2 n
... ...
... a mn

46.

Найдём определитель
det A=
a11
a 21
...
a m1
a12
a 22
...
am2
... a1n
... a 2 n
... ...
... a mn
Правило Крамера. Если m=n и det A≠0, то система
совместна и имеет единственное решение
det Ai
xi
,
det A
где det Ai – определитель, полученный из det A
заменой i-ого столбца столбцом свободных
членов.

47. Решение системы линейных уравнений :

Находим определитель системы .
Вычисляем определители х1, x2, …
Возможны три случая:
Если ≠0, то система имеет
x2
x1
,...
x1
, x2
единственное решение:
Если =0, но хотя бы один из
определителей хi не равен нулю, то система
не имеет решений.
• Если =0, х1=0, х2=0, …, хn=0, то
система имеет бесконечное множество
решений.

48. Решение систем уравнений с двумя переменными

a1 x b1 y c1
a2 x b2 y c2
x
c1
b1
c2
b2
x
x
y
a1
b1
a2
b2
a1
c1
a2
c2
y
y

49. Решение систем уравнений с двумя переменными

a1 x b1 y c1
a2 x b2 y c2
5 x 3 y 7
2 x 3 y 7
5 3
5 3 2 3
2 3
21 0
a1
b1
a2
b2
7 3
7 3 7 3 21 21 42
x
7 3

50.

5 x 3 y 7
2 x 3 y 7
5 3
5 3 2 3 21 0
2 3
7 3
7 3 7 3 42
x
42
x
7 3
x
2
5 7
5 7 2 7 21
y
2 7
y
21
21
1
y
21

51.

x 7 y 15
2 x y 4
1 7
1 2 7 1 14 13 0
2 1
15 7 15 28 13
x
x
4 1
x
1
1 15
4 30 26
y
2 4
y
y
2

52.

Пример. Решить систему:
Решение:
2 x 3 y 5,
x 3 y 2
2 3
6 3 3 x 5 3 15 6 9
1 3
2 3
2 5
y
4 5 1
1 2
9
x 3
3
1
y
3

53. Решение систем уравнений с тремя переменными

z
y
x
a1 x b1 y c1 z d1
z
y
x
a2 x b2 y c2 z d 2
a x b y c z d
3
3
3
3
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
d1
x d2
d3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
a1
y a2
a3
d1
d2
d3
c1
c2
c3
a1
z a2
a3
b1
b2
b3
d1
d2
d3

54. Решение систем линейных уравнений с тремя переменными

z
y
x
3 x 2 y 4 z 8
z
y
x
2 x 4 y 5 z 11
4 x 3 y 2 z 1
3 2 4
2 4 5 19
4 3 2

55. Решение систем уравнений с тремя переменными

z
y
x
3x 2 y 4 z 8
z
y
x
2 x 4 y 5 z 11
4 x 3 y 2 z 1
3 2 4
2 4 5 19
4 3 2
8 2 4
x 11 4 5
1 3 2

56. Решение систем уравнений с тремя переменными

3 x 2 y 4 z 8
z
y
x
z
y
x
2 x 4 y 5 z 11
4 x 3 y 2 z 1
19
8 2 4
x 11 4 5 38
1 3 2
x 38
x
2
19

57. Решение систем уравнений с тремя переменными

z
y
3x 2 y 4 z 8
z
y
x 2
2 x 4 y 5 z 11
4 x 3 y 2 z 1
19
3 2 4
2 4 5 19
4 3 2
3 8 4
y 2 11 5
4 1 2

58. Решение систем уравнений с тремя переменными

3x 2 y 4 z 8
2 x 4 y 5 z 11
4 x 3 y 2 z 1
3 8 4
y 2 11 5 57
4 1 2
x 2
y 3
19
y
57
y
3
19
z
z

59. Решение систем уравнений с тремя переменными

3x 2 y 4 z 8
2 x 4 y 5 z 11
4 x 3 y 2 z 1
3 2 4
2 4 5 19
4 3 2
3 2 8
z 2 4 11
4 3 1
x 2
19
y 3
z
z

60. Решение систем уравнений с тремя переменными

3x 2 y 4 z 8
2 x 4 y 5 z 11
4 x 3 y 2 z 1
3 2 8
z 2 4 11 19
4 3 1
x 2
y 3
19
z 19
z
1
19
z 1

61. Решение систем уравнений с тремя переменными

3x 2 y 4 z 8
2 x 4 y 5 z 11
4 x 3 y 2 z 1
x 2
Проверка
3 2 2 3 4 1 6 6 4 8
2 2 4 3 5 1 4 12 5 11
4 2 3 3 2 1 8 9 2 1
y 3
z 1

62.

Пример 2. Решить систему: 2 x x x 2,
1
2
3
x1 x2 5 x3 7,
2 x 3x 3x 14
2
3
1
Решение:
2 1 1
2 1 1 2 1
1 1 5 1 1 5 1 1 6 10 21 14 30 21 22
2 3 3 2 3 3 2 3

63.

Находим:
х1,
х2,
х3.
2 1 1
2 1 1 2 1
x1 7 1 5 7 1 5 7 1 6 70 21 14 30 21 22
14 3 3 14 3 3 14 3
2 2
1
2 2
1 2 2
x 2 1 7 5 1 7 5 1 7 42 20 14 14 140 6 44
2 14 3 2 14 3 2 14
2 1 2
2 1 2 2 1
x3 1 1 7 1 1 7 1 1 28 14 6 4 42 14 44
2 3 14
2 3 14 2 3

64.

Применяем формулы Крамера:
x1 22
x1
1
22
x2 44
x2
2
22
x3
44
x3
2
22
х1=1;
х2=2;
х3=-2

65.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ
ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

66.

Дана система (1):
a11
A a 21
a31
a12
a 22
a32
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1
a 21 x1 a 22 x2 a 23 x3 b2
a x a x a x b
32 2
33 3
3
31 1
a13
x1
b1
a 23 ; X x2 ; B b2
x3
b3
a33
Матричная запись системы линейных уравнений имеет
1
вид(2): АХ=В Отсюда: Х= A 1 B , где А
матрица,
обратная матрице А.

67. Вывод основной формулы

1)
Предположим, что rang(A) = rang(A|B) = n, т.е.
система имеет решение, причем единственное.
основная матрица системы А – невырожденная, т.е.
главный определитель Δ ≠ 0 .
Для невырожденной матрицы А есть обратная А
2) Умножив уравнение 2 на А
определитель, которой Δ = 1:
А Х=В
Α
-1
-1
A ⋅ A⋅ X = A ⋅ B
Е=1
-1
-1
-1
и помня, что А А = Е
-1
-1
Χ=Α Β
(3)

68. Способ решения

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений
в матричном виде (2) с невырожденной квадратной
матрицей А.
-1
АХ=В
(2)
Х=А В
Отсюда получаем решение системы (3), где А
обратная матрица
А
1
-1
=
detА
A11 A21 A31 ….A n1
A12 A22 A32…. An2
…………………..
An1 An2 An3 …. Ann
(3)
-1
(4)
-

69. Рассмотрим пример 1

Задание.
Найти решение системы
с помощью обратной матрицы.
Х1 + Х2 = 3
Х1 – Х2 = 1
Решение.
1) Запишем систему в матричном виде
А=
1 1
1 -1
1 1
1 -1
Х1
Х2
Х=
Х1
Х2
=
3
1
В=
АХ=В
3
1
- матричный вид системы

70.

2) Получаем решение системы
-1
где А - обратная матрица
-1
А =
1
Δ
A11 A21
A12 A22
-1
Х=А В
где Δ - главный определитель системы,
Аij – алгебраические дополнения
3) Вычислим обратную матрицу
Δ=
-1
А =
1 1
1 -1
1
-2
= -1-1 = -2 ≠ 0
-1 -1
-1 1
1
=
2
А – невырожденная матрица
1
1
1
-1

71.

-1
3) Найдём решение системы
Х=А В
1
1
-1
Х=А В =
2
1 1
1 -1
Ответ: Х1 = 2 ; Х2 = 1
3
1
=
2
4
2
=
2
1

72.

Пример 2. Решить с помощью обратной матрицы
систему уравнений:
Решение:
Находим определитель
2 x1 x 2 x3 2
x1 x 2 5 x3 7
2 x1 3 x 2 3 x3 14
(det A)
2 1 1 2 1
1 1 5 1 1 6 10 3 2 30 3 22
2 3 3 2 3
Если
= 0, то система не имела бы решения.

73.

Вычислим алгебраические дополнения для элементов
каждой строки.
3 15 18
2 1
A22 ( 1)
6 2 8
2 3
1 5
A12 ( 1)
( 3 10) 13
2 3
2 1
A23 ( 1)
(6 2) 4
2 3
A11 ( 1)
2
1
5
3 3
3
A13 ( 1) 4
1 1
3 2 1
2 3
1 1
A21 ( 1)
( 3 3) 6
3 3
3
4
5
1 1
A31 ( 1)
5 1 4
1 5
4
2 1
A32 ( 1)
(10 1) 3
1 5
5
2 1
A33 ( 1)
2 1 1
1 1
6

74.

Составляем обратную матрицу:
18 6 4
1
1
A
13
8
9
22
1
4
1
2
B 7
14
4 2
18 6
1
X 13 8 9 7
22
4 1 14
1
18 2 6( 7) 4 14
22 1
1
1
13 2 ( 8)( 7) ( 9)14 44 2
22
22
2
1
2
(
4
)(
7
)
1
14
44
Отсюда:
x1 1
x2 2
x 2
3

75. Рассмотрим пример 3

Задание.
Найти решение системы
с помощью обратной матрицы.
Решение.
1) Запишем систему в матричном виде
1 2 -1
А = 2 -1 1
1 1 2
Х=
Х1
Х2
Х3
В=
2) Составим матричное уравнение
АХ=В
4
1
5
1 2 -1
2 -1 1
1 1 2
Х=
4
1
5

76.

-1
3) Решим матричное уравнение Х = А В
-1
где А - обратная матрица
-1
А =
A11 A21 А31
1
A12 A22 А23
Δ А13 А23 А33
где Δ - главный определитель системы,
Аij – алгебраические дополнения
4) Найдём главный определитель основной матрицы А
Δ=
1 2 -1
2 -1 1
1 1 2
= -2 -2+2-1-1-8 = -12 ≠ 0
А – невырожденная матрица, значит обратная матрица существует

77.

5) Найдём алгебраические дополнения для основной
матрицы А
6) Вычислим обратную матрицу А
-1
А =
1
-12
-3 -5 1
-3 3 -3
3 1 -5
=
1
12
-1
3 5 -1
3 -3 3
-3 -1 5

78.

7) Найдём неизвестную матрицу Х, которая является
решением данной системы
-1
Х=А В =
1
3 5 -1
3 -3 3
-3 -1 5
12
=
1
12
12
24
12
=
1
2
1
=
Х1
Х2
Х3
Ответ: Х1 = 1 ; Х2 = 2 ; Х3 = 1
4
1
5
=
1
12
12+5-5
12-3+15
-12-1+25
=

79. Рассмотрим пример 4

Задание.
Найти решение системы
с помощью обратной матрицы.
Решение.
1) Запишем систему в матричном виде
1 -3
А = 1 -1
1 -2
4
7
1
Х=
Х1
Х2
Х3
В=
2) Составим матричное уравнение
АХ=В
6
7
2
1 -3
1 -1
1 -2
4
7
1
Х=
6
7
2

80.

-1
3) Решим матричное уравнение Х = А В
-1
где А - обратная матрица
-1
А =
A11 A21 А31
1
A12 A22 А23
Δ А13 А23 А33
где Δ - главный определитель системы,
Аij – алгебраические дополнения
4) Найдём главный определитель основной матрицы А
Δ=
1 -3
1 -1
1 -2
4
7
1
= 1∙13 + 1∙(-5) + 1∙(-17) = -9 ≠ 0
А – невырожденная матрица, значит обратная матрица существует

81.

5) Найдём алгебраические дополнения для основной
матрицы А
6) Вычислим обратную матрицу А
-1
А =
1
-9
13 -5 -17
6 -3 -3
-1 -1 2
=
1
9
-1
-13
-6
1
5
3
1
17
3
-2

82.

7) Найдём неизвестную матрицу Х, которая является
решением данной системы
-1
Х=А В =
1
9
=
1
9
-9
-9
9
=
-13
-6
1
-1
-1
1
5
3
1
17
3 ∙
-2
=
Х1
Х2
Х3
Ответ: Х1 = -1 ; Х2 = -1 ; Х3 = 1
6
7
2
=
1
9
-78+35+34
-36+21+6
6+7-4
=

83. Итак, для этого метода нужно:

Найти и посчитать матрицу, обратную для
основной матрицы системы
(если она существует);
умножить полученную матрицу на матрицустолбец свободных членов
полученная в результате умножения тоже
матрица-столбец и есть решение системы.

84.

Теорема.
Ранг матрицы не изменяется
элементарных преобразованиях матрицы.
при
Элементарные преобразования матрицы:
1) Отбрасывание нулевой строки(столбца)
2) Умножение
всех
элементов
строки(столбца)
матрицы на число не равное нулю
3) Изменение порядка строк(столбцов) матрицы
4) Прибавление
к
каждому
элементу
одной
строки(столбца) соответствующих элементов другой
строки(столбца), умноженных на любое число
5) Транспонирование матрицы

85. Вычисление ранга матрицы с помощью метода элементарных преобразований

Задание.
Найти ранг матрицы
А=
0 4 10 1
4 8 18 4
10 18 40 17
1 7 17 3
Решение.
Шаг 1. Из третий строчки вычтем вторую, умножив
её на число два ( преобразование 3)
0 4 10 1
0
4
10
1
4 8 18 4
4
8
18
4
10 18 40 17 ⇔ 10-4 2 18-8 2 40-18 2 17-7 2 ⇔
1 7 17 3
1
7
17
3
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 3
0
4
2
1
4
8
2
7
10
18
4
17
1
4
3
3

86.

Шаг 2. От второй строки отнимаем четвертую,
умноженную на число четыре ( преобразование 3)
0
4
2
1
4
8
2
7
10
18
4
17
1
4
3
3

0
4
10
1
0 4 10 1
4-1 4 8-7 4 18-17 4 4-3 3 ⇔ 0 -20 -50 -5
2
2
4
3
2
2
4 3
1
7
17
3
1
7 17 3
Шаг 3. От третий строки отнимаем четвертую,
умноженную на число два ( преобразование 3)
0 4 10 1
0 -20 -50 -5
2
2
4 3
1
7 17 3
0
4
0
-20
⇔ 2-1 2 2-7 2
1
7
10
1
-50
-5
4-17 2 3-3 2 ⇔
17
3
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 3
0 4 10 1
0 -20 -50 -5
0 -12 -30 -3
1 7 17 3

87.

Шаг 4. Ко второй строке прибавим первую, умноженную
на число пять ( преобразование 3)
0 4 10 1
0
4
10
1
0 4 10 1
0 -20 -50 -5 ⇔ 0-0 5 -20+4 5 -50+10 5 -5+1 5
0 0 0 0

0 -12 -30 -3
0
-12
-30
-3
0 -12 -30 -3
1 7 17 3
1
7
17
3
1 7 17 3
Шаг 5. К третьей строке прибавим первую, умноженную
на число три ( преобразование 3)
0 4 10 1
0 0 0 0
0 -12 -30 -3
1 7 17 3
0
4
10
1
0
0
0
0
0
0
⇔ 0+0 3 -12+ 4 3 -30+10 3 -3+1 3 ⇔ 0
1
7
17
3
1
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 3
4 10
0 0
0 0
7 17
1
0
0
3

88.

Шаг 6. Меняем местами первую и вторую строчки.
Далее четвертую и первую строки
0
0
0
1
4 10
0 0
0 0
7 17
1
0
0
3

0
0
0
1
0
4
0
7
0
10
0
17
0
1
0
3

1
0
0
0
7
4
0
0
17
10
0
0
3
1
0
0
4х4
С помощью элементарных преобразований над
строками матрицу А привели к ступенчатому виду
1
0
0
0
7
4
0
0
17
10
0
0
3
1
0
0
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 2
1
0
4х4
7
4
17
10
3
1
rang (A) = 2
2х4
Ответ: rang (A) = 2

89.

90.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ
ГАУССА.

91. Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных.

Пусть задана система:
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1 ,
a x a x ... a x b ,
21 1
22 2
2n n
2
...............................................
a s1 x1 a s 2 x 2 ... a sn x n bs

92.


1. Составим расширенную матрицу.
2. С помощью элементарных преобразований строк
расширенную матрицу приведём к треугольному
(ступенчатому) виду.
3. Вернувшись к системе уравнений, находим
неизвестные.
Элементарными преобразованиями матрицы
называют:
Умножение какой-нибудь строки (столбца) на
отличное от нуля число.
Прибавление к какой-нибудь строке (столбцу)
другой её строки (столбца), умножение на любое
число, отличное от нуля.
Перестановку местами любых двух строк.

93. Пример 6. Решить систему уравнений методом Гаусса:

2 x1 x2 x3 2,
x1 x2 5 x3 7,
2 x 3x 3x 14
2
3
1

94.

Составим расширенную матрицу и
приведём её к треугольному виду с
помощью элементарных преобразований.
2 1 1 2 1 1 5 7
2 2
1 1 5 7 2 1 1 2
2 3 3 14 2 3 3 14

95.

Получаем:
1 1
5 7 1 1
5 7 1 1
5 7
0 1 9 16 0 1 13 28 0 1 13 28
0 1 13 28 0 0 22 44 0 0 1 2
Вернёмся к системе уравнений
x1 x 2 5 x3 7,
x 2 13x3 28,
x 2
3
x1 1,
x 2 2,
x 2
3
x1 x 2 10 7,
x 2 26 28,
x 2
3
x1 2 3,
x2 2,
x 2
3
x1 x2 3,
x2 2,
x 2
3
Ответ: х1=1; х2=2; х3=-2

96.

Метод Гаусса применим к любой системе
линейных уравнений. При этом система будет
несовместной, т.е. не иметь решения, если
после преобразований мы получим
уравнение, в котором коэффициенты при
всех неизвестных равны нулю, а свободный
член отличен от нуля.
Пример 7. Решить систему:
x1 5 x 2 8 x3 x 4 3,
3x x 3x 5 x 1,
1
2
3
4
x1 7 x3 2 x 4 5,
11x 2 20 x3 9 x 4 2

97.

Решение: Составим расширенную матрицу и
преобразуем её.
1 5 8 1 3
3 1
3 1 3 5 1
1 0 7 2 5
0 11 20 9 2
1 5 8 1 3
0 16 21 8 8
0 5
1
1 8
21 20
0 11 20 9 2

98.

Получаем:
1 5 8
1 3 1 5
0 89 0 29 160 0 89
0
5
1
1 8
0
5
0 89 0 29 162 0
0
8
1 3
0 29 160
1
1 8
0
0 2
Мы видим, что последнее уравнение
будет 0 = 2. Значит, заданная система
будет несовместной, т.е. не иметь
решения. Совместная система будет
неопределённой, (то есть иметь решений
больше, чем одно), если после преобразований матрица приводится к трапециевидному виду.

99.

Пример 8. Решить систему:
x1 x 2 x3 x 4 1,
x x 2 x x 0,
1
2
3
4
x1 x 2 4 x3 3x 4 2,
x1 x 2 7 x3 5 x 4 3
Решение: Составим расширенную матрицу и преобразуем её.
1
1
1
1
1 1
1 1
1 1 1
1 2 1 0
1 4
3 2
1 7
5 3

100.

Получаем:
1
0
0
0
1 1
1 1 1
0 3 2 1 0
0 3
2 1
0
0 6
4 2 0
1
0
0
0
1
3
3
3
1 1 1
2 1 0
21
0
2 1 0
1
0
0
0
1
3
0
0
1 1
2 1
0 0
0 0
Вернёмся к системе уравнений.
x1 x 2 x3 x 4 1,
3x 2 x 1,
3
4
0 0,
0 0
x1 x 2 x3 x 4 1,
2
1
x3 x 4 ,
3
3
x 4 любое
2
1
x
x
x
x 4 1,
2
4
1
3
3
2
1
x
x
,
3
4
3
3
x 4 любое

101.

В итоге имеем:
1
2
x
x
x
, x 2 любое
2
4
1
3
3
2
1
x3 x 4 ,
3
3
x 4 любое
1
2
x1 x 2 3 x 4 3 ,
2
1
x3 x 4 ,
3
3
x 2 , x 4 любое

102.

Рассмотрим случай, когда заданная система
состоит из линейных однородных уравнений, то есть
уравнений, свободные члены которых равны нулю.
Такая система всегда совместна, так как обладает
нулевым решением (0; 0; …; 0). Если в системе
линейных однородных уравнений число уравнений
меньше числа неизвестных, то эта система обладает,
помимо нулевого решения, также и ненулевыми
решениями. Таких решений будет бесконечно много.
Пример 9. решить систему:
4 x1 x2 3x3 x4 0,
2 x1 3x2 x3 5 x4 0,
x 2 x 2 x 3x 0
2
3
4
1

103.

Решение:
Эта система однородных уравнений; причём число
уравнений меньше числа неизвестных (3<4), поэтому
данная система будет неопределённой.
• Составим матрицу из коэффициентов (так как
свободные члены равны нулю) и преобразуем её.
5 13 0 2
0 2
0 9
4 1 3 1
5 11 0 7
5 11
1 5 0 7
2 3
1 2 2 3
1 2 2 3 1 2 2 3

104.

Вернёмся к системе уравнений:
2 x 2 2 x 4 0,
7 x 2 5 x3 11x 4 0,
x 2 x 2 x 3x 0
2
3
4
1
x2 x4 ,
4
x3 x 4 ,
5
3
x
1 5 x 4
Как мы видим, с помощью метода Гаусса можно
решить любую систему, содержащую любое
число линейных уравнений с любым числом
неизвестных. Это один из самых эффективных
методов решения систем линейных уравнений.
English     Русский Rules