Решение систем линейных уравнений методом Крамера

1.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ
МЕТОДОМ КРАМЕРА
1

2.

Определение 1.
Линейным уравнением называется
уравнение вида
a1 x1 a2 x2 ... an xn b,
где а и b – числа, х- неизвестные.
2

3.

Определение 2.
Системой линейных уравнений (линейной
системой) называется система вида
3

4.

МАТРИЧНЫЙ ВИД СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
a11 a12
a
a22
21
... ...
a
n1 an 2
... a1n x1 b1
... a2 n x2 b2
... ... ... ...
... ann xn bn
4

5.

Определение 3.
Решением линейной системы
называется набор чисел
x01 , x02 ,..., x0 n ,
которые при подстановке вместо
неизвестных обращают каждое
уравнение системы в верное
равенство.
5

6.

В школьном курсе рассматриваются
способ подстановки и способ сложения. В
курсе высшей математике решают
методом Крамера, методом Гаусса и с
помощью обратной матрицы.
Рассмотрим решение систем линейных
уравнений методом Крамера

7.

Сведения из истории.
Крамер является одним из создателей линейной алгебры.
Одной из самых известных его работ является «Введение в
анализ алгебраических кривых», опубликованный на
французском языке в 1750 году. В ней Крамер строит
систему линейных уравнений и решает её с помощью
алгоритма, названного позже его именем – метод Крамера.

8.

Габриэль Крамер родился 31 июля 1704
года в Женеве (Швейцария) в семье врача.
Уже в детстве он опережал своих
сверстников в интеллектуальном развитии
и демонстрировал завидные способности
в области математики.

9.

В 18 лет он успешно защитил
диссертацию. Через 2 года Крамер
выставил свою кандидатуру на должность
преподавателя в Женевском университете.
Юноша так понравился магистрату, что
специально для него и ещё одного одного
кандидата на место преподавателя была
учреждена отдельная кафедра
математики, где Крамер и работал в
последующие годы.

10.

Учёный много путешествовал по Европе,
перенимая опыт у знаменитых математиков
своего времени – Иоганна Бернулли и Эйлера в
Базеле, Галлея и де Муавра в Лондоне, Мопертюи
и Клеро в Париже и других. Со многими из них
он продолжал переписываться всю жизнь.
В 1729 году Крамер возобновляет
преподавательскую работу в Женевском
университете. В это время он участвует в
конкурсе Парижской Академии и занимает
второе место.

11.

Талантливый учёный написал множество
статей на самые разные темы: геометрия,
история, математика, философия. В 1730
году он опубликовал труд по небесной
механике.

12.

В 1740-е гг. Иоганн Бернулли поручает Крамеру
подготовить к печати сборник своих работ. В 1742 году
Крамер публикует сборник в 4-х томах. В 1744 году он
выпускает посмертный сборник работ Якоба Бернулли
(брата Иоганна Бернулли), а также двухтомник
переписки Лейбница с Иоганном Бернулли. Эти работы
вызвали большой интерес со стороны учёных всего
мира.
Габриэль Крамер скончался 4 января 1752 года во
Франции

13.

Теорема Крамера
Если определитель системы отличен от нуля, то
система линейных уравнений имеет одно
единственное решение, причём неизвестное
равно
отношению
определителей.
В
знаменателе – определитель системы, а в
числителе – определитель, полученный из
определителя
системы
путём
замены
коэффициентов
при
этом
неизвестном
свободными членами. Эта теорема имеет место
для системы линейных уравнений любого
порядка.

14.

Дана система
Формулы Крамера
.
………….

15.

Заменяя столбец с коэффициентами
соответствующей переменнойсвободным членом

16.

Решение систем уравнений с тремя переменными
a1 x b1 y c1 z d1
a2 x b2 y c2 z d 2
a x b y c z d
3
3
3
3
z
z
x
y
x
y
a1
b1
c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
a1
b1
d1
c2
z a2
b2
d2
c3
a3
b3
d3
d1
b1
c1
a1
d1
c1
x d2
b2
c2
y a2
d2
d3
b3
c3
a3
d3

17.

Пример:
Решить систему уравнений
с тремя переменными
3 x 2 y 4 z 8
2 x 4 y 5 z 11
4 x 3 y 2 z 1

18.

РЕШЕНИЕ
3 x 2 y 4 z 8
2 x 4 y 5 z 11
4 x 3 y 2 z 1
8
2
4
x 11
4
5 38
1
3
2
x
x
19
y
y
x 38
x
2
19
z
z

19.

Решение систем уравнений с тремя переменными
3 x 2 y 4 z 8
2 x 4 y 5 z 11
4 x 3 y 2 z 1
3
8
4
y 2 11 5 3
4
1
2
y
x 2
y
z
z
19
11 5
1
2
8
2 5
4
2
4
3 27 8 24 4 42 81 192 168 57
2 11
4
1

20.

ПРИМЕР
3 x 2 y 4 z 8
2 x 4 y 5 z 11
4 x 3 y 2 z 1
3
8
x 2
y
19
4
y 2 11 5 57
4
1
2
y
57
y
3
19
y
z
z

21.

ПРИМЕР
3 x 2 y 4 z 8
2 x 4 y 5 z 11
4 x 3 y 2 z 1
3
z 2
2
z 1
19
8
4
11 3
3
4 3 1
4
y 3
x 2
11
1
3
2 11
4
z 19
z
1
19
1
8
2
4
4 3
19

22.

Задание1:
Решить систему уравнений
с тремя переменными
5 х 8 у z 7,
3 х 4 у 2 z 8,
2
x
3
y
2
z
9
,
2)
2
x
4
y
3
z
1
,
1)
x 2 y 3z 1
x 5y z 0
2 х у 5 z 1,
3) x 3 y 4 z 1,
2x y z 1