Линейная алгебра. Определители

1. Тема Линейная алгебра

Gabriel Cramer
1704 — 1752
ТЕМА
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ЛЕКЦИЯ
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
1.
2.
3.
4.
5.
Определители второго порядка
Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными
Определители n – ого порядка
Методы вычисления определителей
Системы из n линейных уравнений с n неизвестными.

2. Определители 2 порядка

Определители широко применяются во многих разделах
высшей математики, в теоретической механике, физике и т.д.
для сокращения записей и удобства вычислений.
Определитель 2 - го порядка это число, записанное в виде:
a11 a12
a11a22 a12a21
a 21 a 22
ai j
Номер строки
Элементы определителя,
Индексы
Номер столбца
из произведения элементов главной диагонали вычитается
Главная
диагональ
произведение элементов
побочной
диагонали.
определителя
Побочная диагональ
определителя
2

3. Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Центральная задача линейной алгебры - это решение систем
линейных уравнений.
Наиболее простым, является случай, когда число неизвестных n
равно числу уравнений n. Пусть n = 2:
a11x1 a12 x 2 b1
a21x1 a22 x 2 b2
ai j - коэффициенты при неизвестных.
Номер неизвестного,
Номер уравнения
Свободные члены уравнения
Решение данной системы - это пара чисел х1 и х2, которая при
подстановке обращает оба этих уравнения в тождества.
3

4.

a11x1 a12 x 2 b1
a21x1 a22 x 2 b2
a11 a22 x1 a12 a22 x 2 b1 a22
a12 a21 x1 a12 a22 x 2 a12 b2
a a a a x a b a b
11
22
Обозначим:
1
b1 a12
b2 a22
12
21
1
a11 a12
a 21 a 22
22
1
12
2
a11 a22 a12 a21
b1 a22 a12 b2
x1 1
4

5.

Аналогично получим: x 2 2
обозначив:
2
a11 b1
a21 b2
a11 b2 a21 b1
Система уравнений будет иметь вид:
Если
x1 1
x 2 2
0 , то решение системы находится по формулам:
1
x1
;
2
x2
Вспомогательные
определители системы
Главный определитель
системы
Формулы Крамера
5

6. Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Решить систему методом Крамера:
2x1 x 2 5
3x1 2x 2 3
Вычислим главный и вспомогательные определители системы:
21
2 2 3 1 1
3 2
5 1
1
5 2 3 1 7
3 2
2 5
2
2 3 3 5 9
3 3
Найдем решение системы по формулам Крамера:
7
x 1 7;
1
9
x2
9
1
6

7. Определители n – ого порядка

Определителем n – ого порядка называется число:
a11 a12
a21 a 22
an1 an 2
a1n
a 2n
ann
Методы вычисления определителей n – ого порядка рассмотрим
на примере вычисления определителей третьего порядка.
7

8. Методы вычисления определителей

1
Метод треугольника
+
1 3 0
2 1 4
5 6 1
_
1 ( 1) 1 3 4 5 2 6 0 5 ( 1) 0
2 3 1 1 6 4 29
Метод треугольника применим только для определителей 3 порядка
8

9. Методы вычисления определителей

2
Метод разложения определителя по элементам строки
(столбца)
Определитель второго порядка, который получается из определителя
3 - го порядка путем вычеркивания i - й строки и j - го столбца, т.е.
строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент ai j
называется минором элемента и обозначается Mi j
Алгебраическим дополнением элемента ai j называется
Ai j Mi j ( 1)i j
aa1111 aa1212 aa1313
aa2121 aa2222 aa2323
aa3131 aa3232 aa3333
aa2211 aa2312
MM1123
aa3231 aa3332
1 1 2 3
A
M
(
M23
A11 23 M11 23( 1) 1) M
11
9

10. Методы вычисления определителей

Величина определителя равна сумме произведений элементов
какой – либо строки (столбца) определителя на их
алгебраические дополнения:
n
ai j A i j
Разложение определителя по элементам
i – ой строки
ai j A i j
Разложение определителя по элементам
j – ого столбца
j 1
n
i 1
2 1 0
0 1
0 3
3 1
1 2
1 1
0 3 1 2
( 1) 0
( 1)1 3
( 1) 1
2 1
2 5
5 1
2 5 1
2 (3 1 5 1) 1 (0 1 2 1) 2
10

11. Методы вычисления определителей

3
Использование свойств определителя
Свойства определителя:
Величина определителя:
равна нулю, если элементы какого - либо столбца или строки
равны нулю:
0 0
0 a22 0 a21 0
a21 a22
равна нулю, если соответствующие элементы двух строк
(столбцов) равны
a11 a12
a11 a12
a11 a12 a11 a12 0
11

12. Методы вычисления определителей

меняет знак, если поменять местами строки (столбцы):
a11 a12
a21 a22
a11 a22 a12 a21 a12 a21 a11a22
a12 a11
a22 a21
увеличивается в k раз, если элементы какого - либо столбца
(строки) увеличить в k раз:
k a11 k a12
a21
a22
k a11 a22 k a12 a21 k
a11 a12
a21 a22
не меняется при замене строк соответствующими столбцами:
a11 a12
a21 a22
a11 a21
a12 a22
12

13. Методы вычисления определителей

не меняется, если к элементам какой-либо строки (столбца)
прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца),
умноженные на произвольный множитель
a11
a12
a21 ka11 a22 ka12
a11a22 a21a12
a11a22 a11ka12 a21a12 ka11a12
a11 a12
a21 a22
Если определитель имеет так называемый треугольный вид,
то он вычисляется как произведение чисел, стоящих на
главной диагонали: a a a
11
12
13
0 a22 a23 a11a22 a33
0 0 a33
13

14. Методы вычисления определителей

1 3 1
1
3 1 1 3 1
5 1
2 1 3 0 5 1 0 5 1 1
( 1)1 1
7 2
1 4 1
1 4 1 0 7 2
5 2 7 1 17
Выберем 1
К элементам
2
Разложим
столбец
и
К элементам
3
строки
прибавим
определитель
по
превратим
второй
строки
прибавим
элементы 11строки,
элементам
столбца
и третий
элементы
1
строки
умноженные на (-2)
элементы в нули
Также, используя свойства, можно привести определитель к
треугольному виду и вычислить по последнему свойству.
14

15. Системы из n линейных уравнений с n неизвестными

Рассмотрим общую квадратную систему линейных уравнений:
a11x1 a12 x 2 a1n x n b1
a21x1 a22 x 2 a2n x n b2
an1x1 an2 x 2 ann x n bn
Система линейных уравнений называется совместной, если она
имеет решение и несовместной, если она не имеет решений.
Совместная система называется определенной, если она имеет
единственное решение и неопределенной, если она имеет
бесконечное множество решений.
Система называется однородной, если b1 b2 bn 0
Однородная система совместна, так как всегда имеет нулевое
решение.
15

16. Системы из n линейных уравнений с n неизвестными

Для сокращения выкладок запишем систему из трех уравнений с
тремя неизвестными:
a11x1 a12 x 2 a13 x 3 b1
a21x1 a22 x 2 a23 x 3 b2
a x a x a x b
33 3
3
31 1 32 2
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23
a31 a32 a33
Вспомогательные определители получаются из главного
определителя, если заменить соответствующий столбец столбцом
свободных членов:
b1 a12 a13
a11 b1 a13
a11 a12 b1
1 b 2 a 22 a 23
2 a 21 b 2 a 23
3 a 21 a 22 b 2
b3 a32 a33
a31 b3 a33
a31 a32 b3
16

17. Системы из n линейных уравнений с n неизвестными

По величине главного и вспомогательных определителей можно
судить о характере системы:
Если
0 то система совместна и определенна.
Если 0, 1 2 3 0
неопределенна.
то система совместна и
Если 0, но 1 0 или 2 0 или 3 0 то
система несовместна.
В общем случае будем иметь n +1 определителей n – ого порядка
, 1, 2 , 3 , , n 2 , n 1, n
и, если 0 , то решение системы находится по формулам
Крамера:
1
x1 ;
2
x2
;
n
xn
17

18. Проверка онлайн

18