Определители, системы

1. Математика Определители. Системы

2. Матрицы (основные определения)

• Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число
столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном
порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого
элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на
пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются
• ai j , где i- номер строки, j- номер столбца.
.
a11
a21
А=
...
a
m1
a12
a22
...
am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn
• Замечание. Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного
столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного
элемента.

3. Определитель квадратной матрицы

• Определение. Если число столбцов матрицы равно числу
строк (m=n), то матрица называется квадратной порядка n.
• Каждой квадратной матрице А может быть поставлено в
соответствие некоторое число. Такое число называют
определителем матрицы и обозначают символом IAI или
a
• det A. При этом порядком определителя
называют порядок
соответствующей матрицы
• Замечание
• Пусть n=1. Тогда А=(a11) и IAI= a11 , т. е. определитель
матрицы первого порядка равен ее единственному элементу.
11

4. Определитель 2-ого порядка

.
2) Пусть n=2, тогда
IAI=
Примеры:
2 5
4 3
3)
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12 a21
2 5
2 3 5 4 6 20 14
1 3
4
2
4)
0
5
4 3
Ответы( выбрать правильный вариант):
3) А. -5 В. 10 С. -14 4) А. -5 В. 10 С.20
4 3
5)
2
( 2) 3 5 ( 4) 14
1
4 2
5) А. 0 В. 10 С. -4

5. Определитель 3-его порядка

a11
a12
a13
a21 a22
a23 (a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 ) (a13a22 a31 a11a23a32 a12 a21a33 )
a31
a33
a32
Правило вычисления определителя третьего порядка можно
схематически изобразить так, дописав два первых столбца:
a11
a12
. a21 a22
a31 a32
a13 a11 a12
a23 a21 a22
a33 a31
a32

6. Вычисление определителей 3-его порядка

1 1 1
• 2
• 1
1
1
1 1 1 1 1
=( 1 1 2-1 1 1+1 2 1) – ( 1 1 1 + 1 1 1 + 2 2 (-1))=
1 2 1 1 2 1
2 1 1 2 1 1 =(2 -1 +2) – (1+ 1 – 4) =3 – (-2) = 3 +2 = 5
• Пример: вычислить определители:
1)
1 3
1
2
1
1
1
1
2
2)
1
2
1
3)
1
2 1
0 2 3
1 2 3
3
2
1
1
4 2

7. Ответы

• 1) 19
• 2) 19
• 3) 0

8. Другой способ вычисления определителей 3-его порядка

• Определитель третьего порядка может быть вычислен с
помощью определителей второго порядка по теореме о
разложении определителя по первой строке:
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
a22
a23
a32
a33
a11
a12
a21
a23
a31
a33
a13
a21
a22
a31
a32

9. Пример

A
1
1 0
1
2 3
• Вычислить определитель двумя способами
1 2 1
• 1 способ. Используем правило Саррюса, дописав в определителе
два первых столбца
A
1
1 0 1
1
1
2 3 1
2
= (1·2·1+ 1·3·(-1)+0·1·2)– (0·2·(-1)+1·3·2+1·1·1)=-8
1 2 1 1 2
• 2 способ. Используем разложение определителя по элементам
1 1 0
первой строки
1
2 3 1
1 2 1
2 3
2 1
• = ( 2·1 – 3·2) -1 (1·1+3) +0= -4-4=-8
1
1
3
1 1
0
1
2
1 2

10. Свойства определителей

1) Определитель не изменится при замене строк столбцами
(транспонировании).
2) При перестановки двух строк определитель меняет знак.
3) Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно
выносить за знак определителя.
4) Определитель равен нулю, если соответствующие элементы
двух строк (столбцов) пропорциональны ( в частности
равны).
5) Определитель равен нулю, если все элементы строки
(столбца) равны нулю.

11. Системы линейных алгебраических уравнений

Система m линейных уравнений с n неизвестными х j .Числа
a ij коэффициенты при неизвестных; bi свободные члены.
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a x a x ... a x b
21 1 22 2
2n n
2
...............................................
am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
Если b1 b2 ... bm 0 ,то система называется однородной,
в противном случае - неоднородной.
Если m=n, т.е. число уравнений равно числу неизвестных,
то система называется квадратной.

12. Пример системы

Δ
Пример системы
• Дана система. Выписать ее коэффициенты.
x 2x
1
2
1
2 x1 3x2 x3 3
3x1 x2 2 x3 8
• Здесь m=3 n=3 ( система квадратная) ;
• а 11= 1 а 12 = 2 а 13 =0
b 1 =-1
а 21 =2 а 22 = 3 а 23 =1
b 2 =3
а 31 =3
а 32 = -1 а 33 =-2 b 3 =8

13. Решение системы

Определение. Совокупность n чисел называется
решением системы , если после замены x1 , x2 , ..., xn
этими числами каждое из уравнений системы
превращается в верное равенство.
Покажем, что линейная система может:
1) не иметь решений,
2) иметь единственное решение,
3) иметь бесконечное множество решений.

14. Примеры решения систем и их геометрическая интерпретация

x y 1,
1)Система
решений не имеет,
2 x 2 y 3 .
( прямые параллельны)
2) Система x y 1,
имеет единственное решение
х=2 , у= -1
2 x 7 y 3
( прямые пересекаются)
3) Система x y 1,
имеет бесконечно много решений:
2 x 2 y 2 , х=t , у=1-t, где t- любое число.
( одна и та же прямая)

15. Классификация систем по типу решений

• Определение. Система линейных уравнений, не
имеющая ни одного решения, называется
несовместной.
• Система, обладающая хотя бы одним решением,
называется совместной .
• Если система имеет единственное решение, то она
называется совместной определенной.
• Если система имеет бесчисленное множество решений,
то она называется совместной неопределенной.

16. Методы решения систем

• Существует два основных метода решения систем.
• 1. Метод Крамера( метод определителей). Этот метод
применим только для решения квадратных систем, у
которых матрица коэффициентов при неизвестных
невырождена ( ее определитель отличен от нуля).
• Такие системы имеют единственное решение.
• 2.Метод Гаусса. Этот метод является универсальным и
может быть применим к любым системам.

17. Решение систем линейных уравнений

Пусть дана система 3-х уравнений с тремя неизвестными .
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1
a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2
a x a x a x b
33 3
3
31 1 32 2
Составим из коэффициентов при неизвестных определитель третьего
порядка и обозначим его символом Δ, т.е.
a11
a12
a13
Δ = a21 a22 a23
a31 a32 a33
- главный определитель системы.

18. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Если главный определитель системы Δ≠0, тогда система имеет
единственное решение , которое может быть найдено по формулам
Крамера:
Х1=Δ1/Δ
Х2=Δ2/Δ
Х3=Δ3/Δ ,
где Δi ( i=1,2,3) – определитель, полученный из главного,
заменой i столбца столбцом свободных членов, т.е.
b1
a12
a13
Δ1 = b2 a22 a23
b3
a32
a33
a11
b1
a13
Δ2 = a21
b2
a23
a31
b3
a33
a11
Δ3 = a21
a12
b1
a22
b2
a31
a32
b3
Замечание: после нахождения решения необходимо сделать проверку.

19. Алгоритм метода Крамера

• 1) Вычисляем главный определитель системы Δ и
проверяем, что он отличен от нуля.
• 2) Вычисляем Δ 1, Δ 2 , Δ 3 .
• 3) Вычисляем х 1, х 2 , х 3.
• 4) Делаем проверку.
• 5) Пишем ответ.
• Замечание. Рассмотренный метод можно применять для
решения системы двух уравнений с двумя неизвестными.
• При этом в пункте 2) находят только Δ 1 и Δ 2

20. Пример №1 контрольной работы

• Найти точку пересечения прямых и построить прямые
,заданные уравнениями
• х-3у+2=0
и
3х+у-3=0
• Решение. Для нахождения точки пересечения
непараллельных прямых следует решить систему
двух уравнений с двумя неизвестными х и у
x 3 у 2
3х у 3

21. Решение примера №1 контрольной работы

• Для решения системы используем формулы Крамера
• х=Δ1/Δ
1
у=Δ2/Δ,
2 3
3
1
где 1 3 1*1 ( 3) * 3 1 9 10
3 1
2 9 7
2
1 2
3
3
3 6 9
• х = 0,7 у=0,9 . Проверим полученный результат подстановкой в
систему: 0,7-3 0,9=-2 (верно) 3 0,7+0,9=3 (верно).
• Ответ:х=0,7у=0,9–координаты точки пересечения прямых.

22. Пример 2 контрольной работы

• Решить систему с проверкой
x 2
1
2 x1
3x1
x2 3 x3 1
3x2 x3 3
x2 2 x3 8

23. Пример 2 ( продолжение) 1) Вычислим главный определитель системы

1 2 3 1 2
• Δ= 2 3 1
2 3 = (1∙ 3 ∙ (-2) + 2 ∙ 1 ∙ 3 + 3 ∙ 2 ∙ 1) 3 1 2 3 1
- ( 3 ∙ 3 ∙ 3 +1 ∙ 1 ∙ 1+2 ∙ 2 ∙ (-2)) =
• = (-6+6+6) – (27+1-8)=6-20=-14 ≠0
• следовательно , метод Крамера применим, т.е.
• далее считаем Δ1 Δ2 Δ3

24. Пример (продолжение)

Δ
Пример (продолжение)
1 2
2)Δ1 = 3
8
3
3
3
1 2 1
3
1
2 3
3
8
2
3 1
8
1 1
1 = -28, Δ = 2
2
3
1 2
=0, Δ3 =
3) Подставляем в формулы Крамера Δ, Δ1 , Δ2 , Δ3
Δ = -14 Δ1 = -28 , Δ2 = 0, Δ3 = 14
х1 =(-28)/(-14), х 2 =0/(-14), х 3 =14/(-14) или
х1 =2, х 2 =0, х 3 =-1.
= 14

25. Пример 2 (проверка)

4) Проверка: подставляем полученные значения переменных
в левую часть исходной системы
x 2 x 3 x 1
1
2
3
( х1 =2, х 2 =0, х 3 =-1) :
2 2 0 3 ( 1) 1(верно)
2 2 3 0 ( 1) 3(верно)
3 2 0 2 ( 1) 8(верно)
5) Ответ: х1 =2, х 2 =0, х 3 =-1.
2 x1 3x2 x3 3
3x1 x2 2 x3 8