Тема 1. Линейная алгебра. Лекция 1.1. Матрицы и определители

1.

Тема 1. Линейная алгебра
1.1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

2. Основные понятия

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел,
расположенная в виде строк и столбцов.
Числа аij называются элементами матрицы; первый индекс i
обозначает номер строки, а второй j – номер столбца, на
пересечении которых стоит элемент аij Например, элемент а12
стоит на пересечении первой строки и второго столбца .

3.

• Если число строк в матрице = числу ее столбцов, то такая
матрица называется квадратичной, а число строк называется
порядком матрицы.
• Матрица А имеет m строк и n столбцов. Поэтому ее называют
m x n - матрицей или матрицей с размерами m x n .
• Две m x n – матрицы А =(Аij) и В=(Вij) называются равными
(А=В), если их элементы соответственно равны: Аij=Вij ,
i=1,…,m; j=1,…,n.
• Единичная матрица, та у которой по главной диагонали стоят
единицы, а остальные элементы = 0.
• Главной диагональю называется та диагональ, которая идет
из левого верхнего в правый нижний, а побочная диагональ
из правого верхнего в левый нижний.

4.

Диагонали матрицы
Единичная матрица

5. Действия над матрицами

Свойства сложения:
1. А+В=В+А Коммутативность сложения
2. (А+В)+С=А+(В+С) Ассоциативность сложения
3. х*(А+В)=х*А + х*В распределительное свойство относительно
числового сомножителя
4. (x + y)*A=x*A + y*A
5. x*(y*A)=(x*y)*A

6.

Суммой двух матриц A=(aij) и B=(bij) с одинаковым
количеством m строк и n столбцов называется матрица C=(cij),
элементы которой определяются равенством aij+bij=cij
(i=1,2...,m; j==1,2...,n;).
Обозначим: А+В=С.
Аналогично определятся разность двух матриц

7. Транспонированная матрица

C каждой матрицей А=(аij) размера m x n связана матрица
В=(bij) размера n x m вида
Такая матрица называется транспонированной матрицей
для A и обозначается так . Транспонированную матрицу
можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы
местами. Матрица A=(aij) размера m x n при этом
преобразовании станет матрицей размерностью n x m .
Свойства транспонирования матрицы

8.

Свойства умножения матриц
1.
2.
3.
4.
5.
Переместительный закон не выполняется
(А+В)*С=А*( В+С) Распределительное
А*(В*С)=(А*В)*С Ассоциативность умножения
(х*А)*В=А*(х*В)
(А+В)+С=А+(В+С)

9.

Произведением матрицы A=(aij), имеющей m строк и k
столбцов, на матрицу B=(bij), имеющую k строк и n столбцов,
называется матрица C=(cij), имеющая m строк и n столбцов, у
которой элемент cij равен сумме произведений элементов iой строки матрицы А и j-го столбца матрицы В, т.е.
cij=ai1b1j+ai2b2j+....+aikbkj (i=1,2..., m; j=1,2...,n;)
При этом число k столбцов матрицы А должно быть равно
числу строк матрицы В. В противном случае произведение не
определено.
Произведение обозначается так: AB=C

10.

Произведением матрицы A=(aij) на число называется
матрица, у которой каждый элемент равен произведению
соответствующего элемента матрицы А на число

11. Определитель матрицы второго порядка

Определителем матрицы второго порядка
называется число:
Определитель второго порядка равен произведению
элементов, стоящих на главной диагонали, минус
произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

12. Определители 2 порядка

Определители широко применяются во многих разделах
высшей математики, в теоретической механике, физике и т.д.
для сокращения записей и удобства вычислений.
Определитель 2 - го порядка это число, записанное в виде:
a11 a12
a11a22 a12a21
a 21 a 22
ai j
Номер строки
Элементы определителя,
Индексы
Номер столбца
из произведения элементов главной диагонали вычитается
Главная
диагональ
произведение элементов
побочной
диагонали.
определителя
Побочная диагональ
определителя

13. Определитель матрицы третьего порядка

Матрица третьего порядка
Определителем матрицы третьего порядка называется число
=
а11а22а33 + а12а23а31 + а13а32а21 - а31а13а22 а21а12а33 - а11а32а23
Для заполнения формулы используется «правило треугольников»: три
произведения элементов на левой схеме входят в формулу со своим знаком
А три произведения элементов на правой схеме с противоположным знаком.

14. Определитель матрицы n-го порядка

Определитель n-го порядка составляется из элементов
квадратной матрицы n-го порядка и обозначается так:
Определителем n– го порядка или определителем (детерминантом)
квадратной матрицы n– го порядка называют алгебраическую
сумму всех членов определителя данной матрицы, взятых со
своими знаками.
где суммирование ведется по
всем перестановкам столбцов

15. Методы вычисления определителей

1
Метод треугольника
+
1 3 0
2 1 4
5 6 1
_
1 ( 1) 1 3 4 5 2 6 0 5 ( 1) 0
2 3 1 1 6 4 29
Метод треугольника применим только для определителей 3 порядка

16. Методы вычисления определителей

2
Метод разложения определителя по элементам строки
(столбца)
Определитель второго порядка, который получается из определителя
3 - го порядка путем вычеркивания i - й строки и j - го столбца, т.е.
строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент ai j
называется минором элемента и обозначается Mi j
Алгебраическим дополнением элемента ai j называется
Ai j Mi j ( 1)i j
aa1111 aa1212 aa1313
aa2121 aa2222 aa2323
aa3131 aa3232 aa3333
aa2211 aa2312
MM1123
aa3231 aa3332
1 1 2 3
A
M
(
M23
A11 23 M11 23( 1) 1) M
11

17. Методы вычисления определителей

Величина определителя равна сумме произведений элементов
какой – либо строки (столбца) определителя на их
алгебраические дополнения:
n
ai j A i j
Разложение определителя по элементам
i – ой строки
ai j A i j
Разложение определителя по элементам
j – ого столбца
j 1
n
i 1
2 1 0
0 1
0 3
3 1
1 2
1 1
0 3 1 2
( 1) 0
( 1)1 3
( 1) 1
2 1
2 5
5 1
2 5 1
2 (3 1 5 1) 1 (0 1 2 1) 2

18. Методы вычисления определителей

3
Использование свойств определителя
Свойства определителя:
Величина определителя:
равна нулю, если элементы какого - либо столбца или строки
равны нулю:
0 0
0 a22 0 a21 0
a21 a22
равна нулю, если соответствующие элементы двух строк
(столбцов) равны
a11 a12
a11 a12
a11 a12 a11 a12 0

19. Методы вычисления определителей

меняет знак, если поменять местами строки (столбцы):
a11 a12
a21 a22
a11 a22 a12 a21 a12 a21 a11a22
a12 a11
a22 a21
увеличивается в k раз, если элементы какого - либо столбца
(строки) увеличить в k раз:
k a11 k a12
a21
a22
k a11 a22 k a12 a21 k
a11 a12
a21 a22
не меняется при замене строк соответствующими столбцами:
a11 a12
a21 a22
a11 a21
a12 a22

20. Методы вычисления определителей

не меняется, если к элементам какой-либо строки (столбца)
прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца),
умноженные на произвольный множитель
a11
a12
a21 ka11 a22 ka12
a11a22 a21a12
a11a22 a11ka12 a21a12 ka11a12
a11 a12
a21 a22
Если определитель имеет так называемый треугольный вид,
то он вычисляется как произведение чисел, стоящих на
главной диагонали: a a a
11
12
13
0 a22 a23 a11a22 a33
0 0 a33

21. Методы вычисления определителей

1 3 1
1
3 1 1 3 1
5 1
2 1 3 0 5 1 0 5 1 1
( 1)1 1
7 2
1 4 1
1 4 1 0 7 2
5 2 7 1 17
Выберем 1
К элементам
2
Разложим
столбец
и
К элементам
3
строки
прибавим
определитель
по
превратим
второй
строки
прибавим
элементы 11строки,
элементам
столбца
и третий
элементы
1
строки
умноженные на (-2)
элементы в нули
Также, используя свойства, можно привести определитель к
треугольному виду и вычислить по последнему свойству.

22. Обратная матрица

Теорема: Для того чтобы квадратная матрица А имела
обратную
необходимо и достаточно чтобы ее
определитель был отличен от нуля
Свойства обратной матрицы
Формула нахождения
обратной матрицы

23.

найти обратную
Для матрицы
Сначала находим определитель отличный от нуля
.
откуда