Тетеорема Штейнера

1. ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА

• Позволяет найти момент инерции
относительно оси, которая параллельна
оси, проходящей через центр масс
А
С
a
JC
JA
J A J C Ma
2

2. Момент инерции тонкого кольца относительно оси, проходящей через точку на ободе, перпендикулярно ему

J A J C Ma
JC
R
С
JA
А
J C MR2
2
a R
J A MR MR 2MR
2
2
2

3. Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через край стержня, перпендикулярно ему

JC
JA
С
L
2
ML
JA
3
А
J A J C Ma
2
2
L
a
2
12
2
2
2
ML
ML ML
JA
3
4
12
J C ML

4. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩЕНИЯ

• Разобьем вращающееся тело на маленькие
объемы mi, находящиеся на расстоянии ri от оси
вращения
r1
r2
r3
m1
m2
m3

5.

• Центры окружностей лежат на оси вращения
(по определению)
• Угловая скорость вращения этих объемов
одинакова, а линейная - различна
V1 V2
r1
r2

6.

• Кинетическая энергия вращающегося тела
2
1 1
2
2 2
mV
mV
Tвр
2
2
Vi ri
mi ri 2 2
Tвр
2
2
i
2
i
miVi
i 2
J
mi ri
2
2
J – момент инерции тела
2
2
Tв р

7.

• В случае плоского движения твердого
тела кинетическая энергия складывается
из кинетической энергии поступательного
движения и кинетической энергии
вращательного движения
mV
J C
T
2
2
2
C
2
VC- скорость поступательного
движения центра масс
JC- Момент инерции тела относительно оси,
проходящей через центр масс

8. ПРИМЕР

• Найдем кинетическую энергию
катящегося сплошного цилиндра (m)
R
VC

9.

mV
J C
T
2
2
2
C
2
mR 2
JC
2
VC
R
2
C
mV
1 mR
T
2
2 2
2
C
2
C
mV
mV
2
4
2
2
VC
2
R
2
C
3mV
4

10. Момент импульса

• Моментом импульса
материальной точки
относительно точки
О называется
векторное
произведение
m
О
r
L [ r P]
r
P mV
α
V
L
L r P sin

11. Момент импульса относительно неподвижной оси Z

• - скалярная величина, равная проекции
на ось момента импульса,
определенного относительно
произвольной точки О , лежащей на оси
L
LZ
O
Z

12. Момент импульса системы материальных точек

• Моментом импульса
системы
материальных точек
называется
векторная сумма
моментов импульса
всех материальных
точек системы
N
L [ri Pi ]
i 1

13.

• Рассмотрим движение материальной
точки по окружности
r
V
L
L r P sin
P
m
V
2
L r mV
Проекция момента импульса на ось Z
LZ mVr

14. Момент импульса твердого тела относительно оси вращения

LZi miVi ri
LZ miVi ri
i
LZ
Vi ri
m
r
i i J Z LZ
2
i

15. Момент силы

• Моментом силы
относительно
неподвижной точки,
называется
векторное
произведение
r
α
О
r
M
M [r F ]
F
M r F sin

16. Момент силы относительно неподвижной оси Z

• - скалярная величина, равная проекции
на ось момента силы, определенного
относительно произвольной точки О ,
лежащей на оси
M
MZ
O
Z

17. Закон сохранения момента импульса

L [ r P]
d
dr
dP
L [ P ] [r ]
dt
dt
dt
dL
[V P ] [ r F ]
dt
d
L
[V P] 0 [r F ] M
M
dt

18.

• В замкнутой системе
dL
0
dt
M 0
L const
• В замкнутой системе момент импульса
сохраняется

19.

20.

21.

22.

23.

• https://www.youtube.com/watch?v=SkE4N
WOnWhk кошки
• https://www.youtube.com/watch?v=UZlW1
a63KZs – момент импульса

24.

• http://www.youtube.com/watch?v=RtWbpy
jJqrU (ПОЧЕМУ КОШКИ ПАДАЮТ НА 4
ЛАПЫ)

25.

J1
J2
J1
J2
J1 1 ( J1 J 2 )
1 J1
J1 J 2

26. Основное уравнение динамики вращательного движения тела с закрепленной осью

LZ J Z
dLZ
d
JZ
J Z
dt
dt
M z J Z
dLZ
MZ
dt
-Основное уравнение динамики
вращательного движения

27. пример

• Через блок, имеющий форму диска,
перекинута нерастяжимая нить, на
которой подвешены два груза. Масса
диска m, массы грузов m1 > m2. С каким
ускорением будут двигаться грузы ?

28.

T2/
aT
2
m2
m2g
m
m1>m2
T1/
T1
m1
m1g
a

29. Для 1 грузика 2 закон Ньютона

m1a m1g T1
В проекциях
m1a m1g T1

30. Для 2 грузика 2 закон Ньютона

m2a m2 g T2
В проекциях
m2a m2 g T2
m2a m2 g T2

31. Для блока основное уравнение динамики вращательного движения

M J
mR
J
2
M
2
Момент инерции блока
Угловое ускорение
Результирующий момент
сил, действующих на блок

32.

T2
m
r
T1
M2
m2
M 2 T2 R
m1
M1
M1 T1 R

33.

• На блок действуют силы T1/ иT2/
M T1 R T2 R
• Нити не растягиваются, поэтому
T1 T1
T2 T2
M T1 T2 R

34.

• Линейное и угловое ускорение связаны
между собой
a
R
• Основное уравнение динамики
вращательного движения для блока
a mR 2 a
M T1 T2 R J J
R
2 R
T1 T2 R mRa
2

35.

ma
T1 T2
2
m1a m1g T1
m2a m2 g T2
T1 m1 g a
T2 m2 a g

36.

ma
m1 g a m2 a g
2
ma
m1g m1a m2a m2 g
2
ma
g m1 m2
a m1 m2
2

37.

g m1 m2
a
m
m1 m2
2

38. Работа внешних сил при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси

2
J Z
dA dTв р
Tв р
2
2
2
J
dTв р d ( Z ) J Z d ( ) 2 J d
2
2
2
dA J Z d

39.

d
M z JZ
dt
M z J Z
M z dt J Z d
dA J Z d M z dt
d
dt
d dt
dA M Z d
A M Z d