Механика 3
Закон сохранения энергии
Закон сохранения энергии
Закон сохранения энергии
Закон сохранения энергии
Графическое представление энергии Потенциальная кривая.
Решение одномерных задач
Момент силы
Момент импульса материальной точки
Динамика вращения материальной точки
Второй закон Кеплера
Момент импульса для системы из двух материальных точек
Момент импульса для системы из двух материальных точек
Динамика вращательного движения системы материальных точек
Динамика вращения системы материальных точек
Динамика вращения системы N материальных точек
Закон сохранения момента импульса
Момент импульса твердого тела
Уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси
Момент инерции
Работа силы поворота твердого тела вокруг неподвижной оси
Теорема Штейнера
Кинетическая энергия вращения твердого тела
Сравнение вращательного и поступательного движения
Задача о скатывании симметричного тела с наклонной плоскости без проскальзывания 1 подход
Задача о скатывании симметричного тела с наклонной плоскости без проскальзывания 2 подход
1.03M
Category: physicsphysics

Потенциальная энергия

1. Механика 3

2.

Потенциальная энергия
1)
В поле однородной силы тяжести
U mgh
2)
В поле упругой силы
2
kx
U
2
3)
В гравитационном поле
Gm1m2
U
r
U
Потенциальная энергия материальной точки
- скалярная функция, убыль которой равна
производимой работе надо этой точкой.

3.

Взаимосвязь силы и потенциальной
энергии материальной точки
A U dA dU Fs ds
U
Fs
s
Из определения работы
U
Fx
x
U U U
F
i
j
k
y
z
x
i j k
x y
z
F U gradU
По оси x
По трем осям
Определение оператора набла
Сила через потенциальную энергию

4. Закон сохранения энергии

Уравнения Ньютона для N материальных точек
m1 v1 F1 F1
m2 v 2 F2 F2
. . . . . . . . . . . . . ....
mN v N FN FN
F1 , F2 ..FN
F1 , F2 ..FN
-равнодействующие внутренних консервативных cил
-равнодействующие внешних консервативных сил

5. Закон сохранения энергии

dv 1
( F1 F1 ) 0
dt
dv 2
( F2 F2 ) 0
m2
dt
. . . . . . . . . . . . . ....
dv N
( FN FN ) 0
mN
dt
m1
d r1 v1dt
d r2 v 2 dt
. . . . . . ....
d rN v N dt
m1 ( v1dv1 ) ( F1 F1 )d r1 0
m2 ( v 2 dv 2 ) ( F2 F2 ) d r2 0
. . . . . . . . . . . . . ....
mN ( v N dv N ) ( FN FN ) d rN 0

6. Закон сохранения энергии

m1 ( v1dv1 ) ( F1 F1 )d r1 0
m2 ( v 2 dv 2 ) ( F2 F2 ) d r2 0
. . . . . . . . . . . . . ....
mN ( v N dv N ) ( FN FN ) d rN 0
mi v i 2
mi ( v i dv i ) d (
) dK
2
i 1
i 1
N
( Fi Fi )d r2 dA dU
N
Первое слагаемое:
Второе слагаемое:
N
i 1
d (K U ) 0

7. Закон сохранения энергии

d (K U ) 0
E
K U E
-Энергия, константа не зависящая от времени,
Закон сохранения энергии
В системе материальных точек, где действуют только
консервативные силы, сумма потенциальной и
кинетической энергий - постоянная величина.
•С точки зрения теоретической физики ЗСЭ связан с симметрией
пространства относительно сдвигов во времени.
•ЗСЭ может выполняться и для неконсервативных систем (например,
систем с магнитным полем)
•Для квантовых флуктуаций ЗСЭ может нарушаться на сверхмалые
времена

8. Графическое представление энергии Потенциальная кривая.

1)Уровни энергии
2)Точки равновесия – точки, где выполняется условие:
dU ( x)
0
dx
d 2U ( x)
0
2
dx
d 2U ( x)
0
2
dx
Точка устойчивого равновесия (B)
Точка неустойчивого равновесия (C)
d 2U ( x)
0?
2
dx

9. Решение одномерных задач

K U E
Закон сохранения энергии
2
2
m dx
E U ( x)
2 dt
m dx
U ( x) E
2 dt
dx
2( E U ( x)) / m
dt
dx
dt
2( E U ( x)) / m
Переменные разделяются
x
x0
dx
t t0
2( E U ( x)) / m
Одномерная задача с ЗСЭ всегда сводится к интегралу!

10. Момент силы

Моментом силы M относительно начала
отсчета О называется векторное
произведение радиуса-вектора r
на силу F
M [rF ]
1)Сдвиг вдоль АB’ не меняет результата
2) M [rF1 ] [rF2 ] [rF3 ]... [rF4 ] [rFsum ]
Моментом силы относительно некоторой оси называется проекция
момента силы на эту ось. Причем начало отсчета О может лежать на любой
точки оси.
M z Fl

11. Момент импульса материальной точки

p mv
- импульс материальной точки
Моментом импульса материальной точки относительно
начала отсчета О называется векторное произведение
радиуса-вектора r
на импульс p
.
r
L [rp ]
Моментом импульса материальной точки относительно
некоторой оси, называется проекция момента импульса на
эту ось. Причем начало отсчета О может лежать на любой
точки оси.
Lz pl

12. Динамика вращения материальной точки

L [rp ]
- момент импульса материальной точки
d
d
dr
dv
dp
L [rp ] [ mv ] m[r ] [r ]
dt
dt
dt
dt
dt
Из второго начала Ньютона:
dL
[rF ]
dt
dL
M
dt
•Следствия:
Центральные силы (действующие из начала координат) не изменяют момент
импульса.
•Орбита планеты лежит в одной плоскости
•Второй закон Кеплера (заметаемые планетой площади равны за равные
промежутки времени)

13. Второй закон Кеплера

1
1
1
L
A [r r ] [rv] t
[rp ] t
t
2
2
2m
2m
Johannes Kepler
1571 -1630

14. Момент импульса для системы из двух материальных точек

Второй закон Ньютона для 2 материальных точек:
r1
r2
dv 1
F12 f1
dt
dv 2
m2
F21 f 2
dt
.
m1
F12 -сила действующая на 1-частицу со стороны 2-частицы.
F21 -сила действующая на 2-частицу со стороны 1-частицы.
f1 и f 2
- внешние сила действующие на 1 и 2 частицу.
Третий закон Ньютона:
F12 F21

15. Момент импульса для системы из двух материальных точек

[r1
dv1
dv
dr
d
] [r1 1 ] [ 1 v1 ] ([ r1 v1 ])
dt
dt
dt
dt
dv 2
dv 2
dr2
d
[r2
] [r2
] [
v 2 ] ([ r2 v 2 ])
dt
dt
dt
dt
d
d
d
([r1m1 v1 ] [r2 m2 v 2 ]) ([r1 p1 ] [r2 p2 ]) L sum
dt
dt
dt
(NB ) Суммарный момент сил равен суммарному моменту внешних сил:
M sum [r1 f1 ] [r2 f 2 ]
[(r1 r2 ) F12 ]) 0.
так как [(r1 F12 ]) [(r2 F21 ]) 0.
(!!!) Из третьего закон Ньютона силы, действующие между
двумя материальными точками лежат на прямой,
которая их соединяет
d
L sum M sum
dt

16. Динамика вращательного движения системы материальных точек

Второй закон Ньютона для N материальных точек:
r1
r2
...
rN
dv1
F12 F13 ... F1 N f1
dt
dv 2
m2
F21 F23 ... F2 N f 2
dt
. . . . . . . . . . . . . ....
dv N
mN
FN 1 FN 2 .. FN ( N 1) f N
dt
m1
Fij -сила действующая на i-частицу со стороны j-частицы.
fi - внешняя сила действующая на i – частицу.
Третий закон Ньютона:
F12 F21
F23 F32 Fij Fji

17. Динамика вращения системы материальных точек

Динамика вращения системы N
материальных точек
dv1
F12 F13 ... F1 N f1
dt
dv 2
m2
F21 F23 ... F2 N f 2
dt
. . . . . . . . . . . . . ....
dv N
mN
FN 1 FN 2 .. FN ( N 1) f N
dt
m1
N
L sum [ rp
i i ]
i 1
Fij Fji
[( ri rj ) Fij ] 0
N
M sum [ ri fi ]
i 1
Закон динамики вращения
системы материальных точек :
dL sum
M sum
dt

18. Динамика вращения системы N материальных точек

Закон сохранения момента импульса
Если Момент внешних сил равен нулю:
то суммарный момент импульса
системы сохраняется:
M 0
dL sum
0
dt
Amalie Emmy Noether
1882-1935

19. Закон сохранения момента импульса

Момент импульса твердого тела
Момент импульса твердого тела есть сумма всех моментов
импульсов материальных точек, из которых оно состоит.
N
L [ri mi vi ]
i 1
Если твердое тело вращается вокруг некоторой
неподвижной оси z тогда проекция момента импульса на
эту ось будет:
N
L [r i mi vi ]
i 1
L mi ( (r i r i ) ri ( r i ))
L mi [r i [ r i ]]
i 1
i 1
N
N
Lz mi r i z J z z
2
i 1
N
N
J z mi r i 2
i 1
Момент инерции тела
относительно оси z

20. Момент импульса твердого тела

Уравнение динамики вращательного
движения твердого тела вокруг
неподвижной оси
L J
d ( J )
J M sum
dt
L
- проекция момента импульса на ось вращения
J
- момент инерции относительно оси вращения
- угловая скорость вращения
M sum
N
J mi r i 2
i 1
- угловое ускорения
- Суммарный момент внешних сил относительно оси
вращения

21. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

Момент инерции
N
J mi ri
2
Моментом инерции системы или тела,
состоящего из материальных точек
i 1
J r dm
2
V
Моментом инерции системы или
непрерывного тела

22. Момент инерции

Моменты инерции некоторых тел
Шар
J
2 2
mr
5
Однородная
пластинка
J
1
m( a 2 b 2 )
12
Тонкостенная
сфера
J
2 2
mr
3
Сплошной
цилиндр
J
1 2
mr
2
Однородный
стержень
J
1 2
ml
12
Толстостенный
цилиндр
J
1
m(r12 r22 )
2
Диск
J
1 2
mr
2
Диск
J
1 2
mr
4
Тонкостенный
цилиндр
Произвольное
тело
J mr 2
I mi ri 2

23.

Работа силы поворота твердого тела
вокруг неподвижной оси
dA FdS sin( )
dS rd
Работа силы F
Сдвиг
dA Fr sin( )d
M rF sin( ) Fl
l – плечо
dA Md

24. Работа силы поворота твердого тела вокруг неподвижной оси

N
J M mi ri 2
Теорема Штейнера
Момент инерции относительно оси, проходящей через
центр масс.
i 1
N
J mi (ri )
ri ri a
Момент инерции относительно оси параллельной первой
, но отстающей на расстояние а
2
i 1
N
N
N
N
i 1
i 1
i 1
i 1
J mi (ri a ) 2 mi ri 2 mi a 2 2 mi (ri a )
N
N
N
i 1
i 1
i 1
J mi ri 2 a 2 mi 2a ( mi ri ) J M Ma 2
Момент инерции тела относительно оси,
образованной параллельным переносом
оси, проходящей через центр масс,
увеличивается Ma2 , где M – масса тела, а
– расстояние между осями
J J M Ma 2

25. Теорема Штейнера

Кинетическая энергия вращения
твердого тела
mi vi 2
K
2
i 1
N
система из N материальных точек
v1 / r1 v2 / r2 v3 / r3 . .. vN / rN
mi 2 ri 2 2
K
2
2
i 1
N
K
J
N
2J
i 1
2
2
m
r
ii
Из теоремы Кенинга:
J mi ri 2
i 1
2
2
N
J
2
MvM
K
2
2
2

26. Кинетическая энергия вращения твердого тела

Сравнение вращательного и
поступательного движения

27. Сравнение вращательного и поступательного движения

Задача о скатывании симметричного тела с наклонной
плоскости без проскальзывания
1 подход
N - сила реакции опоры
Fтр
mg
- сила трения покоя
- сила тяжести
Законы Ньютона:
ma F mg sin( ) Fтр
man 0 Fn mg cos( ) N
Уравнение моментов относительно центра массы:
Уравнение связи: v
r
J
a Fтр r
r
ma mg sin( ) Fтр
J M тр Fтр r
(v r )'t a r
g sin( )
a
J
1
mr 2

28. Задача о скатывании симметричного тела с наклонной плоскости без проскальзывания 1 подход

Задача о скатывании симметричного тела с наклонной
плоскости без проскальзывания
2 подход
Уравнение моментов относительно
точки касания тела и плоскости:
J M mg mgr sin( )
По теореме Штейнера :
J mr 2 J
mr J
a mgr sin( )
r
2
Уравнение связи:v
r
g sin( )
a
J
1
mr 2
a r

29. Задача о скатывании симметричного тела с наклонной плоскости без проскальзывания 2 подход

Задача о скатывании симметричного тела с наклонной
плоскости без проскальзывания
3 подход
Закон сохранения энергии:
K П 2 E
mv
J 2
K
2
2
П mg (h x sin( ))
Уравнение связи:
v r
h
a r
d mv 2 J 2
mg (h x sin( )) 0
dt 2
2
J
ma 2 mg sin( )
r
mv a J mgv sin( ) 0
g sin( )
a
J
1
mr 2
English     Русский Rules