Диффузионное приближение Z

1.

Диффузионное приближение
Z
При этом предполагается:
1. Среда изотропная
2. меняется не сильно
3. S , т.е поглощение мало
dr
dV
r
d
S dV
dS
d
X
Y
dS cos t r
e
2
4 r
dS cos S r
S dV
e
2
4 r
dS
S e S r cos sin drd d
4

2.

J dS
2 2
dS
4
0
s r
e
cos sin d d dr
0 0
( x, y , z ) 0 x
y
z
....
x 0
y 0 z 0
Где:
x r sin cos ,
y r sin sin ,
z r cos .
J s
4
2 / 2
2 / 2 s r
s r
2
cos sin d d dr
cos sin d d dr
re
0 e
z 0 0 0 0
0 0 0
J
0
1
4 6 s
z
0
J
0
1
4 6 s z 0

3.

J z J J
1
3 s z 0
1
3 s
x 0
1
Jy
3 s
y 0
Jx
1
J
grad
3 s

4.

Утечка из объёма
2
( J z dz J z )dxdy D
dxdy D 2 dxdydz
z
z z dz z z

5.

Коэффициент использования тепловых нейтронов
Предполагаем, что:
1. Нейтроны моноэнергетические (тепловые),
2. Справедливо диффузионное приближение,
3. Тепловые нейтроны рождаются только в
области 1 (в замедлителе),
4. Рассматриваем стационарное состояние.
R0
R1
a0
D0
a1
D1
D0 2 0 a 0 0 0
- в области 0
D1 2 1 a1 1 q 0
- в области 1
Граничные условия
1.
0 1
d 0
d 1
D1
dr
dr
d 1
0
dr
- при r=R0
2. D0
- при r=R0
3.
- при r=R1
4.
0

6.

Коэффициент использования тепловых нейтронов
Для области 0
D0 2 0 a 0 0 2 0
a0
0 2 0 02 0 0
D0
В цилиндрических координатах
d 2 0 1 d 0
2
0 0 0
2
dr
r dr
Решение
0 (r ) A I 0 ( 0 r ) A K 0 ( 0 r )
A 0
I0 и К0 – функции Бесселя мнимого
аргумента нулевого порядка
(первого и второго рода)
поскольку K 0 ( 0 r ) при r 0
Окончательно
0 (r ) A I 0 ( 0 r )
условие №4

7.

Коэффициент использования тепловых нейтронов
Для области 1
D1 2 1 a1 1 q 2 1
a1
q
q
1
2 1 12 1
0
D1
D1
D1
Решение
q
1 (r ) C I 0 ( 1r ) F K 0 ( 1r )
a1
Из условия №3 получаем
d 1
1 C I1 ( 1 R1 ) F K1 ( 1 R1 ) 0
dr r R1
Для справки
dI 0 ( 1r )
1 I1 ( 1r )
dr
dK 0 ( 1r )
1 K1 ( 1r )
dr
I1 ( 1 R1 )
F C
K1 ( 1 R1 )
Подставляя, получаем
q
1 (r ) C I 0 ( 1r ) K1 ( 1 R1 ) K 0 ( 1r ) I1 ( 1 R1 )
a1

8.

Коэффициент использования тепловых нейтронов
Используя условие №1, получаем
q
A I 0 ( 0 R0 ) C I 0 ( 1 R0 ) K1 ( 1 R1 ) K 0 ( 1 R0 ) I1 ( 1 R1 )
a1
Используя условие №2, получаем
D0 A 0 I1 ( 0 R0 ) D1 C 1 I1 ( 1 R0 ) K1 ( 1 R1 ) K1 ( 1R0 ) I1 ( 1 R1 )
Два уравнения, два неизвестных - А и С.
Выразим А
D0 0 I 1 ( 0 R0 ) I 0 ( 1 R0 ) K 1 ( 1 R1 ) K 0 ( 1 R0 ) I 1 ( 1 R1 )
1 a1
I 0 ( 0 R0 )
A
q
D1 1 I 1 ( 1 R0 ) K 1 ( 1 R1 ) K 1 ( 1 R0 ) I 1 ( 1 R1 )
или
q
D I ( R ) I ( R ) K1 ( 1 R1 ) K 0 ( 1 R0 ) I1 ( 1 R1 )
a1 I 0 ( 0 R0 ) 0 0 1 0 0 0 1 0
A
D
I
(
R
)
K
(
R
)
K
(
R
)
I
(
R
)
1
1 1
1 0
1
1 1
1
1 0
1
1 1

9.

Коэффициент использования тепловых нейтронов
Полное количество образующихся в ячейке тепловых нейтронов =
q R12 R02
Это же количество тепловых нейтронов должно поглотится в ячейке, т.е.
R0
R1
o
R0
a 0 (r ) 2 rdr a1 (r ) 2 rdr q R12 R02
По определению
R0
R0
a 0 (r ) 2 rdr
o
R0
R1
o
R0
a 0 (r ) 2 rdr
o
q R R
2
1
a 0 (r ) 2 rdr a1 (r ) 2 rdr
Следовательно,
R0
a 0 2 A I1 ( 0 R0 )
0
q R12 R02
2
0

10.

Коэффициент использования тепловых нейтронов

11.

Коэффициент использования тепловых нейтронов