Адиабатическое приближение в твердом теле

1. Адиабатическое приближение в твердом теле

2.

Hˆ Tˆe Tˆi Ve e (r ) Ve i (r, R ) Vi i (R )
2
Tˆe
2m
2
Tˆi
2m
j
- оператор кинетической энергии электронов
j
1
Ve e (r )
2
J
- оператор кинетической энергии ядер
J
j ,k
Ve i (r, R )
1
Vi i (r, R )
2
e2
r j rk
- энергия электрон-электронного взаимодействия
- энергия взаимодействия электронов с ядрами
j,J
Z J e2
rj R J
Z J Z K e2
RJK
- энергия ион-ион взаимодействия
J ,K
Основная проблема – макроскопически большое число взаимодействующих
частиц => нужно решать УШ с макроскопическим числом неразделяющихся
переменных => нужны приближения

3.

Адиабатическое приближение
me<<M => можно использовать адиабатическую теорию возмущения
электроны
на внутренних оболочках атомов
не участвуют в валентных связях
и не возбуждаются в изучаемых явлениях.
Нет смысла рассматривать в явном виде
Кристалл
Валентные электроны
участвуют в валентных связях
и возбуждаются в изучаемых явлениях
нужно рассматривать в явном виде
Тяжелая подсистема - атомные остовы=ядра+электроны
внутренних оболочек
Легкая подсистема – валентные электроны

4.

me<<M => электронная подсистема адиабатически следует за ионами (успевает
подстраиваться под мгновенное положение ионов)=>энергетический спектр и
волновые функции стационарных состояний электронов можно определять,
считая ионы неподвижными
Tˆ V
e
e e
(r ) Ve i (r, R ) r, R e (R ) r, R e (R ), n r, R - Базис при
фиксированных R
R - параметры
r, R n (R ) n r, R ищем базис из стационарных состояний кристалла
n
в виде
e e
(r ) Ve i (r, R ) Vi i (R ) r, R E r, R
Tˆ Tˆ V
e
i
r, R (R ) r, R
умножаем обе части на φ* и интегрируем по r
2
Tˆi e (R ) Vi i (R ) (R )
2M J
J
2
MJ
J
dr J (R )
dr J J (R ) E r, R

5.

m
dr
M
2
2
ˆ
dr J (R )
Ti e (R ) Vi i (R E ) (R )
J 2M J
J MJ
Электронные в.ф. можно выбрать вещественными
dr J J (R )
f (R ) dr 2 (r, R ) 1 J f (R ) 0 2 dr J 0
2
- приводит к неадиабат. поправкам порядка (m/M)1/4<<1
J
e
MJ
Пренебрегаем неадиабатическими поправками
Tˆ (R) V
i
e
i i
(R ) (R ) E (R ) - СУШ для ионов во внешнем поле εe(R) =>
=> Можно сформировать базис из α(R) => из произведений ψ=αφ можно
сформировать базис для кристалла
Задача о состояниях кристалла
Задача о состояниях электронов
В поле неподвижных ядер
Задача о стационарных состояниях ядер
В эффективном среднем поле εe(R),
создаваемом электронами

6.

Приближение
самосогласованного поля Хартри-Фока
для электронной подсистемы кристалла

7.

Надо Найти стационарные состояния электронной подсистемы в поле V(r)
неподвижных ядер
Hˆ
i
1
ˆ
H1 (ri )
2
i, j
e2
ri r j
2
Hˆ 1 (r )
V (r )
2m
Проблема та же – из-за взаимодействия между частицами нужно решать УШ с
огромным числом неразделяющихся переменных

8.

Приближение самосогласованного поля Хартри-Фока
Базовое предположение: Это приближение состоит в предположении, что каждый
электрон, “чувствует” некоторое среднее поле Ueff(r), создаваемое всеми
остальными электронами, т.е. в замене многоэлектронного взаимодействия
некоторым эффективным полем.
Электрон-электронное взаимодействие учитываем путем введения эффективного
поля Ueff(r), внешнего по отношению к системе электронов.
Система взаимодействующих электронов заменяется на систему
невзаимодейсивующих электронов, находящихся во внешнем поле Ueff(r)

9.

Hˆ
Hˆ (r )
1
i
i
2
Hˆ 1 (r )
i V (r ) U eff (r ) - Одноэлектронный Гамильтониан
2m
(Гамильтониан одного отдельно взятого
электрона в тех же силовых полях, что и весь
газ)
1) Находим одноэлектронные стационарные состояния – состояния одного
отдельно взятого электрона, рассмотренного в тех же силовых полях, что и
весь газ
Hˆ 1 ,
- Одноэлектронный спектр и базис из в.ф.
одноэлектронных стационарных состояний
2) В стационарном состоянии всей системы в целом каждый из электронов
находится в одном из одночастичных стационарных состояний. Поэтому
стационарное состояние всего газа в целом однозначным образом задается
указанием чисел заполнения всех одночастичных стационарных состояний
Электроны – фермионы => подчиняются принципу запрета Паули =>
числа заполнения могут принимать только два значения
N 0,1

10.

1 ( 1 ) 1 ( N )
1 2 ( 1 ) 2 ( N )
( i i 1 )
N
E ( N )
N!
N ( 1 ) N ( N )
N

11.

Как определить самосогласованное поле Ueff?
Простейший вариант – как электростатическое поле, создаваемое средней
электронной плотностью
(r ) ( e) (r )
2
j
j
e j (r )
( e) (r )
U eff (r ) dr
dr
r r
r r
j
2
V (r )
2m
2
j
e j (r )
2
r r
2
2
- Поле Хартри
dr i (r1 ) i i (r1 )
Поле Хартри – самосогласованное поле: определяет одноэлектронные
волновые функции и при этом само зависит от этих функций. Должно
определяться так, чтобы оно давало волновые функции, приводящие к тому же
полю.

12.

Выражение для волновой функции можно определить из вариационного принципа
квантовой механики
Hˆ
Наилучшее приближение для волновой функции получается, когда
δε=0 => одноэлектронное уравнение Шредингера
Не учитываем перестановочную симметрию => самосогласованное поле Хартри
2
2
2
e j (r )
V (r )
dr i (r1 ) i i (r1 )
2m
r r
j
Учитываем перестановочную симметрию=> самосогласованное поле Хартри-Фока
2
V (r )
2m
e j (r )
2
j
r r
(r ) e 2 (r ) (r )
j
j
i
(r )
i
j
r r
2
dr
dr i (r ) E i i (r )
обменное взаимодействие

13.

Зонная теория
для
идеального кристалла в отсутствие внешних полей.
Задача Блоха

14.

Надо: одноэлектронные стационарные состояния для случая, когда все атомы
находятся в положении равновесия (хорошая нулевая задача)
Идеальный кристалл => поле ионов – периодическое с периодом решетки
Электронейтральность => средняя электронная плотность имеет период
решетки => самосогласованное поле – периодическое с периодом решетки
Кристаллическое поле – периодическое с периодом решетки
U крист (r n) U крист (r )
2
Hˆ
r U крист (r )
2m0
Hˆ , sˆz 0 s z r
sˆz s z s z
2
r U крист (r ) (r ) E (r )
2m0

15.

2
U
(
r
)
(r ) E (r )
r
крист
2m0
2
U
(
r
)
(r n) E (r n)
r
крист
2m0
(r n) Сn (r ) , если уровень Е невырожденный
dr (r n) dr (r ) 1 Сn 1
2
2
Что будет если уровень энергии Е является вырожденным?
Е вырожден с кратностью s => i (r) i 1 1 (r), 2 (r), , s (r) -лин. незав.
Решения УШ с
энергией Е
Любая линейная комбинация решений – тоже решение с той же энергией
s
2
U
(
r
)
(r ) E (r )
r
крист
2
m
0
U
(
r
)
(r n) E (r n)
r
крист
2
m
0
2
i (r n)
b (r)
j ,i
j
j

16.

Известна линейно независимая система решений
i (r) is 1
Выбор такой системы решений – неоднозначный
k r
d
r (*)
k ,
Нужно подобрать такие коэффициенты в этих линейных комбинациях, чтобы
система из s решений (*) была линейно независимой и при этом каждая из
функций (*) удовлетворяла условию (r n) Сn (r)
d (r n)
(r n) d b (r )
(r n) b (r )
k (r n)
i ,k
i
i
k
i
j ,i
i ,k
i
j
j ,i
j
j
j
d матрица, обратная к d d
1
, j
, j
k ,
d ,1j k , j
k
(r ) d k , k (r ) d ,1j (r ) d ,1j d k , k (r ) d k , d ,1j k (r )
k
(r ) d k , k (r ) j (r ) d ,1j (r )
k
k (r n)
d b (r)
i ,k
i
j ,i
j
j
k
k
k (r n) d ,1j b j ,i d i ,k (r )
i, j

17.

d (r n)
(r n) d
(r n) b (r )
k (r n)
i ,k
i
i
k
i
j ,i
j
i, j
1
, j
b j ,i d i ,k (r )
j
Надо k (r n) Сk ,n k (r ) требуем d ,1j b j ,i d i ,k Сk ,n k ,
i, j
D 1 BD Cn E
d d
k ,
1
, j
- задача диагонализации матрицы
b j ,i d i ,k Сn d k , k ,
i, j
1
b
d
d
d
j , i i , k k , , j Сn d k , k ,
i ,i
bk ,i di,k Сn d k ,k
i
b d
С
det С
k ,i
Сn k ,i d i ,k
i ,k
i
n i ,k
i
d i ,k bk ,i d i ,k 0 - ОСЛАУ
i
n i ,k
d i ,k bk ,i d i ,k 0 Ck .n

18.

(r n n ) Сn (r n) Сn Сn (r)
Сn Сn Сn n Сn exp( ikn)
(r n n ) Сn n (r)
Вектор k определяет закон, связывающий значения волновой функции
электрона в точках, отстоящих друг от друга на вектор решетки.
В различных стационарных состояниях эта связь будет разной => Значения
вектора k в различных состояниях будут отличаться. Поэтому вектор k следует
рассматривать как квантовое число, характеризующее заданное стационарное
состояния.

19.

Можно сформировать базис из волновых функций стационарных состояний, каждая
из которых удовлетворяет условию
(r n) exp( ikn) (r )
Обратная решетка
k (r ) dqAk (q) exp( iqr ) k (r n) exp( ikn) k (r )
dqA (q) exp iq r n exp(ikn) dqA (q) exp iqr
dqA (q) exp iqn exp(ikn) exp iqr 0 exp(iqn) exp(ikn) A (q) 0
k
k
k
k
Ak (q) 0, ттольк если exp(iqn) exp( ikn) 0 exp i q k n 1
Def. G – вектор обратной решетки exp iGn 1,
n

20.

G - вектор обратной решетки exp iGn 1 n n1a1 n2a 2 n3a 3
exp iGn 1 Gn 2 , 0, 1, 2, 3,
Gn n Ga 2 Ga 2 m , m целое число
Будем искать G в виде G m1b1 m2b 2 m3b 3
Ga m b a 2 m b a 2 ,
c a, b 0, if c a or c b b1 C1 a 2 , a 3
2
b1a C1a a 2 , a 3 ,1C1a1 a 2 , a 3 C1
a1 a 2 , a 3
V0 a1 a 2 , a 3
- объем элементарной ячейки
2
2
2
a 2 , a3 ; b 2 a3 , a1 ; b 3 a1 , a 2
b1
V0
V0
V0

21.

k (r ) dqAk (q) exp( iqr ) k (r n) exp ikn k (r )
Ak (q) 0,
A(q)
только если
q k G, где G вектор обратной решетки
(q k G) A(k G)
A (k G) exp i(k G)r exp(ikr) A (k G) exp iGr
(r ) exp( ikr)u (r ), где u (r ) A (k G ) exp iGr
u (r n) A (k G ) exp iG (r n) A (k G ) exp iGr ) exp iGn )
G
k (r )
k
k
G
G
k
k
k
k
G
k
k
k
G
G
G вектор обратной решетки n : exp iGn ) 1
uk (r n)
A (k G) exp iGr ) exp iGn) u (r)
k
k
G
uk (r) uk (r n)
-Периодическая функция с периодом
кристаллической (прямой) решетки

22.

Th Блоха (Bloch). волновая функция стационарного состояния электрона в
периодическом поле
k (r) exp(ikr)uk (r), uk (r) uk (r n)
Волновая функция Блоха известна, если известна ее периодическая часть.
Найдем уравнение для периодической части функции Блоха

23.

Уравнение для периодической части функции Блоха
k , r exp ikr uk , r - известна, если известна u
2
U
(
r
)
E Уравнение Шредингера для u
cryst
2m0
2
2
2 2 exp ikr u (r )
x
x
exp ikr u (r ) exp ikr u (r ) exp ikr u (r )
x
x
x
exp ikr exp ik x exp ik x exp ik x
x
x
x
ik exp ik x exp ik x ik exp ikr
exp ikr u (r ) ik exp ikr u (r ) exp ikr u (r ) exp ikr ik u (r ) u (r)
x
x
x

24.

Уравнение для периодической части функции Блоха
u (r )
exp ikr u (r) exp ikr ik u (r )
x
x
2
u (r )
exp ikr u (r) exp ikr ik u (r )
2
x
x
x
u (r ) 2u (r )
u (r )
exp ikr ik
ik exp ikr ik u (r )
2
x
x
x
u (r ) 2u (r )
exp ikr ik
2
x
x
2
u (r )
u (r ) 2u (r )
exp ikr k u (r ) ik
ik
2
x
x
x
2
u (r ) 2u (r )
exp ikr k u (r ) 2ik
2
x
x

25.

Уравнение для периодической части функции Блоха
2
2
u (r ) 2u (r )
exp ikr u (r ) exp ikr k u (r ) 2ik
2
2
x
x
x
2
2
u
(
r
)
u (r )
2
2 exp ikr u (r ) exp ikr k u (r ) 2ik
2
x
x
x
k u (r ) u (r ) k k u (r )
2
2
2
u (r )
2ik
2i k u 2ik u
x
2u (r )
u
2
x
exp ikr k 2u (r ) 2ik u u
2
2k 2
pˆ 2
2
i
exp ikr
u
k i u
u
2m0
2m0
m0
2m0
2m0
2k 2
pˆ 2
exp ikr
u
kpˆ u
u
m0
2m0
2m0

26.

Уравнение для периодической части функции Блоха
k , r exp ikr uk , r
pˆ 2
U cryst (r) k ,ν E k k ,ν
2m0
2k 2
pˆ 2
pˆ 2
exp ikr
u (r )
kpˆ u
u
2m0
m0
2m0
2m0
pˆ 2
2k 2
exp ikr
uk , (r ) U cryst (r )uk , (r )
uk , (r )
kpˆ uk , (r ) exp ikr E (k )uk , (r )
2m0
m0
2m0
pˆ 2
2k 2
ˆ
U cryst (r)
kp uk , (r) E (k )uk , (r)
2m0 m0
2m0
Уравнение Шредингера для электрона в идеальном кристалле,
позволяющее найти энергию электрона и периодическую часть функции
Блоха

27.

Th Блоха (Bloch). волновая функция стационарного состояния электрона в
периодическом поле
k (r) exp(ikr)uk (r), uk (r) uk (r n)
2
i 2
2k 2
k
U
(
r
)
uk (r) Euk (r) E k и uk , (r)
крист
m0
2m0
2m0
E1 k E2 k
Cтационарное состояние электрона в периодическом поле кристаллической
решетки задается двумя квантовыми числами – волновым вектором Блоха k и
натуральным индексом (номер
зоны).

28.

E (k G) E (k )
k иk G
k G , (r) k , (r)
- физически полностью эквивалентны
Зона Бриллюэна - область k-пространства, включающая в себя все физически
различные значения вектора Блох и не содержащая физически эквивалентные его
значения
E (k ) - непрерывна в пределах зоны Бриллюэна
E , min E (k ) E , max
- -ая энергетическая зона
Ситуация I
Ситуация II (зоны перекрываются)
ℓ+1 зона
Eℓ+1,min
Запрещенная зона (щель)
Eℓ,maх
Eℓ,maх
Eℓ+1,min
ℓ зона
Последняя полностью заполненная при Т=0 К – валентная зона
Следующая за валентной зонной – зона проводимости
Уникальность свойств полупроводников – следствие наличия щели между
валентной зоной и зоной проводимости.

29.

Эффективная масса: невырожденный экстремум
1 2 E
E (k ) E (0)
, 2 k k
1 2 E
1
* 2
m , k k
k k
k 0
- тензор обратных эффективных масс
k 0
2 1
E (k ) E (0) * k k
, 2 m ,
2 E
2 E
E (k ) непрерывная функция
k k k k
1
1
1
* * В главных осях, *
m , m ,
m ,
0,
1
1
* ,
m* , m ,
,
2 1
E (k ) E (0) * k 2
2 m ,
m
1
1
*
m ,
-скалярная эффективная масса вдоль оси α
2 k 2
E (k ) E (0)
2m

30.

Эффективная масса: невырожденный экстремум
2 k 2
E (k ) E (0)
;
2
m
1
m
;
1
*
m ,
1 2 E
1
* 2
2
m , k
k 0
Закон дисперсии вдоль главной оси имеет такой же вид, как и для
свободной частицы с соответствующей эффективной массой
2k 2
Для высокой симметрии m m m m E (k ) E (0)
2 m*
1
2
3
*
Эффективная масса электрона учитывает влияние кристаллической
решетки а электрон, и принципиальным образом отличается от
гравитационной массы электрона (массы свободного электрона)
1) Абсолютное значение эффективной массы электрон сильно
отличается от его гравитационной массы
Пример: на дне зоны проводимости GaAs m*=0.067m0
2) Эффективная масса может быть не только положительной, но и
отрицательной
2 E
В минимуме (ддн зоны проводимости),
0 m 0
2
Это не
k
антигравитация!!!!
2 E
В максимуме (ппотоло валентной зоны),
0 m 0
2
k
3) Эффективная масса может быть разной в различных направлениях
(обычная ситуация для валентной зоны полупроводника)

31.

Эффективная масса: невырожденный экстремум
Во многих физических процессов большая часть носителей заряда
находится в окрестности экстремумов зон.
В окрестности невырожденного экстремума закон дисперсии электрона
можно разложить в ряд Тейлора
E
E (k ) E (0)
k
1 2 E
k
, 2 k k
k 0
k k
k 0
E (0) - значение энергии в точке экстремума (константа)
E
k
0 k 0
- точка экстремума
k 0
1 2 E
E (k ) E (0)
, 2 k k
k k
k 0

32.

Эффективная масса: невырожденный экстремум
Гравитационная масса электрона (его масса покоя) является
фундаментальной физической константой, тогда как эффективная масса
–математический объект, введенный искусственно для упрощения
описания дисперсии электрона в твердых телах.
Гравитационная масса введена Богом (Природой), тогда как эффективная
масса придумана человеком.
Электрон с эффективной массой – КВАЗИчастица.

33.

kp-метод: основная идея
метод, позволяющий вычислить состояния Блоха в окрестности экстремума
зоны
Hˆ (k 0) Vˆ (k ) u
,k
E (k )u ,k
2
ˆ
p
Hˆ (k 0)
Vcryst (r )
2m0
2 2
k
ˆ
V (k )
(kpˆ )
2m0 m0
- Гамильтониан для k=0 (точка экстремума)
используется как невозмущенный
Гамильтониан
- возмущение
Алгоритм расчета:
1) Вычисляем состояния блоха в точке экстремума k=0.
2) Применяя теорию стационарного возмущения, вычисляем состояния Блоха
в окрестности экстремума зоны. При этом состояния Блоха в точке экстремума
используются как приближение нулевого порядка.

34.

kp-метод: невырожденный экстремум
Невыожденный экстремум => энергия ν-ой зоны – невырожденная в точке
экстремума (такую энергию имеет только одно стационарное состояние) =>
используется стационарная теория возмущения
E (k ) E (0) u , 0 Vˆ u , 0
( )
u , 0 Vˆ u , 0 u , 0 Vˆ u , 0
E (0) E (0)
2k 2
ˆ
ˆ
ˆ
u ,0 V u , 0 dr u , 0 Vu , 0 V
kpˆ
2m0 m0
u ,0 Vˆ
2k 2
2m0
2k 2
2k 2
u , 0 dr u , 0
kp u , 0 dr u ,0
u ,0 dr u ,0
2m0
m0
2m0 m0
k dr u , 0 pˆ u , 0
dr u ,0 u ,0 m0
k pˆ u
,0

35.

kp-метод: невырожденный экстремум
u , 0 Vˆ u , 0
2k 2
dr u , 0 u , 0
2m0
m0
k dr u
,0
pˆ u , 0
Набор функция Блоха - ортонормированный
dr
,k
dr
,k ,
1,
,k exp ikr u ,k (r )
0,
,k
,k dr u ,k exp ikr exp ikr u ,k dr u ,k u ,k
dr u ,k u ,k ,
u , 0 Vˆ u , 0
1,
0,
2k 2
,
2m0
m0
p , dr u ,0 pˆ u ,0
u , 0 Vˆ u , 0
Периодические части блоховских функция с
одинаковым kобразуют ортонормированный
набор
k dr u
,0
pˆ u , 0
- матричный элемент проекции оператора импульса на
ось α
2k 2
,
2m0
m0
k p
,

36.

kp-метод: невырожденный экстремум
E (k ) E (0) u , 0 Vˆ u , 0
u , 0 Vˆ u ,0 u , 0 Vˆ u , 0
( )
u , 0 Vˆ u , 0
2k 2
,
2m0
m0
E (0) E (0)
k p
,
Поправка первого порядка малости ν=μ
u ,0 Vˆ u ,0
2k 2
2m0 m0
k p
,
Если экстремум - тточк инверсии зоны Бриллюэна, p , 0 u , 0 Vˆ u ,0 0
Если экстремум не яявляетс тточко инверсии, u , 0 Vˆ u ,0 0
Происходит сдвиг точки экстремума

37.

kp-метод: невырожденный экстремум
u , 0 Vˆ u , 0 u , 0 Vˆ u , 0
2k 2
E (k ) E (0)
2m0
E (0) E (0)
( )
u ,0 Vˆ u , 0
2k 2
,
2m0
m0
k p
,
Поправка второго порядка малости μ ≠ ν
u , 0 Vˆ u ,0
m0
k p
u , 0 Vˆ u ,0 u , 0 Vˆ u ,0
( )
2
2
,
m0
u , 0 Vˆ u , 0 u ,0 Vˆ u , 0
E (0) E (0)
2
2
, m0
( )
k p
,
p , p ,
E (0) E (0)
( )
k k
m0
k p
1
2
E (0) E (0) m02
,
2
2
m0
p p k k
,
,
p p k k
,
,
,
,

38.

kp-метод: невырожденный экстремум
p , p ,
2k 2 2
E (k ) E (0)
2m0
2
2
2
, m0
2k 2
2
2m0 2m0
2
k k
2m0
2
, k k
2
,
,
2
2
, m0
2
E (k ) E (0)
2
,
( )
2
k k
m0
2
E (0) E (0)
,
,
( )
m0
k k
k k
p , p ,
E (0) E (0)
k k
p
p
2
,
,
,
k
k k
2
m0
E (0) E (0)
m0
( )
2 1
E (k ) E (0) k k
Эффективная масса
, 2 m ,
2
E (k ) E (0)
, 2
,
2
1
k 2
m0
m0
m ,
( )
p , p ,
E (0) E (0)
определяется матичным
элементом оператора импульса в
экстремуме

39.

kp-метод: вырожденный экстремум
Используется стационарная теория возмущения при наличии
вырождения
ˆ
ˆ
, r V , s , s V , r (0)
E (0) E r ,r , r Vˆ , r
C ,r 0
r
,s
( )
E (0) E (0)
2 2
2 2
k
k
, r Vˆ , r , r
(kpˆ ) , r
r , r
2m0 m0
2m0
, r (kpˆ ) , r , r (kpˆ ) , r
2k 2
2
E
(
0
)
E
r , r m 2
2
m
E (0) E (0)
0
0
r
( )
2k 2
E E (0)
E ( 2)
2m0
2
ˆ
ˆ
, r (kp) , r , r (kp) , r
E ( 2 ) r ,r C ( 0,r) 0
2
m
E (0) E (0)
r 0
( )
, r pˆ , r , r pˆ , r
2
H r , r 2
k k
m0 ,
E (0) E (0)
H
r
( )
r , r
E ( 2 ) r ,r C ( 0,r) 0
(0)
C ,r 0

40.

F(r) – периодическая функция с периодом кристаллической решетки
F (r ) F (r n)
F (r ) dqF (q) exp iqr
F (r n) dqF (q) exp iq r n dqF (q) exp iqn exp iqr
dqF (q) exp iqr dqF (q) exp iqn exp iqr F (q) F (q) exp iqn
F (q) exp iqn 1 0 exp iqr 1 F (q) 0
F (q) 0, только если exp iqn 1
Def. G вектор обратной решетки exp iGn 1 n
F (q) 0, only if q G F (q) F (G ) q G
G
F (r ) dqF (q) exp iqr dq F (G ) q G exp iqr
G
F (G ) dq q G exp iqr F (G ) exp iGr
G
G

41.

Th. Если F(r)=F(r+n), тогда разложение Фурье F(r) содержит только плоские волны
с волновыми векторами, совпадающими с векторами обратной решетки
F (r) F (G) exp iGr
G

42.

Решеточные суммы
Нужно вычислить
m a e
exp ikn , где n
k
kn k n
2 m
2
p m a
p
N a
N
i 2 m
i 2 m
i 2 m
exp
i
kn
exp
p
exp
p
exp
p
k
N
N
N
p1 p2 p3
p1 p2 p3
p
i 2 m
1 exp
N
i 2 m
N
exp
p
exp
i
2
m
N N
i 2 m
p
1 exp
2
N
N
2
m 0, 0
i 2 m
1 exp i 2 m
i 2 m
0
exp
p
m 0,
N N m , 0
i
2
m
N
i
2
m
0
p
1 exp
N
N
N
exp ikn
m , 0
k
N N
m ,0 n,0
exp ikn N
k
n,0

43.

Решеточные суммы
it is required to calculate the sum exp ikn , где n m a e
n
kn k n
2 m
2
p m a
p
N a
N
i 2 p
i 2 p
i 2 p
exp
i
kn
exp
m
exp
m
exp
m
n
N
N
N
m1 m2 m3
m
m
m
m
1
2
3
i 2 p
1 exp
N
i 2 p
N
exp
m
exp
i
2
p
N N
i 2 p
m
1
exp
2
N
N
2
p 0, 0
i 2 p
1 exp i 2 p
i 2 p
0
exp
m
p 0,
N N p , 0
i
2
p
m
0
N
1 exp i 2 p
N
N
N
exp ikn
p , 0
n
N N
p ,0 k ,0
exp ikn N
n
k ,0

44.

F (k G ) F (k )
F (k ) dqF q exp iqk
F (k G ) dqF q exp iq k G dqF q exp iqG exp iqk
dqF q exp iqk dqF q exp iqG exp iqk
F q F q exp iqG F (q) exp( iqG ) 1 0
F (q) 0, only if exp( iqG ) 1 F (q) 0, only if q n direct lattice vector
F (q) F (n) q n
n
F (k ) F (n) q n exp iqk
n
F (k ) F (n) exp ikn
n